Dynamik komplexer Systeme

1. Dynamik komplexer Systeme Fraktale

2. 0-dimensionale Menge Punkt endliche Punktwolke 1-dimensionale Menge Linie Gerade, Strecke, Kreisumfang, Gesamtkantenlänge eines Würfels 2-dimensionale Menge Fläche Ebene, Kreisfläche, Kugeloberfläche 3-dimensionale Menge Volumen Raum, Kugelvolumen Dimensionen

3. Topologische Dimension • Wenn man zur Beschreibung eines Punktes einer Menge mindestens D reelle Zahlen braucht, dann ist die topologische Dimension dieser Menge D. • Die topologische Dimension einer Menge ist immer eine ganze Zahl.

4. Hausdorff Dimension • Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine Strecke zu überdecken,ist umgekehrt proportional zum Radius: • N(R)  1 / R

5. Hausdorff Dimension • Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine Strecke zu überdecken,ist umgekehrt proportional zum Radius hoch eins: • N(R)  1 / R1

6. Hausdorff Dimension • Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine Fläche zu überdecken,ist umgekehrt proportional zum Radius zum Quadrat: • N(R)  1 / R2

7. Hausdorff Dimension • Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um einen Raum zu überdecken,ist umgekehrt proportional zum Radius hoch drei: • N(R)  1 / R3

8. Hausdorff Dimension • Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine D-dimensionale Menge zu überdecken,ist umgekehrt proportional zum Radius hoch D: • N(R)  1 / RD= RD • Die Dimension D ist nicht immer ganzzahlig.

9. How Long Is the WestCoast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional DimensionBenoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638 • N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte) • gemessene Länge L(R)  R  N(R) = R1D

10. How Long Is the WestCoast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional DimensionBenoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638 • N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte) • gemessene Länge L(R)  R  N(R) = R1D R [km] N(R) L(R) [km] 986,48 0,79 778,30 548,64 1,45 792,80 209,90 4,81 1009,30 101,89 12,85 1309,00 29,95 59,91 1794,90 10,43 251,80 2626,30

11. How Long Is the WestCoast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional DimensionBenoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638 • N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte) • gemessene Länge L(R)  R  N(R) = R1D • Potenzförmige Zusammenhänge werden leicht erkennbar in der doppeltlogarithmischen Darstellung (log-log-Plot) L(R) =   R1D log(L(R)) = log() + (1D)  log(R)

12. How Long Is the WestCoast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional DimensionBenoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638 • N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte) • gemessene Länge L(R)  R  N(R) = R1D • Potenzförmige Zusammenhänge werden leicht erkennbar in der doppeltlogarithmischen Darstellung (log-log-Plot) L(R) =   R1D log(L(R)) = log() + (1D)  log(R)

13. How Long Is the WestCoast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional DimensionBenoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638 • N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte) • gemessene Länge L(R)  R  N(R) = R1D

14. Die Koch-Kurve • Konstruktion durch Iteration: • Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. • Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. Ausgangskonfiguration

15. Die Koch-Kurve • Konstruktion durch Iteration: • Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. • Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 1 Iteration

16. Die Koch-Kurve • Konstruktion durch Iteration: • Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. • Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 2 Iterationen

17. Die Koch-Kurve • Konstruktion durch Iteration: • Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. • Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 3 Iterationen

18. Die Koch-Kurve • Konstruktion durch Iteration: • Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. • Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 4 Iterationen

19. Die Koch-Kurve • Konstruktion durch Iteration: • Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. • Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 5 Iterationen

20. Die Koch-Kurve • Konstruktion durch Iteration: • Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. • Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 6 Iterationen

21. Die Koch-Kurve • Konstruktion durch Iteration: • Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. • Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 7 Iterationen

22. Wie lang ist eine Koch-Kurve? • Ausgangssituation: z.B. 1 m • nach 1 Iteration: 4/3 m • nach 2 Iterationen: 16/9 m • nach n Iterationen: (4/3)n m • nach  Iterationen...  m 2 Iterationen

23. Selbstähnlichkeit • Eine Menge ist streng selbstähnlich, wenn eine Vergrößerung einer Teilmenge zu derselben Struktur führt wie die Struktur der gesamten Menge. • Die Koch-Kurve ist streng selbstähnlich. • Die Mandelbrot-Menge (s. Chaos) ist quasi selbstähnlich: ähnliche Struktur • Die Westküste Britanniens ist statistisch selbstähnlich: ähnliche statistische Eigenschaften

24. Selbstähnlichkeit und Hausdorff-Dimension • Eine selbstähnliche Menge sei aus k Teilmengen zusammengesetzt, die der Gesamtmenge im Maßstab 1 : m entsprechen. • Für die Gesamtmenge benötigt man N(R) Kugeln des Radius R zur Überdeckung. • Für eine der k Teilmengen benötigt man dieselbe Zahl von Kugeln mit Radius R/m. • Die Gesamtmenge kann man auch überdecken mit k  N(R) Kugeln des Radius R/m. N(R/m) N(R/m) = k  N(R)  N(R)  RDN(R) =   RD  (R/m)D = k  RD  mD = k  D = log(k) / log(m)