Zeitreihenanalyse WS 2004/2005

1. Zeitreihenanalyse WS 2004/2005 Michael Hauhs / Gunnar Lischeid • Definition einer Zeitreihe, Eigenschafte Tests und Trenderkennung bei Zeitreihen • Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen, Powerspektrum • Zeitreihenmodellierung der ARMA-Klasse • Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedächtnis • Nicht-lineare Methoden: • Wiederkehrdiagramme • Komplexität und Information von Zeitreihen • Singuläre Systemanalyse (SSA) (?) • Wavelets (?)

2. Modellklassen in der S-NL Ebene Nichtlinearität 1/f Chaos ? Edge of chaos Hidden Markov ? ? ? ? ? ? NLARMA ? Stabilitätsanalyse ? Schwingungen ARMA Stochastizität

3. Zeitreihen als Ergebnis von Messungen an dynamischen Systemen • Skalare (univariate) Zeitreihe als 1-d Projektion aus multidimensionaler Dynamik • Nicht einzelne Trajektorien, sondern topologische Eigenschaften von Trajektorienensembles werden untersucht („Anfangsbedingungen sind irrelevant“) • Stabilitätsanalyse liefert mögliches Verhalten: - instabil/explodierend ("runaway solutions") - Fixpunkt - periodisches Verhalten - Grenzzyklus - Kompakte Mengen: Attraktoren - (falls nicht kompakt: ergodische Systeme)

4. Kurze Einführung in dynamische Systeme • Untersucht wird das typische Langzeitverhalten (unabhängig von den Details der Anfangsbedingungen) • Dynamische Systeme werden im Zustandsraum beschrieben • Ausgangspunkt sind i.d.R. deterministische Systeme • Zwei Klassen: - Kontinuierliche Systeme: DGL 1. Ordnung - Diskrete Systeme : Iterationsgleichungen

5. Diskrete dynamische Systeme, Attraktoren, Einbettung Autonomes dynamisches System im Zustandsraum: Die Menge der asymptotischen Trajektorien ist der Attraktor des Systems (Dimension D) Takens Theorem (1983): Beobachtung einer Zustandsvariablen und Bildung von Einbettungsvektoren liefert eine treue Abbildung des Attraktors, falls

6. Stabilität von dynamischen Systemen Ein n-dimensionales dynamisches System sei gegeben: Eine Menge von stationären Punkten sei gefunden: Wohin führen kleine Abweichungen? Linearisierung : d.h. Lineare DGL 1. Ordnung!

7. Satz (Lyapunov): • Haben die Eigenwerte der Matrix alle negativen Realteil,ist das System bei stabil. • Gibt es einen Eigenwert mit positivem Realteil,ist das System instabil. • Ist der größte Realteil = 0, liegt ein Zentrum vor. Lösung der Stabilitätsgleichung Wohin geht die Reise?

8. Quantifizierung von Chaos: der kontinuierliche Fall Man betrachtet -Kugeln um einen Punkt zum Zeitpunkt 0: Die Kugeln verformen sich zu späteren Zeiten zu Ellipsoiden mit Hauptachsen . Dann lassen sich die Lyapunov-Exponenten des Systems so ermitteln: (Zeitmittel) (für ergodische Systeme nicht vom Ort abhängig)

9. kontrahierend/expandierend: Ergodische Systeme: hängt nicht vom Ort ab Lyapunov-Exponent Def.: Ein System ist chaotisch Falls mindestens einer Definition des Lyapunov-Exponenten Mittlere Divergenzrate Verallgemeinerung auf k Dimensionen: k Lyapunov-Exponenten aus den Eigenwerten der Jakobi-Matrix Chaos!

10. (A) Segment of the phase space trajectory of the Lorenz system (for standard parameters r=28, σ=10, b=8/3; Lorenz 1963) by using its three components and (B) its corresponding recurrence plot. A point of the trajectory at j which falls into the neighbourhood (gray circle in (A)) of a given point at i is considered as a recurrence point (black point on the trajectory in (A)). This is marked with a black point in the RP at the location (i, j). A point outside the neighbourhood (small circle in (A)) causes a white point in the RP. The radius of the neighbourhood for the RP is ε=5.

11. Fraktale und Selbstähnlichkeit • Kennzeichen eines Fraktals ist immer die nicht-ganzzahlige Dimension • Es gibt nicht-selbstähnliche Fraktale • Nicht jede selbstähnliche Struktur ist ein Fraktal (Gegenbeispiele: Strecke, Quadrat, Würfel) • Selbstähnliche Strukturen, bei der die Anzahl der Teile nicht skaliert wie ihre topologische (ganzzahlige!) Dimension, sind Fraktale

12. Zeitreihe {x(ti)} der Länge N liegt vor Konstruktion von Einbettungsvektoren • Abstandsberechnung (für eine geeignete Norm p) • Die Matrix R heisst Wiederkehrmatrix von {x(ti)} • Der Punkt (i,j) heisst wiederkehrend, falls • Parameter: Einbettungsdimension m , Verzögerung , Schwellenwertradius r • Wiederkehrdiagramme (RPs): farbkodierte Visualisierungen von R Die Technik der Wiederkehrdiagramme

13. Anzahl der Nachbarn abhängig von der Dimension

14. Versuch zur Ermittlung optimaler Parameter • Teil 1: Ermittlung des optimalen Schwellenwertes r • Bestimmung der Wiederkehrpunkte RP als Funktion des Radius • Berechnung des Zuwachses • Maximum beim Überschreiten des „noise floors“ • danach Plateau? Wähle Beginn des Plateaus • kein Plateau? dann halber Wert des Maximums • Faustregel: RP ca. 30-50%

15. Kriterium zur Ermittlung des optimalen Schwellwert-Radius

16. Versuch zur Ermittlung optimaler Parameter II • Teil 2: Ermittlung des Delays • Der Attraktor sollte nicht zu dicht „abgetastet“ werden • Aufeinanderfolgende Einbettungsvektoren sollten nicht zu stark autokorreliert sein • Ermittlung der ersten Nullstelle der Autokorrelation (linear) oder des ersten Minimums der wechselseitigen Information (nichtlinear) • Wahl des Delays dort in der Nähe

17. Versuch zur Ermittlung optimaler Parameter III • Teil 3: Ermittlung der Einbettungsdimension • Bestimme zu jedem Vektor seinen nächsten Nachbarn • Bestimme den Abstand der Werte zum nächsten Zeitpunkt: • Bestimme den Abstand im Originaldatensatz: („trivialer Prädiktor“) • Ist , zählt als „falscher“ (zufälliger) Nachbar • Wähle die Einbettungsdimension mit der geringsten Zahl von falschen Nachbarn

18. Beispiel für falsche Nachbarn

19. Wiederkehrdiagramme und ihre Quantifizierung (RQA) „Optische Eindrücke objektivieren“ • relative Anzahl der Wiederkehrpunkte (in Fenstern) • Deterministische Anteile sind an Linien unterschiedlicher Länge parallel zur Hauptdiagonalen erkennbar: In (AR(1)-Modell) mit der Linienlänge korreliert ist • Kurze Linien werden als zufällig angesehen (Festlegung einer minimalen Linienlänge) • Verteilung der Linienlängen über Shannon-Entropie quantifiziert

20. Wiederkehrdiagramme und ihre Quantifizierung (Fortsetzung) • Die jeweils längste Linie ist mit dem höchsten Lyapunov-Exponenten invers korreliert • Abnahme der Wiederkehrpunkte nach aussen ( Trend ) Verallgemeinerung: Kreuzwiederkehrdiagramme • zwei unterschiedliche Datenreihen • auf einheitlichen Wertebereich skalieren (z.B. [0,1]) • Quantifizierung so wie vorher

21. Typische Muster in Wiederkehr-diagrammen: A: Zufällig B: Periodisch C: Trend D: Unterbrochen http://www.agnld.uni-potsdam.de/~marwan/rp/index.php?a=glance

22. http://www.agnld.uni-potsdam.de/~marwan/rp/index.php?a=glancehttp://www.agnld.uni-potsdam.de/~marwan/rp/index.php?a=glance

23. Vergleich:lineare Methoden und Wiederkehrdiagramm N. Marwan und Kurths (2002)

24. Vergleich:lineare Methoden und Wiederkehrdiagramm N. Marwan und Kurths (2002)

25. Vergleich mit komplexeren Modell:AR(1) gekoppelt mit dem Lorenz-System (n=8000) : yn= 0.86yn-1 + 0.500ξn+ κxn2 N. Marwan und Kurths (2002)

26. Vergleich mit komplexeren Modell:AR(1) gekoppelt mit dem Lorenz-System (n=8000) : yn= 0.86yn-1 + 0.500ξn+ κxn2 Die lineare Methode (Kreuzkorrelation)versagt N. Marwan und Kurths (2002)