IV–3 E nergie magnetického pole

1. IV–3 Energie magnetického pole

2. Main Topics • Transformátory • Energie magnetického pole • Hustota energie magnetického pole • Obvod RC • Obvod RL • Obvod RLC - Oscilace

3. Transformátor I • Transformátor je zařízení, ve kterém sdílí dvě nebo více cívek stejný magetický tok. Cívka, ke ktreré je připojeno vstupní napětí a která tedy tok vytváří, se nazývá primární. Ostatní jsou sekundární. • Transformátory se užívají hlavně k převodunapětí a k přizpůsobenívnitřníhoodporu.

4. Transformátor II • Ilustrujme princip funkce transformátoru na jednoduchém typu se dvěma cívkami, majícími N1 a N2závitů. Předpokládejme, že sekundární cívkou teče zanedbatelnýproud. • Každým jedním závitem každé cívky prochází stejný tok a indukuje se v něm elektromotorické napětí 1: 1 = - d/dt

5. Transformátor III • Připojíme-li k primární cívce napětí U, bude magnetizace jádra růst do doby, než se indukované elektromotorické napětí vyrovná napětí vstupnímu: U1 = N11 • Napětí na sekundárním vinutí je také úměrné počtu závitů: U2 = N21

6. Transformátor IV • Takže napětí v obou cívkách jsou úměrná počtu jejich závitů : U1/N1= U2/N2 • Obtížnější případ je porozumět funkci transformátoru, když je zatížen a velmi obtížné je navrhnout dobrý transformátor s velkou účinností, která se blíží 100%.

7. Transformátor V • Předpokládejme, že máme transformátor s účinností blízké 1. • Lze ukázat, že proudy cívkami jsou nepřímo úměrné počtu závitů a vnitřní odpory jsou úměrné jejich čtverci. P = U1I1 = U2N1I1/N2 = U2I2 I1N1= I2N2 R1/N12 = R2/N22

8. Energie magnetického pole I • Indukčnost klade odpor změnám protékajícího proudu. Znamená to, že k dosažení určitého proudu, je potřeba vykonat jistou práci. Tato práce se přemění do potenciálníenergiemagnetickéhopole, které nám ji vrací, když proud snižujeme. • Protéká-li cívkou proud I, který chceme zvětšit, musíme dodat výkon, úměrný změně proudu, které chceme dosáhnout.

9. Energie magnetického pole II • Jinými slovy musíme konat práci určitou rychlostí, abychom byli schopni posunovat náboji proti poli indukovaného elektromotorického napětí : P = I = ILdI/dt  dW = Pdt = LIdI • Abychom našli práci potřebnou k dosažení proudu I, musíme integrovat : W = LI2/2

10. Hustota energie magnetického pole I • Podobně, jako tomu bylo u nabitého kondenzátoru, i zde je energie obsažena v poli, nyní samozřejmě magnetickém. • Jeho hustotu lze jednoduše vyjádřit u homogenního pole dlouhého solenoidu : • Známe vztahy pro indukčnost L a indukci BL = 0N2S/l B = 0NI/l  I = Bl/0N

11. Hustota energie magnetického pole II • Protože Slje objem solenoidu, kde lze očekávat soustředěnou většinu energie, můžeme pokládat za hustotuenergiemagnetického pole. • Tento výraz platí obecně v okolí každého bodu i v nehomogenních polích.

12. RC, RL, LC a RLC obvody • Obvody obsahující cívky a kondenzátory dosáhnou po určité změně, např. připojení zdroje rovnovážného stavu až za určitou dobu. Proto je u nich důležité najít chování elektrických veličin v závislosti na čase. Budeme se tedy zabývat “vybíjením nebo nabíjením” kondenzátoru nebo cívky přes odpor. • U obvodů LC se setkáme s novým jevem oscilacemi.

13. Obvod RC I • Mějme kondenzátor Cnabitý na napětí Uc0 a začněme ho vybíjer v čase t = 0přes rezistor R. • V každém okamžiku je kondenzátor v obvodu zdrojem a platí 2. Kirchhoffův (neboOhmův) zákon : I(t) = Uc(t)/R • To vede nadiferenciálnírovnici.

14. Obvod RC II • Všechny veličiny Q, U a Iexponenciálně klesají s časovou konstantou  = RC. • Připojme stejný kondenzátor a rezistor ke zdroji s napětím V0. V každém okamžiku platí podle Kirchfoffova zákona: I(t)R + Vc(t) = V0 což vede na poněkud složitější diferenciální rovnici.

15. Obvod RC III • Nyní Q a Urostou exponenciálně do saturace a proud klesá exponenciálně jeko v předchozím případě.Časové změny všech veličin lze opět popsat pomocí časové konstanty = RC.

16. RL obvod I • Obdobná situace nastane zaměníme-li kondenzátor za cívku L. • Když proud roste, bude mít indukované napětí na cívce stejnou orientaci jako napětí na odporu a s použitím druhého Kirchhoffova zákona můžeme psát: RI(t) + LdI/dt = V0 • To je diferenciálnírovnice podobná rovnici předchozí.

17. RL obvod II • Cívka brání okamžitému nárustu proudu. • I poroste od nuly až dosáhne exponenciálně své maximální hodnoty. • Indukované napětí na cívce má zpočátku svou maximální hodnotu, rovnou V0, a exponenciálně klesá k nule. Když proud dosáhne konstantní hodnoty napětí na cívce zmizí.

18. LC obvod I • Ke kvalitativně nové situaci dojde, připojíme-li nabitý kondenzátor Ck cívceL. • Lze očekávat, že se energie bude přelévat z formy elektrické do magnetické a naopak. Dochází k netlumenémuperiodickému pohybu.

19. LC obvod II • Tento obvod se nazývá LC oscilátor, který produkuje elektromagnetické kmity. • Opět použijeme 2. Kirchhoffův zákon: L dI/dt –Uc = 0 • To je opětdiferenciálnírovnice, ale vyššího řádu.

20. LC obvod III • Co se děje kvalitativně: • Na začátku je kondenzátor nabit a snaží se vybíjet přes cívku. Na ní se ale naindukuje napětí rovné napětí na kondenzátoru, čímž cívka brání rychlému nárustu proudu. Ten je zpočátkunulový. Jeho časová derivace však musí být nenulová, proto zvolna roste.

21. LC obvod IV • Kondenzátor se vybíjí, čímž klesá nárust proudu a tím i indukované napětí na cívce. • V okamžiku, kdy je kondenzátor vybit je napětí na něm nulové, nulový je i nárůst proudu a napětí na cívce. Proud má ale nyní maximální hodnotu a cívkabrání jejímu okamžitému poklesu.

22. LC obvod V • Na cívce nyní poroste napětí opačné polarity, což odpovídá klesajícímu proudu. Kondenzátor se těž nabíjí polaritou, která je opačná, než byla původní. • V okamžiku, kdy je kondenzátor nabit, je proudnulový a celý děj se opakuje.

23. LRC obvod • Přidáme-li k obvodu RC rezistor, bude obvod kmitat tlumenýmikmity.Elektrická energie se bude měnit na rezistoru v tepelnou.

24. Homework • No homework today!

25. Things to read and learn • Chapter 29 – 5, 6; 30 – 1, 2

26. RC obvod I • Použijeme definici prouduI = –dQ/dt a vztahu mezi nábojem a napětím na kondenzátoru Uc = Q(t)/C: • Znaménko mínus znamená, že kladným proudem se kondenzátor vybíjí. Tuto homogennídiferenciálnírovniciprvníhořádu snadno vyřešíme separací proměnných.

27. RC obvod II • Zde jsme definovali časovou konstantu = RC. Můžeme integrovat obě strany rovnice: • Integrační konstantu nalezneme uvážením okrajových podmínekQ0 = CVc0 :

28. RC obvod III • PodělenímC a následně Robdržíme časovou závislost napětí a proudu v obvodu: ^

29. RC obvod IV • Dosadíme za proud I = +dQ/dt a napětí a rovnici trochu přeorganizujeme: • Získáváme podobnou rovnici, ale nyní nehomogenní. Na pravé straně není nula.Zde se řeší napřed rovnice homogenní a poté se přičte jedno partikulárnířešení, například konečný náboj Qk = CU0.

30. RC obvod V • Použijeme řešení předchozí homogenní rovnice a můžeme psát: Integrační konstantu opět získáme uvážením okrajových podmínek Q(0) = 0  Q0 = -CU0.

31. RC obvod VI • Podělením Czískáme časovou závislost napětí na kondenzátoru:

32. RC obvod VII • Časovou závislost proudu vypočteme z časové derivace náboje: ^

33. RL obvod I • Nejprve vyřešíme homogenní rovnici a poté přičteme partikulární řešení, např. konečný maximální proud Im = V0/R:

34. RL obvod II • Homogenní rovnice se opět řeší separací proměnných. Zde definujeme časovou konstantu  = L/R. Po přičtení partikulárního řešení dostáváme: • Použijeme okrajové podmínkyI(0) = 0 I0 = -Im a dostáváme:

35. RL obvod III • Časovou závislost napětí získáme z definice indukčnosti U = LdI/dt : ^

36. LC obvod I • Dosadíme opět za proud I = –dQ/dt a vztah mezi napětím a nábojem na kondenzátoru Uc = Q(t)/C: • Opět bereme v úvahum že kladným proudem se kondenzátor vybíjí.Získáváme homogenní diferenciální rovnici druhého řádu.Zde snadno uhodneme tvar řešení.

37. LC obvod II • Parametry získáme dosazením za druhou derivaci náboje: • Řešením jsou netlumenéharmonické kmity. ^