Relazioni binarie

1. Relazioni binarie

2. Consideriamo due insiemi A eB B A .Sicilia Catania. Milano. .Lazio Palermo. .Veneto Torino. .Toscana Venezia. .Piemonte R={(Catania , Sicilia) ; (Palermo , Sicilia) ; (Torino , Piemonte) ; (Venezia , Veneto)}

3. Una relazione tra due insiemi A e B è costituita da tutte le coppie ordinate (x,y) con xA e yB che rendono vera una determinata proposizione aperta p(x,y) che costituisce la legge della relazione Per definire una relazione sono necessari due insiemi e una proposizione logica aperta Insiemi A={Catania; Palermo;Torino;Venezia;Roma} B={Sicilia; Piemonte;Veneto;Toscana; Lazio} Legge della relazione p(x,y):<<x si trova nella regione y>>

4. B A .Sicilia Catania. Milano. .Lazio Palermo. .Veneto Torino. .Toscana Venezia. .Piemonte Dominio : Sottoinsieme di A che contiene tutti gli elementi che sono in relazione con elementi di B D={Catania; Palermo;Torino; Venezia} Codominio: Sottoinsieme di B che contiene tutti gli elementi che sono in relazione con elementi di A C={Sicilia; Veneto, Piemonte} Controimmagini Immagini

5. 5 R 3 10 R 12 Esempio: 1 P(x,y):<<x + y è dispari>> Legge della relazione ? 5 R 3 5 + 3 è pari, quindi ? 8 R 3 8 R 3 8 + 3 è dispari, quindi ? 1 R 8 1 R 8 1 + 8 è dispari, quindi ? 10 R 12 10 + 12 è pari, quindi

6. Modi per rappresentare una relazione Esempio: Legge della relazione p(x,y):<<x + y è dispari>> Rappresentazione per elencazione R = {(1,0),(1,8),(1,12),(5,0),(5,8),(5,12),(8,3),(10,3)} Rappresentazione sagittale B A .0 .1 .5 .3 .8 .8 .10 .12

7. Modi per rappresentare una relazione Esempio: Legge della relazione p(x,y):<<x + y è dispari>> Rappresentazione mediante tabella a doppia entrata Rappresentazione mediante diagramma cartesiano yB 12 8 3 0 1 5 8 10 xA

8. Modi per rappresentare una relazione Quando gli insiemi A e B coincidono la rappresentazione sagittale assume una forma particolare Legge della relazione p(x,y):<<xy>> A=B=2;3;4;6;7 Rappresentazione mediante grafo 3 2 7 4 6

9. RELAZIONE INVERSA Dati due insiemi A e B e una relazione R si chiama relazione inversa della R e si indica R–1 la relazione da B verso A che fa corrispondere alle immagini nell’insieme B le controimmagini nell’insieme A. Nella relazione inversa R–1 rispetto alla relazione R il dominio e il codominio si scambiano.

10. RELAZIONE INVERSA Esempio: A=1;2;3;4;6 B=2;3;4;6;9,12 Legge della relazione R-1 Legge della relazione R p(x,y):<<x è la metà di y>> p(x,y):<<y è il doppio di x>> A A B B .1 .1 .2 .2 .2 .2 .3 .3 .4 .4 .3 .3 .4 .9 .6 .6 .4 .9 .6 .6 .12 .12 Dominio della R Dominio della R-1 Codominio della R Codominio della R-1

11. Consideriamo il caso in cui gli insiemi A e B coincidono A = B Proprietà delle relazioni binarie

12. Proprietà Riflessiva 1 Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà riflessiva quando ciascun elemento è in relazione con se stesso xRx In simboli

13. Proprietà Riflessiva esempio Relazione Rdefinita da P(x,y) = <<x è multiplo di y>> 3 R3perché 3 è multiplo di se stesso, 10 R10perché 10 è multiplo di se stesso, ………………………………., in generale xRx perché un numero x è multiplo di se stesso. xN x R x Pertanto vale la proprietà riflessiva

14. -10 R -10perché (-10)+(-10)<0. In simboli xZ│ x R x pertanto la relazione non gode della proprietà riflessiva Proprietà Riflessiva esempio p(x,y)=<<x + y > 0>> Relazione Rdefinita da 3 R3perché 3 +3 >0, Poiché abbiamo già individuato almeno un elemento di Z che non è in relazione con se stesso non vale la proprietà riflessiva

15. Proprietà Riflessiva esempio Relazione Rdefinita da P(x,y) = << x • y≥0>> -5 R-5perché (-5) • (-5)  0, 10 R10perché (10) • (10)  0, 0 R0perché (0) • (0)  0, xRx perché x•x = x2 0. xZ x R x Pertanto vale la proprietà riflessiva

16. Proprietà Riflessiva esempio A=B={1,2,3,4,5} Relazione Rdefinita da P(x,y) = << x + y è pari>> Rappresentazione mediante tabella a doppia entrata La proprietà riflessiva è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante tabella a doppia entrata. Basta verificare che tutte le caselle della diagonale principale fanno parte della relazione. Diagonale principale

17. Proprietà Riflessiva esempio A=B={1,2,3,4,5} Relazione Rdefinita da P(x,y) = << x + y è pari>> Rappresentazione mediante grafo La proprietà riflessiva è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante grafo. Basta verificare che su ciascun elemento c’è un arco che ritorna su se stesso. 2 1 5 3 4

18. xRx Proprietà antiriflessiva 2 Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà antiriflessiva quando tutti gli elementi dell’insieme non sono in relazione con se stessi In simboli

19. 5 R5perché 5+5 è pari 8 R8perché 8 + 8 è pari xRx perché x + x = 2x che è sempre pari xZ x R x Pertanto vale la proprietà antiriflessiva Proprietà antiriflessiva esempio A=B=N Relazione Rdefinita da P(x,y) = << x + y è dispari>> In generale

20. Proprietà antiriflessiva esempio A=B={1,2,3,4,5} Relazione Rdefinita da P(x,y) = << x + y è dispari>> La proprietà antiriflessiva è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante tabella a doppia entrata. Basta verificare che nessuna delle caselle della diagonale principale fa parte della relazione. Diagonale principale

21. Proprietà antiriflessiva esempio A=B={1,2,3,4,5} Relazione Rdefinita da P(x,y) = << x + y è dispari>> Rappresentazione mediante grafo La proprietà antiriflessiva è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante grafo. Basta verificare che nessun elemento è dotato di un arco che ritorna su se stesso. 2 1 5 3 4

22. Proprietà riflessiva e antiriflessiva Spesso le relazioni non godono ne della proprietà riflessiva ne di quella antiriflessiva. Ciò avviene quando alcuni elementi, ma non tutti, sono in relazione con se stessi. Alcuni elementi sono in relazione con se stessi altri no

23. 3 Proprietà Simmetrica Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà simmetrica quando se l’elemento x è in relazione con l’elemento y anche y è in relazione con x Se x Ry allora yRx In simboli

24. Proprietà Simmetrica esempio Relazione Rdefinita da P(x,y) = <<x + y è pari>> 9 R3perché 9 + 3 è pari. 3 R9 perché 3 + 9 è pari (proprietà commutativa) Ragionando in generale abbiamo che: xN se x Ry anche y Rx Pertanto vale la proprietà simmetrica

25. Proprietà Simmetrica esempio A=B={1,2,3,4,5} Relazione Rdefinita da P(x,y) = << x + y è pari>> Rappresentazione mediante tabella a doppia entrata La proprietà simmetrica è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante tabella a doppia entrata. Basta verificare che la tabella è simmetrica rispetto alla diagonale principale. Diagonale principale

26. Proprietà Simmetrica esempio A=B={1,2,3,4,5} Relazione Rdefinita da P(x,y) = << x + y è pari>> Rappresentazione mediante grafo La proprietà simmetrica è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante grafo: basta verificare che se esiste l’arco (freccia) in una direzione, esiste anche l’arco nella direzione opposta. 2 1 5 3 4

27. 3 R9perché 3 non è multiplo di 9. Proprietà Simmetrica esempio x, yN;x Ry : x è multiplo di y 9 R3perché 9 è multiplo di 3 non vale la proprietà simmetrica Basta questo per dire che

28. 4 Se x Ry allora yRx Proprietà Antisimmetrica Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà antisimmetrica quando se l’elemento x è in relazione con l’elemento y allora y non è in relazione con x In simboli

29. 3 R9 perché 3 non è maggiore di 9 x,y N se x Ry risulta y Rx Pertanto vale la proprietà antisimmetrica Proprietà antisimmetrica esempio Relazione Rdefinita da p(x,y) = <<x > y>> 9 R3perché 9 è maggiore di 3 Ragionando in generale abbiamo che:

30. Proprietà antisimmetrica esempio A=B={1,2,3,4,5} Relazione Rdefinita da P(x,y) = << x < y>> Rappresentazione mediante grafo La proprietà antisimmetrica è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante grafo: basta verificare che l’arco (freccia) esiste solo in una direzione ma non in quella opposta. 2 1 5 3 4

31. Proprietà simmetrica e antisimmetrica Spesso le relazioni non godono ne della proprietà simmetrica ne di quella antisimmetrica. Ciò avviene quando alcune coppie di elementi sono in relazione solo in un verso e altre coppie in entrambi i versi.

32. 5 Proprietà Transitiva Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà transitiva quando se x è in relazione con y e y è in relazione con z allora anche x risulta in relazione con z In simboli Se x Ry e yRzrisulta xRz

33. Proprietà Transitiva 5 esempio Relazione Rdefinita da p(x,y) = <<x è multiplo di y>> 27(x) R 9(y)perché 27 è multiplo di 9, 9(y) R 3(z)perché 9 è multiplo di 3. Infine 27(x) R3(z)perché 27 è multiplo di 3. 36(x) R6(y)perché 36 è multiplo di 6, 6(y) R2(z)perché 6 è multiplo di 2. Infine 36(x) R2(x)perché 36 è multiplo di 2.

34. ma, 5R9 Proprietà Transitiva esempio Relazione Rdefinita da p(x,y) = <<x + y è dispari>> 5R0 perché 5 + 0 è dispari, 0R9 perché 0 + 9 è dispari, perché 5 + 9 è pari e non dispari. Pertanto non vale la proprietà transitiva

35. Proprietà Transitiva La proprietà transitiva non è immediatamente riconoscibile e verificabile con la rappresentazione mediante tabella o grafico cartesiano. Solo nella rappresentazione mediante grafo è possibile individuare detta proprietà Se tre elementi sono mutuamente in relazione il senso di percorrenza degli archi deve essere non circolare. Relazione transitiva Relazione non transitiva x x y y z z

36. 1 2 3 4 5 Esercizi Verificate di quali proprietà godono le seguenti relazioni definite in Z R definita da p(x,y) = <<x - y è positivo>> Rdefinita da p(x,y) = << x • y è positivo>> Rdefinita da p(x,y) = <<|x| è divisore di |y|>> Rdefinita da p(x,y) =<<2x+y è multiplo di 3>> Rdefinita da p(x,y) = << x - 3y > 100>>

37. 1 2 3 Relazioni di equivalenza Una relazione, definita in un insieme A, si dice di equivalenza se e solo se gode delle proprietà Riflessiva Simmetrica Transitiva

38. esempio Relazione Rdefinita da P(x,y) = << x + y è pari>> Riflessiva x R x perché x + x = 2x che è pari. Se x R y allora x + y = 2a Simmetrica Poiché anche y + x = 2aallora y R x. Se x R y allora x + y = 2a, Transitiva se y R z allora y + z = 2b. Sommando da cui x + 2y + z = 2a + 2b x + z = 2(a + b - y) x + z = 2a + 2b - 2y ; x R z Ossia anche x + z è pari, ossia

39. esempio Relazione Rdefinita da P(x,y) = << x + y è pari>> Poiché la relazione considerata gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva essa è una relazione di equivalenza

40. 1 2 3 4 Esercizi Dite quali fra le seguenti relazioni definite in Z sono di equivalenza. R definita da p(x,y) = << x - y è positivo>> R definita da p(x,y) = << x.y è positivo>> R definita da p(x,y) = << x + y è dispari>> R definita da p(x,y) = << x - y è multiplo di 3>>

41. Classi di equivalenza Data una relazione di equivalenza definita in A e x un suo elemento, una classe di equivalenza, indicata con [x], è un sottoinsieme di A formato da tutti gli elementi di A in relazione con x.

42. A=B={x | x è una retta del piano} esempio Rdefinita da p(x,y) = << la retta x è parallela alla retta y>> E’ facile vedere che tale relazione è di equivalenza perché soddisfa le proprietà simmetrica transitiva riflessiva xRx Se xRy e yRzallora xRz Se xRy allora yRx y x z x y

43. A=B={x | x è una retta del piano} esempio Rdefinita da p(x,y) = << la retta x è parallela alla retta y>> Ogni classe di equivalenza individua quella che viene detta Direzione

44. 1 2 Relazioni di ordine Una relazione, definita in un insieme A, si dice di ordine se e solo se gode almeno delle proprietà Antisimmetrica Transitiva Una relazione è di ordine largo se gode anche della proprietà Riflessiva Una relazione è di ordine stretto se gode anche della proprietà Antiriflessiva

45. esempio Relazione Rdefinita da p(x,y) = <<x è multiplo di y>> Se x R y perché x è multiplo di y Antisimmetrica y R x perché y non può essere multiplo di x Se x R ye y R z allora anche x R z Transitiva Consideriamo ad esempio x=18 y=9 z=3 18 R 9 e 9 R 3 anche 18 R 3 Poiché la relazione gode della proprietà antisimmetrica e transitiva è una relazione d’ordine Poiché la relazione gode della proprietà riflessiva (ogni numero e multiplo di se stesso) la relazione di ordine largo

46. Una relazione d’ordine totale si ha quando gli elementi dell’insieme sono tutti confrontabili, cioè per ogni coppia di elementi deve esistere la relazione in un senso o in quello opposto Una relazione d’ordine parziale si ha quando gli ele-menti dell’insieme non sono tutti confrontabili tra di loro

47. 24 12 10 6 2 esempio Relazione Rdefinita da p(x,y) = <<x è maggiore di y>> Questa è una relazione d’ordine totale perché tutti gli elementi sono confrontabili tra di loro Le relazione d’ordine totale operano un ordinamento completo degli elementi dell’insieme

48. 24 36 60 12 6 10 2 esempio Relazione Rdefinita da p(x,y) = <<x è multiplo di y>> Questa è una relazione d’ordine parziale perché esistono almeno due elementi che non sono confrontabili tra di loro es. (24,60) e (24,36) Le relazione d’ordine parziale operano un ordinamento parziale degli elementi dell’insieme

49. FUNZIONI Si chiama funzione o applicazione di A in B una relazione che ad ogni elemento dell’insieme A fa cor-rispondere uno ed un solo elemento dell’insieme B. B A Le funzioni sono quindi particolari relazioni in cui il dominio coincide con l’insieme A e ad ogni elemento di A deve essere associato un solo elemento di B

50. FUNZIONI B Questa relazione non è una funzione perché esiste un elemento di A che non è in relazione con nessun elemento di B A B A Questa relazione non è una funzione perché esiste un elemento di A che è in relazione con più di un elemento di B