1 / 50

Teori Konvolusi dan Fourier Transform

Teori Konvolusi dan Fourier Transform. Sigit Widiyanto. Dua Operasi matematis yang penting !. Operasi Konvolusi (Spatial Filter) Operasi pengolahan citra yang mengalikan sebuah citra dengan sebuah mask atau kernel (Convolution Mask) Transformasi Fourier

yehuda
Download Presentation

Teori Konvolusi dan Fourier Transform

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. TeoriKonvolusidan Fourier Transform SigitWidiyanto

  2. DuaOperasimatematis yang penting! • OperasiKonvolusi (Spatial Filter) • Operasipengolahancitra yang mengalikansebuahcitradengansebuah mask ataukernel (Convolution Mask) • Transformasi Fourier • Citra dimanipulasidalamranah (domain) frekuensiketimbangdalamranahspasial.

  3. Konvolusi • Konvolusidiskritsangatbanyakdipergunakandalampengolahancitrauntuk • Memperhalus (smoothing) • Menajamkan (sharpening) • Mendeteksitepi (edge detection) • Konvolusi = jumlahberbobotdari pixel-pixel disekeliling pixel sumber • Bobotditentukanoleh matrix kecilyang disebut convolution mask)

  4. Konvolusi • Dimensi convolution mask biasanyaganjildanposisitengahnyaberkaitandenganposisi pixel output • Frame matrikskonvolusibergerakdenganberpusatpadatiap pixel padacitra input untukmenghasilkan pixel-pixel yang baru. • Pixel output merupakancitrabaru • Nilaibobokpada convolution mask berpengaruhpadaintensitaskeseluruhandaricitra yang baru • Jikanilai = 1, makaintensitascitra output = intensitascitra input • Jikanilai = 0, maka pixel yang barubernilainegatifdanharusditambahkandengansuatukonstanta.

  5. Konvolusiduabuahfungsi f(x) dan g(x) didefinisikansebagaiberikut : Convolution Function Integral dari – takhinggasampaitakterhingga Untukfungsidiskrit , konvolusididefinisikansebagai g(x) disebutdengankernelkonvolusi (filter) , kernel g(x) merupakanjendela yang dioperasikansecarabergeserpadasinyalmasukan f(x) hasilkonvolusidinyatakandengankeluaran h(x) Perhitunganhasilkonvolusidiperlihatkanpadagambar a – f, dan hasilkonvolusiditunjukkanpadagambar g x/2 , 0 <= x <= 1 f(x) * g(x) = X – x/2, 1<= x <= 2 0, Lainnya

  6. IlustrasiKonvolusi

  7. Proses Konvolusi

  8. Proses Konvolusi

  9. Proses Konvolusi

  10. Proses Konvolusi

  11. KonvolusiDuaDimensi

  12. Ilustrasi

  13. Contoh • Misalkancitra f(x,y) yang berukuran 5 x 5 dansebuah kernel yang berukuran 3 x 3 sebagaiberikut:

  14. Solusi • Operasikonvolusiantaracitra f(x,y) denganpenapis g(x,y): f(x,y)*g(x,y)

  15. Solusi

  16. Solusi

  17. Solusi

  18. Solusi

  19. Solusi

  20. Solusi • Jikahasilkonvolusimenghasilkannilai pixel negatif, makanilaitersebutdijadikan 0, sebaliknyajikahasilkonvolusimenghasilkannilai pixel lebihbesardarinilaikeabuanmaksimum, makanilaitersebutdijadikankenilaikeabuanmaksimim (clipping atau threshold)

  21. Permasalahan

  22. SolusiPermasalahan • Pixel-pixel pinggitdiabaikan, tidak di-konvolusi. Sehingga pixel-pixel pinggirnilainyatetapsamaseperticitraasal. • Duplikasielemencitra, misalnyaelemenkomompertamadisalinkekolom M+1, begitujugasebaliknya, lalukonvolusidapatdilakukanterhadap pixel-pixel pinggirtersebut. • Elemen yang ditandai “?” diasumsikanbernilai0 ataukonstanta yang lain, sehinggakonvolusi pixel-pixel pinggirdapatdilakukan.

  23. Hasil

  24. Embossing

  25. Blurring

  26. Blurring

  27. Sharpening

  28. Sharpening

  29. Sharpening

  30. Contoh di matlab

  31. Permasalahan • Konvolusidilakukan per pixel, danuntuksetiap pixel dilakukanoperasiperkaliandanpenjumlahan, makajelaskonvolusimengkonsumsibanyakwaktu. Jikacitraberukuran N x N dan kernel berukuran m x m, makajumlahperkalianadalah N2m2 • Contoh: Citra 512 x 512 dan kernel 16 x 16, makaakanadasekitar 32 jutaperkalian. • Permasalahaniniakanbermasalahuntuksistemrealtime. • Solusimengurangikomputasiadalahtransformasicitradan kernel kedalamranahfrekuensimenggunakanFourier Transfrom.

  32. Fourier Transform

  33. Transformasi Fourier • Mengapa perlu transformasi ? • Setiap orang pada suatu saat pernah menggunakan suatu teknik analisis dengan transformasi untuk menyederhanakan penyelesaian suatu masalah [Brigham,1974] • Contoh: penyelesaian fungsi y = x/z • Analisa konvensional : pembagian secara manual • Analisa transformasi : melakukan transformasi • log(y) = log(x) – log(z) • look-up table  pengurangan  look-up table

  34. TransformasiCitra • Transformasijugadiperlukanbilakitainginmengetahuisuatuinformasitertentu yang tidaktersediasebelumnya • Contoh : • jikainginmengetahuiinformasifrekuensikitamemerlukantransformasi Fourier • Jikainginmengetahuiinformasitentangkombinasiskaladanfrekuensikitamemerlukantransformasi wavelet • Transformasicitra, sesuainamanya, merupakan proses perubahanbentukcitrauntukmendapatkansuatuinformasitertentu • Transformasibisadibagimenjadi 2 : • Transformasipiksel/transformasigeometris: • Transformasiruang/domain/space

  35. Transformasi Pixel • Transformasipikselmasihbermain di ruang/domain yang sama (domain spasial), hanyaposisipiksel yang kadangdiubah • Contoh: rotasi, translasi, scaling, invers, shear, dll. • Transformasijenisinirelatifmudahdiimplementasikandanbanyakaplikasi yang dapatmelakukannya (Paint, ACDSee, dll)

  36. TransformasiRuang • Transformasiruangmerupakan proses perubahancitradarisuaturuang/domain keruang/domain lainnya, contoh: dariruangspasialkeruangfrekuensi • Masihingatistilah ‘ruang’ ? Ingat-ingatkembalipelajaranAljabar Linier tentang Basis danRuang • Contoh : Ruangvektor. Salah satu basis yang merentangruangvektor 2 dimensiadalah [1 0] dan [0 1]. Artinya, semuavektor yang mungkinada di ruangvektor 2 dimensiselaludapatdirepresentasikansebagaikombinasi linier dari basis tersebut.

  37. Ada beberapatransformasiruang yang akankitapelajari, yaitu : • Transformasi Fourier (basis: cos-sin) • TransformasiHadamard/Walsh (basis: kolomdanbaris yang ortogonal) • Transformasi DCT (basis: cos) • Transformasi Wavelet (basis: scaling function dan mother wavelet)

  38. TransformasiFourier • Padatahun 1822, Joseph Fourier, ahlimatematikadariPrancismenemukanbahwa: setiapfungsiperiodik (sinyal) dapatdibentukdaripenjumlahangelombang-gelombang sinus/cosinus. • Contoh : Sinyalkotalmerupakanpenjumlahandarifungsi-fungsi sinus berikut (lihatgambarpadahalamanberikut) f(x) = sin(x) + sin(3x)/3 + sin(5x)/5 + sin(7x)/7 + sin(9x)/9 …

  39. Hasil dalam transformasi fourier Fungsikotaksebagaipenjumlahanfungsi-fungsi sinus • Cobakan juga program matlab berikut untuk melihat sampai batas n berapa fungsi yang dihasilkan sudah berbentuk fungsi kotak. • function kotak(n) • t = 0:pi/200:8*pi; • kot = sin(t); • for i = 3 : 2: n • kot = kot + (sin(i*t))/i; • end • plot(kot)

  40. Gambar a) n = 1, b) n =3, c) n = 7, d) n = 99 (a) (b) (c) (d)

  41. FT - Motivasi • Jika semua sinyal periodik dapat dinyatakan dalam penjumlahan fungsi-fungsi sinus-cosinus, pertanyaan berikutnya yang muncul adalah: • Jika saya memiliki sebuah sinyal sembarang, bagaimana saya tahu fungsi-fungsi cos – sin apa yang membentuknya ? • Atau dengan kata lain • Berapakah frekuensi yang dominan di sinyal tersebut ? • Pertanyaan di atas dapat dijawab dengan menghitung nilai F(u) dari sinyal tersebut. Dari nilai F(u) kemudian dapat diperoleh kembali sinyal awal dengan menghitung f(x), menggunakan rumus:

  42. Rumus FT kontinu 1 dimensi Rumus FT – 1 dimensi • Rumus FT diskret 1 dimensi • Misalkankitamemilikisinyal x(t) denganrumussbb: • x(t) = cos(2*pi*5*t) + cos(2*pi*10*t) + • cos(2*pi*20*t) + cos(2*pi*50*t) • Sinyalinimemilikiempatkomponenfrekuensiyaitu 5,10,20,50

  43. Contoh FT 1 dimensi Contoh berikut diambil dari Polikar (http://engineering.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html) Misalkankitamemilikisinyal x(t) denganrumussbb: x(t) = cos(2*pi*5*t) + cos(2*pi*10*t) + cos(2*pi*20*t) + cos(2*pi*50*t) Sinyalinimemilikiempatkomponenfrekuensiyaitu 5,10,20,50

  44. Contoh sinyal 1 Dimensi x(t) • Gambar sinyal satu dimensi dengan rumus • x(t)= cos(2*pi*5*t) + • cos(2*pi*10*t) + • cos(2*pi*20*t) + • cos(2*pi*50*t) • (Sumber: Polikar)

  45. FT dari sinyal tersebut FT dari sinyal tersebut. Terlihat bahwa FT dapat menangkap frekuensi-frekuensi yang dominan dalam sinyal tersebut, yaitu 5,10, 20, 50 (nilaimaksimum F(u) beradapadaangka 5,10, 20, 50)

  46. Contoh Penghitungan FT 1 dimensi (Gonzalez hlm 90-92)

  47. Contoh Penghitungan FT • Hasil penghitungan FT biasanya mengandung bilangan real dan imajiner • Fourier Spectrum didapatkan dari magnitude kedua bilangan tersebut shg|F(u)| = [R 2(u) + I 2(u)]1/2 • Untuk contoh di halaman sebelumnya, Fourier Spectrumnya adalah sebagai berikut: • |F(0)| = 3.25 |F(1)| = [(-0.5)2+(0.25)2]1/2 = 0.5590 • |F(2)| = 0.25 |F(3)| = [(0.5)2+(0.25)2]1/2 = 0.5590

  48. Rumus FT 2 dimensi Rumus FT – 2 dimensi

  49. Contoh FT 2 Dimensi Untuk menampilkan nilai FT suatu citra, karena keterbatasan display, seringkali digunakan nilai D(u,v)= c log [1 + |F(u,v)|]

More Related