Estatística & Geologia

1. Estatística & Geologia • Amostragem: fornecimento de critérios segundo os quais as amostras geológicas coletadas sejam representativas da população sob estudo; • Análise de dados: registro sistemático e ordenado dos valores obtidos;representação gráfica que resuma os resultados; identificação de tendências, agrupamentos e correlações; • Comprovação de hipóteses de trabalho: verificação de conceitos ou modelos de processos geológicos; • Previsão quantitativa: solução de problemas específicos que envolvam interpolações e extrapolações.

2. A Geologia deve, além da sua característica fundamental de ciência que estuda o presente para interpretar o passado, passar a ser também uma ciência que entende o presente para prever o futuro.

3. Modelos em Geologia • modelo conceitual • modelo escalar • modelo matemático: • determinístico • estocástico (estatístico)

4. Estudo geológico quantitativo • Enfoque do problema geológico. • Modelo conceitual. • Seleção de variáveis. • Coleta e análise de dados. • Seleção de variáveis. • Refinamento do modelo. • Uso do modelo em previsão. • Aceitação, rejeição ou melhoria do modelo. • Retorno ao estágio apropriado.

5. Populações a) População definida em termos de indivíduos isolados que a compõe. • Os objetos na população são indivíduos, e um ou mais atributos são medidos em cada um deles. Ex.: espessuras de arenitos numa população de corpos arenosos existentes numa certa unidade estratigráfica. • Os objetos na população são conjuntos de indivíduos, sendo cada indivíduo medido isoladamente. Ex.: relação clásticos/químicos numa população de corpos arenosos existentes numa unidade estratigráfica.

6. b) População definida em termos do conjunto de indivíduos, conjuntos esses que são elementos da população. • Os objetos estão agrupados e as medidas são tomadas diretamente em relação ao conjunto, e não aos indivíduos que o compõe. Ex.: porosidade de unidade estratigráfica numa população de unidades estratigráficas numa bacia sedimentar. • Os objetos estão agrupados, mas são medidos individualmente para obtenção de propriedades gerais desses conjuntos. Ex.: espessuras de corpos arenosos por unidade estratigráfica numa população de unidades estratigráficas numa bacia sedimentar.

7. População e amostra População visada e população amostrada Parâmetros e estatísticas Planos de amostragem

8. Amostragem casual simples • Necessário preliminarmente construir um sistema de referência, isto é, a relação completa e numerada de todos os elementos n que compõe a população. • Em seguida utiliza-se uma tabela de números ao acaso para a escolha dos n números que comporão a amostra. Essa amostragem será com reposição se os elementos de população puderem entrar mais de uma vez para a amostra e, neste caso, a amostragem é estatisticamente independente. Caso contrário, a amostragem será sem reposição e estatisticamente dependente. • Exemplo: população de n fósseis de uma mesma espécie encontrados num certo afloramento. Depois de todos numerados escolhem-se m exemplares, sendo m<n segundo a tabela de números ao acaso, para serem submetidos a medições.

9. Números ao acaso 17 80 97 28 17 80 43 36 15 57 72 08 39 90 73 63 66 29 20 69 82 65 87 36 29 81 05 90 19 91 12 82 89 64 53 98 69 33 71 24 66 68 58 84 26 36 57 10

10. Amostragem sistemática • Quando o sistema de referência geral para toda a população é dispensado e por sorteio amostras são sistematicamente coletadas segundo um padrão pré-determinado. • Exemplo: Num levantamento geoquímico em uma área contida numa folha topográfica, inicialmente divide-se o mapa em um número suficiente de quadrículas e as mesmas são numeradas. Em seguida, utilizando um processo casual simples, sorteiam-se quadrículas e uma amostra será retirada de cada uma dasquadrículas.

11. Amostragem por agrupamentos • Quando a construção do sistema de referência, dada uma certa unidade de amostragem, é inexeqüível. • Escolhe-se então uma amostra casual simples de uma unidade de amostragem maior que englobe um certo número de indivíduos, os quais serão todos considerados. • Exemplo: sejam n poços para água subterrânea distribuídos irregularmente numa área e se quer, a partir de m poços, sendo m<n, verificar a vazão média regional. A área será dividida em quadrículas e segundo um processo casual simples algumas serão escolhidas. Todos os poços contidos em cada uma das quadrículas sorteadas serão considerados.

12. Amostragem estratificada • Usada quando se supõe presente uma grande variabilidade nas observações. Neste caso a população é dividida em sub-populações e cada uma delas é submetida a uma amostragem casual simples. • O efeito dessa amostragem é que apesar de existir uma grande variabilidade entre as sub-populações, consegue-se encontrar dentro de cada uma dela uma variabilidade menor. • Exemplo: seja uma prospecção para chumbo numa região de contato de granito intrusivo no calcário. Inicialmente divide-se a região em três áreas: calcário, granito e zona intermediária entre os dois corpos. Em seguida, cada uma das regiões será submetida a um processo conveniente de amostragem.

13. Amostragem hierárquica • O sistema de referência é construído no sentido de unidades de amostragem maiores para menores através de sucessivas amostragens casuais. • Exemplo: Seja um corpo de arenito com n afloramentos distribuídos por uma área e se quer amostrá-lo para minerais pesados. Inicialmente, por processo de amostragem casual simples, sorteia-se a afloramentos. Cada um desses afloramentos é subdividido em seções e para cada afloramento seções são escolhidas. De cada seção sorteiam-se m amostras. Todas as amostras são então numeradas e por um processo casual simples, sorteiam-se as que terão o seu conteúdo em mineraispesados estudadas.

14. Métodos na coleta de dados • Medição: espessura de uma camada, ângulo de mergulho de um eixo de dobra etc. • Contagem:número de grãos de zircão numa lâmina de minerais pesados; número de poços petrolíferos produtores numa região etc. • Identificação: classificação de um fóssil dentro de um determinado gênero ou espécie; identificação de uma rocha num determinado grupo petrográfico etc. • Ordenação: escala de dureza dos minerais; tabela de cores etc.

15. Escalas de mensuração nominal: classificação de objetos em termos de igualdade de seus atributos; tanto faz que sejam nomes, símbolos ou números. Ex.: Identificação e/ou classificação de rochas, minerais ou fósseis; cor de sedimentos etc. ordinal: classificação em uma série ordenada de valores. Ex.: escala de dureza de Mohs; estimativas visuais de esfericidade e de arredondamento de grãos; ordenação de estratos por idade etc. intervalo: determinação da igualdade entre intervalos; estabelece uma igualdade entre os intervalos de classe, sem levar em consideração o ponto zero, de tal modo que cada classe é sucedida por uma outra a uma fixada e conhecida proporção. Ex.: escala de temperatura, valores de potencial expontâneo, tamanho de partículas etc. razão: determinação da igualdade de razões; igualdade de razões com respeito à qualidade em questão, havendo necessidade de que seja levada em consideração a identificação do ponto zero. É a mais versátil e poderosa escala de medida. Ex.: medidas de peso ou massa, comprimento, área, volume, velocidade de corrente etc.

16. As escalas nominal e ordinal fornecem valores discretos e as escalas de intervalo e de razão valores contínuos.

17. Distribuições de freqüências • Representação gráfica de distribuições amostrais • Medidas descritivas de uma série de números • Método dos momentos para o cálculo das estatísticas • Distribuições teóricas de freqüências Distribuição binomial Distribuição de Poisson Distribuição normal Verificação da presença de distribuição normal em um conjunto de dados Distribuição lognormal Distribuição circular normal

18. Histograma

19. Distribuição e distribuição acumulada Distribuição de probabilidades 1 Distribuição de prob. acumuladas 0

20. Média e desvio padrão 1 desvio padrão = 68%

21. Estimativas e testes de hipóteses • Teste "t“ • Teste de hipótese para média , com µ desconhecida e variância estimada • Comparação entre duas médias • Intervalos de confiança para µ Teste 2 • Intervalos de confiança para ² • Prova de aderência • Comparação entre distribuições de freqüências • Tabela de contingência Teste F • análise de variância

22. Associação entre variáveis • Correlação e regressão lineares • Regressão curvilínea • Regressão multipla • Regressão polinomial

23. Avaliação tempo-espacial • Análise de dados em seqüência • Series de tempo • Superfícies de tendência • Geoestatística

24. Tipos de dados • Pontos • Espacialmente continuos

25. Exemplo • Construir histogramas para as variáveis “A” e “B” • Obter as estatísticas para “A” e “B” e verificar presença de distribuição normal. • Verificar se ambas as variáveis provem da mesma população • Construir mapas de isovalores (isopletas) para as variáveis “A” e “B” • Comparar a configuração dos dois mapas resultantes • Confrontar os resultados e tecer comentários a respeito.

26. 1 1.00 5.00 0.80 1.95 2 2.00 5.00 0.72 2.10 3 4.00 5.00 0.69 1.30 4 3.00 4.50 0.80 1.40 5 4.50 4.50 0.73 0.73 6 0.50 4.00 1.19 1.50 7 1.50 4.00 0.94 1.85 8 2.50 4.00 0.96 1.41 9 3.50 4.00 1.05 1.20 10 5.00 4.00 1.32 1.32 11 1.00 3.50 1.02 1.60 12 2.00 3.50 1.20 1.57 13 3.00 3.50 1.10 1.10 14 4.00 3.50 1.18 1.18 15 6.00 3.50 1.30 1.31 16 1.50 3.00 1.55 1.55 17 2.50 3.00 1.57 1.20 18 3.50 3.00 1.30 1.30 19 5.00 3.00 1.00 0.76 20 0.50 2.50 1.18 1.18 21 1.50 2.50 1.40 1.40 22 2.00 2.50 1.30 1.30 23 2.50 2.50 1.50 1.45 24 4.00 2.50 1.40 1.40 25 1.50 2.00 1.85 1.00 26 2.50 2.00 1.20 1.05 27 3.00 2.00 1.23 1.23 28 4.00 2.00 1.30 1.30 29 0.50 1.50 1.62 1.00 30 1.50 1.50 2.09 0.81 31 2.00 1.50 1.60 0.70 32 2.50 1.50 1.40 0.80 33 3.00 1.50 1.41 0.55 34 3.50 1.50 1.38 1.38 35 4.00 1.50 1.04 1.04 36 2.00 1.00 1.31 0.80 37 3.50 1.00 1.28 1.28 38 2.50 0.50 0.55 1.00 Dados: ID, X, Y, A, B

27. Histograma: A

28. Histograma: B

29. Estatísticas • A B • Média 1.22 1.24 • Erro padrão 0.05 0.05 • Mediana 1.255 1.29 • Moda 1.3 1.3 • Desvio padrão 0.32 0.34 • Variância 0.10 0.12 • Curtose 0.51 0.34 • Assimetria 0.18 0.27 • Intervalo 1.54 1.55 • Mínimo 0.55 0.55 • Máximo 2.09 2.1 • Soma 46.46 47.00 • Contagem 38 38

30. Teste t: intervalos de confiança A: 1,22±2,02.0.323/√38 = 1,22±0,106 = 1,114 – 1,326 B: 1,24±2,02.0.342/√38 = 1,24±0,112 = 1,128 – 1,352

31. Teste t: comparação entre duas médias

32. Comparação entre médias A e B AB • Média 1.223 1.237 • Variância 0.104 0.117 • Observações 38 38 • Coef.Correlação -0.334 • H0 0 • gl 37 • Estatística t -0.161 • t crítico uni-caudal 1.687

33. Distribuições espaciais: A e B

34. Bibliografia • CLARK, I. (1979) – Practical Geostatistics: Applied Science Publishers Ltd, 129p. (htpp://uk.geocities.com/drisobelclark/practica.html) • ISAAKS, E.H. & SRIVASTAVA, R.M. (1989) – An Introduction toApplied Geostatistics: Oxford University Press, 561p. • JOURNEL, A.G. & HUIJBREGTS, J.C.H.(1978) - Mining Geostatistics: Academic Press, 600p. • LANDIM, P.M.B. (2003) - Análise Estatística de Dados Geológicos. 2ª. Edição: Fundação Editora da UNESP, 253p. • STURARO, J.R. (1994). Mapeamento geoestatístico de propriedades geológico-geotécnicas obtidas em sondagens desimples reconhecimento: Tese de Doutorado em Geotecnia, Escola de Engenharia de São Carlos – USP, São Carlos, 183p. htpp://ns.rc.unesp.br/igce/aplicada – GGRC/Publicações)