PRESENTADO POR: Raúl Sánchez López

1. PRESENTADO POR: Raúl Sánchez López

2. Ecuación de la elipsede centro (h,k) y ejes paralelos a los coordenados. Ahora consideremos la determinación de la ecuación de una elipse cuyo centro no está en el origen y cuyos ejes son paralelos a los ejes coordenados. Según esto, consideremos la elipse cuyo centro está en el punto (h,k) y cuyo eje focal tal como se indica en la figura y Y’ (h,k) o’ X’ x o

3. Sean 2a y 2b las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse respectivamente. Si los ejes coordenados son trasladados de manera que el nuevo origen O’ coincida con el centro (h,k) de la elipse , se sigue , del teorema de la elipse con centro en el origen, que la ecuación de la elipse con referencia a los nuevos ejes X’ & Y’ está dada por : De la ecuación (1) puede deducirse la ecuación de la elipse referida a los ejes originales X & Y usando las ecuaciones de transformación de los ejes coordenados a saber :

4. Y ‘ Y (h,k) X ‘ O ‘ X O

7. Consideremos ahora la ecuación de la elipse en la forma: Si quitamos denominadores Desarrollamos binomios y trasponemos Desarrollamos productos

8. Ordenamos La cual puede escribirse en la forma Evidentemente, los coeficientes A y C deber ser del mismo signo Recíprocamente, consideremos una ecuación de la forma (4) y reduzcámosla a la forma ordinaria (2)

9. Agrupando y pasando a F al otro miembro COMPLETANDO CUADRADOS

10. Factorizando los trinomios y reduciendo la fracción

12. Una discusión semejante se aplica a la otra forma de la segunda ecuación ordinaria de la elipse. Por tanto, tenemos el siguiente

13. EJEMPLOS DE PROBLEMAS DE ECUACIONES DE LA ELIPSE 1.- La tierra describe una trayectoria elíptica alrededor del Sol que se encuentra en uno de los focos, Sabiendo que el semieje mayor de la elipse vale 148 500 000 kilómetros y que la excentricidad es aproximadamente, 1/62 hallar la máxima distancia de la tierra al sol PROCEDIMIENTO Plan para resolver el problema: Desarrollemos un bosquejo gráfico para tener una visualización de lo que buscamos.

14. SEMIEJE MAYOR FOCO Distancia mayor Distancia menor

16. Distancia mayor Distancia menor

17. Por tanto la respuesta es : La máxima distancia es a + c = 150 895 161.3 km. La mínima distancia es a – c = 146 104 838. 7 km.

18. 2.-Un arco de un puente tiene forma semielíptica con el eje mayor horizontal. La base del arco mide 30 pies y la parte más alta está 10 pies por encima de la carretera horizontal que pasa por abajo del puente (véase la figura). Calcule la altura del arco sobre el punto del suelo que está a 6 pies del centro. P(x,y) altura 6 pie

19. PROCEDIMIENTO

20. 3.- Los focos de una elipse son los puntos (-4,-2) & (-4,-6), y la longitud de cada lado recto es 6. Hállese la ecuación de la elipse y su excentricidad Solución Estrategia a seguir: graficar las coordenadas para tener una idea clara de que tipo de ecuación se puede aplicar para la solución del problema. -4 0 F(-4,-2) -2 -4 L.R.=6 -6 F’(-4,-6) -8

24. Gráfica final V(-4,0) -4 0 F(-4,-2) -2 -4 L.R.=6 C(-4,-4) -6 F’(-4,-6) -8 V’(-4,-8)

28. GRÁFICA FINAL Y LADO RECTO= 8/3 V(0,4) F(0,1 + √5) EJE MENOR=4 C(0,1) EJE MAYOR =6 X O F’(0,1 - √5) V´(0,-2)

29. Solución Plan para resolver el problema: evaluar cada punto en la ecuación dada , para tener dos ecuación lineales simultaneas y así poder hallar los valores da D& E, y obtener la ecuación buscada.

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