Sumário e Objectivos

1. Sumário e Objectivos Sumário:Resolução de Problemas em Elasticidade Plana Recorrendo à Função de Tensão de Airy. Entrega dos Trabalhos Objectivos da Aula: Apreensão do Método da Função de Tensão para Efeitos de Solução de Alguns Problemas Planos. Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

2. ESTADO PLANO DE TENSÃO Tensões Nulas no Estado Plano de Tensão Equações de Equilíbrio Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

3. Forças de Volume O vector das Forças de Volume pode ser estabelecido em termos de uma função potencial V corresponde em termos energéticos a considerar um campo de forças conservativo. Equações de Equilíbrio tomam a forma: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

4. Função de Tensão É possível definir uma Função de Tensão tal que: As Tensões assim definidas verificam automaticamente as Equações de Equilíbrio Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

5. Deformações em termos da Tensões As Deformações relacionam-se com as tensões através da Lei de Hooke generalizada Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

6. Deformações em Termos da Função de Tensão Tendo em conta as equações anteriores as deformações exprimem-se em termos da função de tensão do seguinte modo: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

7. Equações de Compatibilidade de St Venant Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

8. Equações de Compatibilidade no Caso do Estado Plano de Tensão No caso do Estado Plano de Tensão todas as derivadas em ordem a z são nulas e as deformações fora do plano x,y são tais que: As equações de compatibilidade relevantes são Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

9. Equação de Compatibilidade em Termos da função de Tensão ou Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

10. Equações Fundamentais O processo de deformação correspondente a um estado plano de tensão passa a ser regido pelas equações seguintes Ou na ausência de forças de volume Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

11. ESTADO PLANO DE DEFORMAÇÃO No caso do Estado Plano de Deformação as Equações a que se chega são: Ou na ausência de Forças de Volume Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

12. Equação Biharmónica Na ausência de Forças de Volume a solução de Probemas de Estados Planos de Tensão e Deformação passa pela solução da equação Biharmónica ou seja pela solução de Soluções Polinomiais são possíveis para alguns problemas e têm a forma Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

13. y S1 x x cy S12 Placas Rectangulares S2 (a) (b) Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

14. Função de Tensão para as placas Rectangulares Placa da Figura (a) uma função de tensão possível é As Tensões correspondentes são: Condições de Fronteira Coeficientes ai Função de Tensão Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

15. Função de Tensão para as placas Rectangulares Placa da Figura (b) uma função de tensão possível é Esta função de tensão conduz às tensões seguintes: Para x=0 e x=L as tensões são: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

16. Função de Tensão para as placas Rectangulares Para y=±b/2 as tensões são: Estas condições de fronteira implicam que as constantes sejam: ou seja a função de Airy é: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

17. P P x z b y y l h Viga em Consola Sujeita a uma Carga Pontual Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

18. Viga em Consola Sujeita a uma Carga Pontual A função de tensão neste caso é: As componentes da tensão são A tensão máxima é Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

19. p p x z b y y l h Viga em consola sujeita a uma carga uniformemente distribuída Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

20. Viga em consola sujeita a uma carga uniformemente distribuída Afunção de Airy a considerar é de 5ª ordem e tem a forma seguinte: as condições de fronteira que são: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

21. Viga em consola sujeita a uma carga uniformemente distribuída A equação de compatibilidade obriga a que seja Tendo em conta as condições de fronteira referidas obtém-se as constantes seguintes: Consequentemente as tensões, são: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

22. r   r rr ESTADOS PLANOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

23. ESTADOS PLANOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS As Equações de Equilíbrio de Forças tomam a forma: As relações Deformações – Deslocamentos são: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

24. ESTADOS PLANOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

25. ESTADOS PLANOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS As derivadas de uma função em ordem a x e a y podem ser calculadas a partir das derivadas em ordem a r e q do seguinte modo: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

26. Transformação do Tensor das Tensões de Coordenadas Cartesianas em Polares Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

27. Derivadas da Função de Tensão De modo análogo se calculam as derivadas em ordem a yy e xy. Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

28. ESTADOS PLANOS EM COORDENADAS CILÍNDRICAS A relação entre as tensões e a função de Airy em coordenadas cilíndricas toma a forma: A equação Biharmónica toma a forma seguinte: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

29. Problemas Axisimétricos Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

30. Solução da Equação Biharmónica para Problemas Axiximétricos Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

31. Deslocamentos Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

32. Deslocamentos Comparando as duas expressões obtidas para o deslocamento na direcção radial conclui-se: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

33. Problemas Quasi Axisimétricos No caso de se admitir que o problema é quasi axisimétrico, isto é que as tensões só dependem de r mas os deslocamentos podem depender de q, as deformações são então em termos dos deslocamentos as seguintes. Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

34. Problemas Quasi Axisimétricos Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

35. Problemas Quasi Axisimétricos Integrando esta última equação obtém-se: Substituindo na expressão da deformação de corte obtém-se: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

36. Problemas Quasi Axisimétricos Obtém-se duas equações uma só dependente de r e outra só dependente de q que podem ser integradas obtendo-se: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

37. Os deslocamentos radiais e circunferenciais tomam a forma: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

38. Ro po Ri pi CILINDRO ESPESSO E DISCO FINO Pi – Pressão na superfície interior Po- Pressão na superfície exterior Ri – Raio interior Ro – Raio exterior Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

39. CILINDRO ESPESSO E DISCO FINO As Tensões são Calculadas de acordo com E têm de verificar as condições de Fronteira Ou seja Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

40. CILINDRO ESPESSO E DISCO FINO Estas duas condições são insuficientes para se calcularem as constantes, considerando o problema como quais axisimétrico e considerando o deslocamento circunferencial pode dizer-se que Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

41. CILINDRO ESPESSO E DISCO FINO As tensões tomam a forma e para o estado plano de deformação é Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

42. CILINDRO ESPESSO E DISCO FINO Os deslocamentos são Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

43. Ri pi pi PLACA INFINITA COM PEQUENO ORÍFICIO Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

44. PLACA INFINITA COM PEQUENO ORÍFICIO Considerem-se as tensões obtidas no caso anterior e manipulem-se as expressões de forma a obter as tensões com a seguinte forma: Fazendo as aproximações seguintes Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

45. Tx A A y x Tx PLACA COM ORÍFICIO TRACCIONADA Tensões Longe do Orifício Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

46. PLACA COM ORÍFICIO TRACCIONADA No caso de existir o orifício a distribuição de tensões só se altera próximo do orifício. Considerando o princípio de St. Venant pode considerar-se um círculo de raio RB tal que B>>A e no qual as tensões ainda são obtidas considerando as expressões e convertam-se as tensões em coordenadas cilíndricas. Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

47. PLACA COM ORÍFICIO TRACCIONADA Alternativamente pode considerar-se. Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

48. PLACA COM ORÍFICIO TRACCIONADA Sendo as tensões em termos da função de Airy, as seguintes: As tensões são nestas condições: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

49. PLACA COM ORÍFICIO TRACCIONADA Estas tensões correspondem à sobreposição de dois estados de tensão um axisimétrico e outro dependente de q, estes estados de tensão são: Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana

50. Problema Axisimétrico As tensões para o problema axisimétrico são Mecânica dos Sólidos não Linear Elasticidade Plana