Analytická geometria kvadratických útvarov

1. Analytická geometria kvadratických útvarov Kužeľosečky Mgr. Jozef Vozár 2009

2. Text pre používateľa • Prezentácia

3. Návod na používanie Prezentácia je vytvorená podobným spôsobom ako www stránka, to znamená že: • Stránky obsahujú navigačné znaky, pomocou ktorých sa možno dostať na začiatok kapitoly, začiatok prezentácie, prípadne inam podľa zámeru autora • Je štrukturovaná • Je vytvorená s pomocou viacerých nástrojov a pre svoju správnu činnosť potrebuje mať nainštalovaný Cabri-plug in Nainštalovať? ÁnoNie

4. Návod na používanie 4. Niektoré obrázky – vytvorené v Cabri 3d - sú naprogramované ako animované, iné sa dajú animovať tak, že ľavým tlačidlom myši uchopíme vhodný bod a posúvame ho, čím sa dajú meniť parametre. 5. Obrázky vytvorené v Cabri 3d (stereoobrázky, geometrické definície kriviek) si môžeme prezerať z rôznych uhlov. Docielime to uložením kurzoru do obrázka, stlačením a držaním pravého tlačidla myši a súčasným pohybovaním. (V obrázku sa objaví zvláštny symbol – na seba kolmé kruhy). 6. Ostatné obrázky sú vytvorené v Derive 6 a nie sú animované.

5. Navigácia po prezentácii • Čo treba vedieť pred kužeľosečkami • Kružnica • Elipsa • Parabola • Hyperbola Koniec

6. Čo treba vedieť pred kužeľosečkami • Poznať metódu súradníc • Vedieť analyticky vyjadriť lineárne útvary v rovine • Vedieť počítať vzdialenosť bodov v rovine pomocou ich súradníc – Pytagorova veta

7. Kružnica ako kužeľosečka Ak ako rovinu rezu použijeme rovinu kolmú na os plochy, potom výsledkom je kružnica, alebo bod, ktorý je vrcholom kužeľovej plochy

8. Kružnica Definícia: Množinu všetkých bodov X roviny, ktoré sú od daného bodu roviny vzdialené o konštantnú vzdialenosť r (r je ľubovoľné kladné reálne číslo) nazývame kružnica.

9. Kružnica Geometrická konštrukcia: 1. Zvolíme ľubovoľný bod S – stred kružnice a úsečku s dĺžkou r (ľubovoľné kladné reálne číslo) 2. Kružnicu nakreslíme kružidlom

10. Kružnica v súradnicovej sústave

11. ANALÝZA S[0;0] X[x;y] |S;X| = r

12. Kanonická – stredová rovnica kružnice x2 + y2 = r2

13. Posunutá kružnica

14. Rovnica posunutej kružnice S[m;n] (x – m)2 + (y – n)2 = r2 kapitola prezentácia

15. Parabola ako kužeľosečka – automatická animácia Ak režeme kužeľovú plochu rovinou, ktorá je rovnobežná s povrchovou priamkou výsledkom je buď samotná povrchová priamka, alebo parabola.

16. Parabola ako kužeľosečka – manuálna animácia Pomocou myši a jej ľavého tlačidla Chyť červený bodv hornej časti a posunuj ním po červenej úsečke. Pomocou stlačeného pravého tlačidla môžeš meniť uhol pohľadu.

17. PARABOLA Definícia: Daný je bod F a priamka d, neprechádzajúca bodom F. Množinu všetkých bodov X roviny dF, ktoré majú rovnakú vzdialenosť od bodu F (ohnisko) a od priamky d (riadiaca priamka), nazývame parabola.

18. PARABOLA Geometrická konštrukcia: • Bodom F zostrojíme kolmicu na priamku d – os paraboly • Ľubovoľným bodom osi paraboly zostrojíme rovnobežku s d • Zostrojíme kružnicu so stredom v F a s polomerom, ktorým je vzdialenosť pomocnej priamky a d. • Priesečníky kružnice a pomocnej priamky sú body paraboly. • Pomocnú priamku posúvame po osi paraboly. Tým sa mení aj kružnica a tiež aj priesečníky. • Množina všetkých priesečníkov kružníc s pomocnými priamkami je množina bodov paraboly

19. Pohyblivým bodom je priesečník osi paraboly a kolmice na os d

20. Konštrukcia paraboly Obrázok je automaticky animovaný.

21. Parabola v súradnicovej sústave

22. Analýza d – riadiaca priamka (direktrix), F – ohnisko (fokus), V – vrchol X[x;y]- ľubovoľný bod paraboly |F,d|= p – parameter paraboly |F,V| = |V,d| = p/2 – polparameter F[p/2;0], V[0;0], Rovnica riadiacej priamky d: x = - p/2 2x + p = 0

23. Kanonická - vrcholová rovnica paraboly Podľa definície |F,X| = |X,d| y2 = 2px

24. Posunutá parabola

25. Rovnica posunutej paraboly Vrchol pôvodnej paraboly je posunutý do V[4;3] (y - 3)2 = 4·(x - 4)

26. Rovnica paraboly otočenej o celý násobok Π/2

27. Rovnica paraboly otočenej o celý násobok Π/2 Vrchol pôvodnej paraboly je posunutý do V[4;3] a parabola je otočená o Π (y - 3)2 = - 4·(x - 4)

28. Elipsa ako kužeľosečka Ak režeme kužeľovú plochu rovinou, ktorá nie je kolmá a ani rovnobežná S osou plochy a nie je ani rovnobežná s povrchovou priamkou, potom výsledkom rezu je elipsa.

29. ELIPSA Definícia: Elipsou nazývame množinu všetkých bodov X roviny, ktoré majú od dvoch daných pevných bodov tejto roviny F1, F2 (ohnísk) konštantný súčet vzdialeností, t.j. platí pre ne, že |F 1,X| + |X,F2| = 2a > |F1F2|, kde 2a je konštanta, väčšia ako je vzdialenosť ohnísk.

30. ELIPSA Geometrická konštrukcia: • Zostrojíme úsečku F1 F2 a jej stred S • Zostrojíme úsečku AB na tej istej priamke a s tým istým stredom • Zostrojíme ľubovoľný pomocný, pohyblivý bod Q úsečky AB • Zostrojujeme kružnice so stredom F1 s polomerom |A,Q| a so stredom F2 a s polomerom |B,Q | • Priesečníky týchto kružníc sú body elipsy

31. Konštrukcia elipsy Obrázok je automaticky animovaný.

32. Analýza elipsy

33. Analýza elipsy Podľa obrázka : |A,S| = a - dĺžka hlavnej poloosi | F,S | = e - excentricita | C,S | = b – dĺžka vedľajšej poloosi Teda platí (Pythagorova veta): a2 = b2 + e2

34. Výpočet kanonickej rovnice elipsy |X,F| + |X,G| = 2a X[x;y], F[-e;0], G[e;0] teda

35. Kanonická – stredová rovnica elipsy Po úprave a využití vzťahu medzi poloosami a excentricitou x2 b2+ y2 a2 = a2 b2 x2 y2 ––– + ––– = 1 a2 b2

36. Posunutá elipsa(hlavná os je rovnobežná s ox)

37. Rovnica posunutej elipsy(hlavná os je rovnobežná s ox) Stred elipsy je posunutý do bodu [3;2] Rovnica elipsy je potom

38. Otočená elipsa(hlavná os je rovnobežná s oy)

39. Otočená elipsa(hlavná os je rovnobežná s oy) Rovnica elipsy sa zmení tak, že v rovnici si dľžky hlavnej poloosi a a vedľajšej poloosi b vymenia miesto x2 y2 ––– + ––– = 1 b2 a2

40. Hyperbola ako kužeľosečka Ak ako rovinu rezu použijeme rovinu rovnobežnú s osou kužeľovej plochy, potom výsledkom rezu je hyperbola, alebo dvojica rôznobežných priamok prechádzajúcich vrcholom kužeľovej plochy. Obrázok je automaticky animovaný.

41. HYPERBOLA Definícia: Hyperbolou nazývame množinu všetkých bodov X roviny, ktoré majú od dvoch daných rôznych bodov F1, F2 (ohnísk) konštantný rozdiel | |F 1,X| - |X,F2| | = 2a pričom 0<2a < |F1F2| = 2e.

42. Hyperbola Geometrická konštrukcia: • Zostrojíme priamku F1F2 a stred S úsečky F1F2 • Zostrojíme na priamke F1F2 body A,B tak, aby úsečka AB mala dĺžku 2a a stred S • Zostrojujem kružnice so stredmi v ohniskách a s polomermi r, r+2a, kde r je ľubovoľné kladné reálne číslo • Priesečníky kružníc sú body hyperboly

43. Konštrukcia hyperboly Sleduj priesečníky kružníc rovnakej farby (zelených, červených) Kapitola Domov

44. Hyperbola v súradnicovej sústave C F1 A B F2 S

45. Analýza F1[-e;0], F2[e;0], A[-a;0], B[a;0], S[0;0], C[-a;b] |A,S| = a - dĺžka hlavnej poloosi |A,C| = b – dĺžka vedľajšej poloosi |A,S|2 + |A,C|2 = |S,C |2 ........ a2 + b2 = e2 C je priesečník dotyčnice k hyperbole v bode A a kružnice so stredom S a polomerom e.

46. Kanonická – stredová rovnica hyperboly | |F 1,X| - |X,F2| | = 2a

47. Kanonická - stredová rovnica hyperboly Po úprave a využití vzťahu medzi poloosami a excentricitou: x2 b2 - y2 a2 = a2 b2 x2 y2 ––– - ––– = 1 a2 b2

48. Posunutá hyperbola

49. Rovnica posunutej hyperboly Stred hyperboly je posunutý do S[4;3] (x - 4)2 (y - 3)2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ - ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ = 1 16 9

50. Text pre používateľa Táto prezentácia je určená na použitie pri viacerých možných situáciách. • Ako vyučovacia pomôcka na výkladovej vyučovacej hodine, realizovaná pomocou PC a dataprojektora, sprevádzaná komentárom učiteľa, pričom učiteľ použije tú časť, ktorú na hodine potrebuje. • Ako vyučovacia pomôcka pri zhrňujúcej vyučovacej hodine, kde podobne je prezentovaná pre celú triedu a slúži na rýchly prehľad v tématickom celku, pričom učiteľ ju môže ešte raz komentovať, resp. odpovedať na otázky žiakov. • Ako prostriedok na individuálne štúdium pre žiakov v príprave na skúšku, resp. ako pomôcka pri príprave na maturitnú skúšku z matematiky. Prezentácia bola vytvorená pomocou softvéru: • Powerpoint 2007 • Derive 6 • Cabri 2 • Cabri 3D Pre úspešné používanie je potrebné bežný PC schopný pracovať s uvedeným softvérom a dobrý dataprojektor. Prezentácie sa odporúča prezentovať v polozatemnenej miestnosti. Tento text nie potrebný pre úspešné používanie a preto ho prípadný používateľ môže vyhodiť.