Unterrichtsgang Mathematik im Leistungskurs der Kursstufe

1. Unterrichtsgang Mathematik im Leistungskurs der Kursstufe am Gymnasium Papenburg Schuljahre 2001/2002 und 2002/2003 mit OStR A. Langendörfer und Kurs 13.Ma.1

2. Wie viel Ableitung braucht der Mensch oder KuDi ist – in mutierter Form – wieder auferstanden.

3. Leitlinien • Problemorientierte anwendungsbezogene Aufgaben • Einsatz eines CAS wo immer möglich • Keine Diskussion von 5-6 Funktionstypen • Keine Vernachlässigung elementarer mathe-matischer Grundkenntnisse und Grundlagen • Beachtung übergreifender Aspekte

4. Themenfolge • Wie viel Nass passt ins Fass? 12.1 • Polynomfunktionen und Splines • Flächeninhalte und Rotationsvolumina • Exponentialfunktionen • Im Transrapid von A(msterdam) nach B(erlin) 12.1 • Problemlösung über Splines (Längen- und Breitengrade in kart. Koordinaten) • Das Problem der Krümmung - Krümmungskreise • Bogenlänge, Krümmungsfunktion und Gesamtkrümmungbei Funktionen • Wie viele Bäume müssen fallen? 12.2 • Parametrisierte Kurven - Grundlagen • Parallelkurve • Flatterbandkurve • Evolute, Zykloide, Neilsche Parabel und Rollkurven

5. Themenfolge 2 • KuDi ist tot - aber er ist wieder auferstanden 13.1 • Ableitung und „Diskussion“ von parametrisierten Kurven • Achsenschnittpunkte auf x- und y-Achse • Extrema (2 an der gleichen Stelle) und Steigung • Singuläre Punkte, Doppelpunkte und Schwenkpunkte • Integration von parametrisierten Kurven • Flächeninhalte zwischen Kurve und den Achsen • Rotationsvolumina • Bogenlänge und Krümmung bei parametrisierten Kurven • Dreh‘ ich oder dreh‘ ich nicht? oder: auch nach oben kann der Platz beschränkt sein 13.1 • Abstand von windschiefen Geraden differentialgeometrisch betrachtet • Hüllkurven <-> Ortskurven • Abstände von Kurven und Geraden

6. Wie viel Nass passt ins FassoderWie viel Weizen darf‘s denn sein? Funktion <-> Relation Umkehrfunktion, Kehrform

7. Wie viel Nass passt ins FassoderWie viel Weizen darf‘s denn sein? Untersuchung und Herleitung der (Rand) Funktion(A) Berechnung des Flächeninhaltes und des Rotationsvolumens (bei gegebener Randfunktion) (B)

8. Wie viel Nass passt ins FassoderWie viel Weizen darf‘s denn sein?(A) • Randfunktion als Polynom 2. oder 4. oder 5. Grades • Über Lösen entsprechender Gleichungssysteme • Über den „Fit“- Befehl (Derive 5) • Randfunktion über Splines definieren • Was ist ein Spline? • Grenzen der Spline-Darstellung • Randfunktion als Exponentialfunktion

9. Wie viel Weizen..... Randfunktion als Polynom 2. oder 4. oder 5. Grades Bedingungen festlegen(Glas vermessen) Achtung:Bestimmung von weite-ren Punkten des Glases ist mög-lich. Liefert weitere Bedingungen, die das Ergebnis aber verschlech-tern, da der Graf der Funktion (z.B. 8./9. Grades )„ausschlägt“ und kein befriedigendes Ergebnis liefert. Höhe, Radius unten, oben und Taille Koordinaten von 3 Punkten -> 3 Bedingungen Taillenpunkt als Minimumliefert 6. Bedingung Steigung am Anfang/Ende = 02 zusätzliche Bedingungen g.r.Fu 5. Grades g.r.Fu. 4. Grades g.r.Fu. 2. Grades

10. Wie viel Weizen..... Randfunktion über „Fit“-Befehl Der Derive-Befehl „Fit“ verbindet ein vorher festgelegtes Polynom n-ten Grades f mit einem n+1 Punkte umfassenden Feld. z.B. #1 g(x) := ax5 +bx4 +cx3 +dx2 +ex +f #2 punkte := [[x1,y1],[x2,y2],.....,[x6,y6]] #3 fit ([x,g(x)], punkte) oder #3 fit ([x,g(x)], #2)oder #3 fit ([x,g(x)], [[x1,y1],[x2,y2],.....,[x6,y6]]) „Fit“ kann keine Bedingungen wie f‘ = 0 oder f‘‘=0 verarbeiten. Es ist ein eingeschränkter Gleichungslöser

11. Wie viel Weizen..... Randfunktion über Splines (1) Es seien x0<x1<....<xn Stützstellen und fi (i=0..n)zugehörige Stützwerte. Man soll in einem kartesischen Koordinatensystem durch die Punkte (xi;fi) ein biegsames Kurvenlineal möglichst glatt legen. Dann ist die Biegelinie s festgelegt durch die drei folgenden Forderungen:(1) s(xi) = fi für alle i;(2) s sei in ganz [x0;xn] zweimal stetig differenzierbar, d.h. in allen Punkten, insbesondere auch in den Punkten (xi;fi), gehen die Ableitungen und die Krümmungen stetig ineinander über;(3) Die Gesamtkrümmung der Kurve s soll minimal sein, d.h. unter allen in Frage kommenden Funktionen ist s ausgezeichnet.Aus (3) folgt – hier ohne Beweis -, dass gilt:In jedem Intervall [xi;xi+1] ist s durch ein Polynom 3. Grades gegeben. Def.: Ein kubischer Spline s (eine Splinefunktion dritten Grades) zu den Interpolationspunkten (xi;fi), i=0(1),...,n, n>=2, mit x0<x1<....<xn ist eine Funktion s mit den Eigenschaften (1),(2) und (3). (2) Hat die weitgehendsten Konsequenzen für die Splinefunktion. Sie bewirkt einen glatten Anschluss der einzelnen Polynome dritten Grades an den Stellen xi; dort sind insbesondere Krümmungsradius und Krümmungskreis gleich. Beispiel Gegeben seien die 5 Stützpunkte gemäß #3.Die Biegefunktion s muss also aus 4 Polynomen 3. Grades bestehen : #4 bis # 7.Somit ergeben sich 4*4=16 Variablen, also muss man 16 Bedingungen für s finden. Die 4 gefunde-nen Polynome ergeben den gesuchten Spline

12. Wie viel Weizen..... Randfunktion über Splines (2) #1:"Beispiel zur Bearbeitung von Spline-Funktionen" #2:"Festlegung der Stützpunkte" #3:punkte:=[[0,2],[2,4],[5,3],[8,4.5],[10,2]] #4:sp1(x):=a*x^3+b*x^2+c*x+d #5:sp2(x):=e*x^3+f*x^2+g*x+h #6:sp3(x):=i*x^3+j*x^2+k*x+l #7:sp4(x):=m*x^3+n*x^2+o*x+p #8:SOLVE([sp1(0)=2,sp1(2)=4,sp2(2)=4,sp2(5)=3,sp3(5)=3,sp3(8)=4.5,sp4(8)=4.5,sp4(10)=2,sp1''(0)=0,sp4''(10)=0,sp1'(2)=sp2'(2),sp2'(5)=sp3'(5),sp3'(8)=sp4'(8),sp1''(2)=sp2''(2),sp2''(5)=sp3''(5),sp3''(8)=sp4''(8)],[a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p]) #9:Simp(#8) [a=-151/1632 AND b=0 AND c=559/408 AND d=2 AND e=875/7344 AND f=-3109/2448 AND g=2393/612 AND h=563/1836 AND i=-977/7344 AND j=6151/2448 AND k=-4591/306 AND l=29219/918 AND m=185/1632 AND n=-925/272 AND o=3295/102 AND p=-3207/34] #10:Sub(#4) sp1(x):=(-151/1632)*x^3+0*x^2+559/408*x+2 #11:Sub(#5) sp2(x):=875/7344*x^3+(-3109/2448)*x^2+2393/612*x+563/1836 #12:Sub(#6) sp3(x):=(-977/7344)*x^3+6151/2448*x^2+(-4591/306)*x+29219/918 #13:Sub(#7) sp4(x):=185/1632*x^3+(-925/272)*x^2+3295/102*x+(-3207/34) #14:drucksp1(x):=IF(x>=0 AND x<=2,sp1(x)) #15:drucksp2(x):=IF(x>=2 AND x<=5,sp2(x)) #16:drucksp3(x):=IF(x>=5 AND x<=8,sp3(x)) #17:drucksp4(x):=IF(x>=8 AND x<=10,sp4(x))

13. Wie viel Nass passt ins FassoderWie viel Weizen darf‘s denn sein?(B) • Berechnung des Rotationsvolumens bei bekannter Randfunktion • Didaktische Reduktion auf Berechnung des Flächeninhaltes. Untere- und obere Rechtecksfolge bildenFlächeninhalte aufsummierenGrenzwerte bildenDabei intensive Nutzung eines CAS auf TI oder PCFlächeninhalte unter Graphen <-> Flächeninhalte zwischen Graphen Bestimmtes und unbestimmtes Integral • Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung • Erweiterung auf Rotationsvolumen bei Drehung um x-AchseUntere- und obere Zylinderfolge bildenVolumina aufsummierenGrenzwertbildungNutzung des CAS bei relativ komplexen Randfunktionen • Erweiterung auf Rotation um y-AchseUmkehrbarkeit, Kehrform, Umkehrfunktion • Erweiterung auf Grenzwertuntersuchungen für x-> bzw. x->0

14. Wie viel Nass passt ins FassoderWie viel Weizen darf‘s denn sein?(C) • Exponentialfunktionen als Randfunktion • Herleitung einer e-Funktion z.B. über natürliche Zerfallsprozesse aus derChemie, Biologie oder Physik • Untersuchung von Expo.-funktionen mittels Differenzialrechnung • Kettenregel und Regeln von L‘Hospital • Funktionen des Typs f(x) = k*e-bx^2 als mögliche Randfunktion • Anwendungen für Exponential-Funktionen aus NW (auch mit anderen Basen)

15. Im Transrapid von A(msterdam) nach B(erlin) • Aufstellen einer Splinekurve durch die Städte A(msterdam), G(roningen),H(ansestadt) B(remen), H(ansestadt) H(amburg) und B(erlin) nach Umrechnung vongeographischen Länge und Breiten in kartesische Koordinaten. • Aufstellen einer zweiten Verbindung, nun über A(msterdam), D(ortmund), H(annover), M(agdeburg) und B(erlin) in entsprechender Weise • Die Frage nach der optimalen Streckenführung führt auf die Kern-bereiche Kosten  Streckenlänge  Bogenlänge und Geschwindig-keit  Krümmung • Herleitung der Formel b = für die Bogenlänge C:\Dokumente und Einstellungen\Langendörfer Achim\Eigene Dateien\PowerPoint\Praesenztag\Bogen.ppt 5. Krümmung ist nicht f‘‘(x) am Beispiel f(x) = x^2.

17. Im Transrapid von A(msterdam) nach B(erlin) Die Krümmung des Graphen einer Funktion an einer Stelle x0 entspricht nicht dem Wert der 2. Ableitung der Funktion an dieser Stelle (z.B. ist f‘‘(x) = 0 für f(x)=x2 der Graph von f ist aber nicht konstant gekrümmt), weil bei der Krümmung in einem Intervall (anders als bei der Steigung) die Länge des Graphen (also seine Bogenlänge) berücksichtigt werden muss. Je kürzer der Bogen desto geringer die Krümmung ( also ist die direkte Verbindung – die Gerade – nicht gekrümmt; k=0 ist somit das einzige Krümmungsmaß, das über die 2. Ableitung ermittelt werden kann).Die Krümmung von f an der Stelle x0 lässt sich aber über den zugehörigen Krümmungskreis definieren; k  1/r. Somit liefert der Radius des Krümmungskreises das Krümmungsmaß von f. k(x0) = f(x0) k‘(x0) = f‘(x0) k‘‘(x0) = f‘‘(x0) aus 3) -> ym k: (x-xm)2 + (y-ym)2 = r2 k‘: x-xm + (y-ym)*y‘= 0 k‘‘: 1 + y‘2 + (y-ym)*y‘‘ = 0 1)(x0-xm)2 + (f(x0)-ym)2 = r2 2)(x0-xm) + ( f(x0)-ym)*f‘(x0) = 0 3)1 + f‘(x0)2 + (f(x0)-ym)*f‘‘(x0) = 0 Einsetzen in 1) -> r Einsetzen in 2) ->xm Integration von küber die Teilbögenliefert die Gesamt-krümmung

18. Klassische Mathematik Teil 1 • Grundlagen der linearen Algebra • Gruppe, Körper, Vektorraum, Unterräume, Basis, Dimension ... • Lineare (Un)Abhängigkeit, Def. des Skalar- und Vektorprodukts • Metrik auf dem R3 • Grundlagen der Analytischen Geometrie • Geraden- und Ebenengleichungen, Schnitt, Winkel, Abstände, Lagebeziehungen, Kugel, Polare • Schwerpunkt u.a. Abstand von 2 windschiefen Geraden, Abstandsberechnungen im Allgemeinen Körper der komlexen Zahlen Parametrisierte Kurven oder Hüllkurven

19. Klassische Mathematik Teil 2 Körper der komplexen Zahlen • Geschichte der komplexen Zahlen • Isomorpie zwischen C und RxR (a+ib <-> ) • Darstellungsformen (Normalform, Polarform, Eulerform) • Rechnen und Arbeiten mit komplexen Zahlen

20. Wie viele Bäume müssen fallen?Grundlagen parametrisierter Kurven Ein Lastwagenmit einem Eisenträger, der a Meter nach hinten herausragt durchfährt eine b Meter breite Allee auf dem Mittelstreifen, wobei der Verlauf des Streifen in einem Bereich von –c bis +c um den Ursprung in etwa dem Verlauf des Graphen der Funktion f(x) = k*xn genügt. (1LE = 10 Meter)Kann der Laster die Allee durchfahren ohne die Bäume am Rande zu treffen? z.B. f(x) = 0,5*x4 , c=2 , a=8 und b = 5 1. Transfer Gerade Wie lautet die Terme der inneren undäußeren Begrenzung der Straße?  Parallelkurve Da die Straße insgesamt a (a=8) Meter breit sein soll, könnte man annehmen, dass funten(x)=f(x)-4 und foben(x)=f(x)+4 ist. Dies ist aber außer an der Stelle O(0;0) falsch. Gesucht ist zunächst ein Punkt Z, der von einem Punkt P auf f einen bestimmten Abstand hat. Dies ist vektoriell kein Problem. Also muss man versuchen, das analytische Problem vektoriell zu bearbeiten.

21. Wie viele Bäume müssen fallen?Grundlagen parametrisierter Kurven 2. Die Umformung einer Geradengleichung der Form y=m*x+b in die vektorielle Form gelingt immer. Dabei werden Vektoraddition und Skalarprodukt verwendet, was bei einer Einführung in Klasse 11 nicht problematisiert werden muss, zumal es den Schülern völlig logisch und sinnrichtig erscheint. Die Umkehrung ist nicht immer so leicht, insbesondere dann nicht, wenn der Aufpunkt nicht in der Form gegeben ist.Für LK-Schüler aber kein Problem. 2. Transfer Parabel Jeder Punkt P(x;y) auf dem Graphen von f(x)=k*xn ist darstellbar (erreichbar) über den Vektor f(x)=k*xn Hinweis Beim TI 92 Plus bzw. Voyage 2000 muss unter „Mode“ an erster Stelle „Funktion“ in „Parametrisch“geändert werden. Im y-Editor wird dann x(t)=t undy(t) = f(t) eingegeben. Unter „Windows“ muss zu-nächst t und dann der Zeichenbereich für x und yeingegeben werden. Variable ist t!! x ist zunächst zu einer Zeichenbereichsgröße degradiert. f(x)=y = m*x +b ist also gleichbedeutend mit

22. Wie viele Bäume müssen fallen?Parallelkurve 1 Zu einem Punkt Q auf der „unteren“ Parallelkurve gelangt man, indem man zunächst zu einem Punkt P auf f geht und dort den mit dem Abstandsfaktor b multiplizierten Normaleneinheitsvektor ansetzt. Beispiel f(x) = x2 mit b=2 Die Darstellung der „oberen“ Kurve ergibt sich durch Vertauschung der Vorzeichen im Normalenvektor bzw.in der Parameterdarstellung.

23. Wie viele Bäume müssen fallen?Parallelkurve 2 Parallelkurve für b=2 Parallelkurvenschar für b =0,5; 1; 1,5 und 2 Die unteren Parallelkurven sind problemlos zu erstellen, bei den oberen kann es aber zu sogenannten Rückläufen kommen. Fragen: Wann und warum? Was hat es mit den Spitzen auf sich? Problem!! Rückläufe treten auf, wenn die x-Komponenteder Parameterdarstellung die Monotonie ändert. Um also zu klären, wie breit eine Straße nach oben sein kann, muss man das Monotonieverhalten für x(t) untersuchen, d.h. man bildet x‘(t) und be- stimmt die lokalen Extrema von x(t).

24. Wie viele Bäume müssen fallen?Parallelkurve 3 Da dieses a aber für jeden Punkt P des Graphen jeweils den Krümmungskreisradius angibt (s. Folie 16), legt der Vektor xs(t) den zugehörigen Krümmungskreismittelpunkt fest. Alle Krümmungskreismittelpunkte liegen also auf einer Kurve, die man die Evolute oder hier Neil‘sche Parabel der Ausgangskurve nennt.

25. Wie viele Bäume müssen fallen?Flatterbandkurve Nachdem nun die Straße mit ihrem(r) oberen und unteren Rand(kurve) durch Parallelkurven festgelegt wurde, muss nun geprüft werden, welche Kurve der hinterste Punkt des Eisenträgers durchläuft, wenn der Lastwagen auf dem Mittelstreifen der Straße die Kurve passiert. Es erfolgt ein neuer vektorieller Ansatz. Beispiel 1: f(x) = 1/8x2 , a = 2 m und l = 4 m Beispiel 2: f(x) = 1/8x2 , a = 2 m und l = 5 m Die Bäume können stehen bleiben Ortsvektor zum Parabelpunkt P Die Bäume müssen weg Tangentenvektor in P Tangenteneinheitsvektor in P Ortsvektor des Flatterbandes mitLänge ldes Tangentenstücks oder

26. Wie viele Bäume müssen fallen?Evolute, Neil‘sche Parabel, Rollkurven 1 Unter der Evolute versteht man die Kurve, die die Mittelpunkte der Krümmungskreise einer zweimal differenzierbaren Funktion f durchlaufen, wenn ein Punkt P den Graphen von f durchläuft. Damit lässt sich die Evolute zu f wie folgt allgemein definieren: Die Evolute zu f(x)=ax2 lässt sich also in parametrisierter und funktionaler Form angeben. Diese Evolute nennt man Neil‘sche Parabel. Dieses Verfahren lässt sich aber nicht immer durchführen. Im Beispiel: f(x)=2x2 für –1< x < 1 mit Neil‘scher Parabel Bsp.: f(x) = a*x2 Wird der Term von f komplexer, ergeben sich schwierigere Zusammenhänge oder

27. Wie viele Bäume müssen fallen?Evolute, Neil‘sche Parabel, Rollkurven 2 Daraus ergibt sich, dass jede funktionale Darstellung einer „Kurve“ in eine parametri-sierte Form umgewandelt werden kann - aber nicht umgekehrt. Evolute zu f(x) = 3*x4 Der Vorteil der parametrisierten Darstellung von Kurven liegt also darin, dass man auf diese Weise auch Kurven beschreiben kann, die keine Funktion darstellen. 1) Die Evolute besitzt 2 Äste, da die Krümmung von f im Ursprung 0 ist; k(0)=0. Dort muss somit der Radius des Krümmungskreises unendlich sein. 2) Diese Evolute (keine Neil‘sche Parabel) kann nicht in funktionaler Form dargestellt werden.

28. Wie viele Bäume müssen fallen?Evolute, Neil‘sche Parabel, Rollkurven 3 Rollkurven Gegeben sei ein Punkt auf dem Rad einer Loko-motive mit dem Radius r. Welche Bahn durch-läuft dieser Punkt wenn sich das Rad dreht? Welche Fläche wird dabei überstrichen? Wie verhält sich ein Punkt, der im Rad liegt? usw. Wenn ein Kreis auf einer Geraden abrollt, dann heißt die Bahnkurve, die ein beliebiger Punkt des Kreises beschreibt, eine Zykloide Bild einer gespitzten (c=r), ver-kürzten (r>c) und geschlunge-nen (r<c) Zykloide

29. KuDi ist gar nicht so totDiskussion von parametrisierten Kurven Gegeben sei die durch K1: beschriebene Kurve. K2 Diskussionspunkte 1.Ableitung K‘: • Nullstellen (y(t)=0) • Y-A-punkte.... (x(t)=0) • Extrema (y‘(t)=0 ^ x‘(t)0) • Schwenkpunkte (x‘(t)=0 ^ y‘(t)0) • Wendepunkte • Singuläre Punkte • Doppelpunkte • Mehrfachpunkte 2.Ableitung K‘‘: K1 K2

30. y(t)=0t=0  t= (x=0,x= 4- ) x(t)=0t=-1  t=0  t=1 (y=5,y=0,y= -3) y‘(t)=0  4t3-4=0 t=1 ; x‘(1)0; K‘‘(1)>0; also TP; x(1)=0 und y(1)= -3TP(0;-3) x‘(t)=3t2-1=0  t= S1(0,385 ; 2,421) und S2(-0,385 ; -2,198) K‘‘(t)=0   t=0  t= - 1,52138 => W1(0;0) und W2(-2;11,44) Singulärer Punkt: Gilt x‘(t0) = 0 und y‘(t0)=0, so heißt der Punkt P(x(t0);y(t0)) singulärer Punkt. Über das Verhalten der Tangente in diesem Punkt kann keine allgemeine Aussage gemacht werden. (Gesonderte Untersuchung bzgl. Steigung). Doppelpunk: (bei K1)Bei K1 ist für t = 1 und t = -1 x(t) = 0 undgleichzeitig ist y(t)=0; d.h. die Kurve K1 durchläuft den Ursprung zweimal. Damit liegt im Ursprung ein Doppelpunkt vor. Mehrfachpunkt:Ist ein „Doppelpunkt“, der nicht im Ursprung liegt. Um ihn zu ermitteln löst man: x(t1) = x(t2)  y(t1) = y(t2) KuDi ist gar nicht so totDiskussion von parametrisierten Kurven 2

31. Klassische Mathematik Teil 3 Integrationsverfahren • Integration durch Partialbruchzerlegung • Partielle Integration • Integration durch Substitution • Grenzwertuntersuchungen bei Flächeninhalten und Volumina

32. KuDi ist gar nicht so totIntegration von parametrisierten Kurven • Fläche zwischen Kurve und x-Achse • Fläche zwischen Kurve und y-Achse • Fläche in einer Schleife • Rotation um x-Achse • Rotation um y-Achse Nach 1) oder 2) -> gleiches Ergebnis Integration wie Ableitungen unter Verwendung der Kettenregel

33. KuDi ist gar nicht so totBogenlänge und Krümmung bei parametrisierten Kurven Bogenlänge Krümmung Fläche A1 zwischen K und x-Achse Fläche A2 zwischen K und y-Achse Länge der drei Bögen

34. Dreh‘ ich oder dreh‘ ich nicht?oder:auch nach oben kann der Platzbeschränkt sein Ein 11 Meter hoher Tannenbaum kann mittels Schwertransport nicht waagerecht transportiert werden (siehe Flatterband). Es wird daher überlegt, ihn senkrecht auf der 1,5 Meter hohen Ladefläche eines Transporters stehend über eine Straße von A(schendorf) nach B(apenburg) zu transportieren. Dabei muss er allerdings eine Überlandleitung unter-queren, die nicht waagerecht verläuft sondern (vereinfacht dargestellt) gemäß einer fallenden Geraden im Raum. Der Straßenverlauf genüge im kritischen Bereich etwa der Verlauf des Graphen der Funktion f mit f(x) = 1/4 x2 für –2  x 2, mit 1 LE = 10 Meter und die Überlandleitung verläuft durch die Spitzen der beiden Haltemasten mit A(-0,5/1/1,4) und B(0,5/-1/1,1). Kann der Transport die Leitung unterqueren? • Geometrisches Problem, die Gerade wird dreidimensional vektoriell dargestellt, die Parabel aber funktional dreidimensionale parametrisierte Darstellung von f in der Form • Reduktion des Problems auf die Berechnung des Abstandes zweier windschiefer Geraden im R3 . • Übertragung des Lösungsweges auf das gestellte Problem Der so errechnete minimale Abstand löst nicht das gestellte Problem!!!!

35. Abstand windschiefer Geraden differentialgeometrisch betrachtet 1. Es sei P ein Punkt der Geraden g mit Und Q sei ein Punkt der Geraden h mit Daraus ergibt sich: Dies liefert für jedes s (fester Punkt Q von h) eine Parabel in Abhängigkeit von t (jeden Punkt von g), die den Abstandvon Q zu jedem Punkt P beschreibt.

36. Abstand windschiefer Geraden differentialgeometrisch betrachtet 2. Alle Parabeln der Schar haben ein lokales Minimum (kleinster Abstand). Gesucht ist das kleinste Minimum in Abhängigkeit von s. Dazu bildet man die 1. Ableitung von fs(t) nach ds, setzt diese Ableitung gleich Null und löst nach s auf. Der gefundene s-Wert wird in f eingesetzt und es ergibt sich eine Funktion g(t), die Hüllkurve der Schar fs. Das lokale Minimum der Hüllkurve (nach t) liefert den gesuchten minimalen Abstand, wenn man den gefundenen t-Wert mit dem oben errechneten s-Wert in fs(t) einsetzt und aus dem Ergebnis die Wurzel zieht.Am obigen Beispiel ergibt sich:

37. Hüllkurven Die oben nach Einsetzen von s in den Term der Kurvenschar gewonnenen Funktion beschreibt eine Parabel, die alle Parabeln der Parabelschar fs(t) einhüllt; die Hüllkurve. (I) Hüllkurven Beispiele (II) Abstand von Geraden zu Kurven Die Aufgabe, den kleinsten Abstand von zwei windschiefen Geraden zu ermitteln, führt also auf den Lösungsansatz, von einer Kurvenschar das lokale Minimum (Maximum) der zugehöri- gen Hüllkurve zu bestimmen.

38. (I) Hüllkurve <-> Ortskurve 1 An weiteren z.T. schwereren Beispielen können weitere Hüllkurven bestimmt werden. Dazu bietet sich z.B. eine Handreichung9) von FB Müller-Sommer vom 15.11.2000 an. „Springbrunnen“, „Neil‘sche Parabel“ als Hüllkurve aller Normalen einer Normalparabel, Astroide, Kreishüllkurven und Parametervariationen können besprochen werden. Normalen an eine Normal- parabel werden von der Orts- kurve der Krümmungs- kreismittel- punkte einge- hüllt.

39. (I) Hüllkurve <-> Ortskurve 2 Vergleich von Ortskurve mit Hüllkurve (insbesondere die Unterschiede bei derHerleitung) Gegeben ist die Funktionenschar Untersuchen Sie, in welchem Zusam- menhang die Funktionenschar fa mit folgenden Kurven steht Lösung:k2 ist Ortskurve der Extrema k3 und k4 sind Ortskurven derWendepunkteund k1 ist die Hüllkurve.

40. Abstand von Geraden zu Kurven Die Vorgehensweise ist prinzipiell die gleiche wie bei 2 Geraden. Allerdings wird der Term für fs(t) erheblich komplexer und schwieriger. Darüber hinaus kann es sowohl für s als folgend für t mehrere Lösungen geben, die auf Minimum/Maximum und dann bei eventuell zwei Minima auf das gesuchte Minimum untersucht werden müssen. Wird der Grad der Kurvenfunktion 3 oder gar 4 oder wird die Kurve über einen Exponentialterm angegeben, kann es sein, dass selbst der TI Voyage aussteigt und keine Lösung liefert (auch Derive ist dann am Ende). Für die gestellte Aufgabe von oben ergibt sich folgende Lösung. P sei ein Punkt der Straße und Q einer der Überlandleitung. Dies ist aber nicht die Lösung des Problems!!!!

41. Ente gut- Gans noch besser(frei nach Bernd Stelter) 12,365 Meter ist zwar des geringste Abstand der Überlandleitung von der Straße, aber es ist nicht der Abstand senkrecht oberhalb der Straße, da der Vektor PQmin ja senkrecht auf der Straße aber auch senkrecht auf der Leitung steht; und das ist nicht genau oberhalb der Straße der Fall. Um das obige Problem zu lösen, bedarf es dieser aufwendigen Abstandsberechnung nicht. Man projeziert die Überlandleitung auf die x-y-Ebene in der die Straße verläuft, bringt Gerade mit Kurve zum Schnitt und erhält dabei je einen s- und t-Wert. Diese Werte setzt man dann in fs(t) ein und erhält den gesuchten Abstand. Der Transporter passt also gerade - mit Berührung - unter der Leitung durch. (muss das Bäumchen halt etwas gekappt werden) Im Beispiel ergibt sich:

42. Kroll / Vaupel, Analysis Band 2Dümmler-Verlag, 4282 (rot) Kroll / Vaupel, Analysis Band 1Dümmler-Verlag, 4281 (grün) Steinberg/Ebenhöh, Aufgaben zurAnalysis, Schroedel, 73225 Baumann, Analysis 1, Klett, 739512 Baumann, Analysis 2, Klett, 739514 Kayser, Analysis mit Derive,Dümmler-Verlag, 4523 H.-W. Henn, Realitätsnaher Mathe-matikunterricht mit Derive, Dümmler-Verlag, 4565 Materialien aus AMMuNT auf CD Materialien Regionale Lehrerfort-bildung Vechta, Müller-Sommer Materialien Regionale Lehrerfort-bildung Vechta, J. Rolfs Facharbeiten 1999 – 2002 am Gym. Papenburg Reidt/Wolf/Athen, Elemente der Mathe-matik Band 3, Schroedel, 1964 Literaturverzeichnis

43. Literaturverzeichnis 2. • Knechtel, Weiskirch; Abituraufgaben mit Graphikrechnern +Taschencomputern I;Schroedel-Verlag 73237 • Knechtel, Weiskirch; Abituraufgaben mit Graphikrechnern +Taschencomputern II;Schroedel-Verlag 73238 • Röttger, Fulge u.a; Neue Ideen im Mathe-matikunterricht SII Differentialrechnung; Schroedel-Verlag 73235 • Steinberg; Polarkoordinaten; Schroedel-Verlag 03364 • Weigand; Neue Materialien für den Mathematikunterricht SII „Wie die Mathematik in die Umwelt kommt“; Schroedel-Verlag 73236 • Aufgabensammlung A. Langendörferin Klausurenmappe.