Tabla unei opera ţ ii

1. Tabla unei operaţii Se aplică pentru legile de compoziţie definite pe mulţimi finite

2. Noţiuni teoretice • Fie M o mulţime. Spunem că operaţia ,◦’ este lege de compoziţie definită pe MxM dacă oricare ar fi x şi y din MxMavem că x◦y aparţine lui M. • Proprietăţi: - asociativitatea - comutativitatea - element neutru - element simetrizabil

3. Aplicaţie 1.Fie mulţimea M={1,2,3,4}. Alcătuiţi tabla operaţiei pentru x◦y=max(x,y) şi identificaţi proprietăţile. • este asociativă • este comutativă • are element neutru pe 1 • toate elementele sunt simetrizabile adică: 1’=1 2’=2 3’=3 4’=4

4. Aplicaţie 2.Fie mulţimea M={0,1,2,3,4,5}. Alcătuiţi tabla operaţiei şi identificaţi proprietăţile pentru x◦y=restul împărţirii lui xy la 6. • este asociativă • este comutativă • are element neutru pe 1 • 0,2,3 şi 4 nu sunt simetrizabile doar 1 şi 5 1’=1 5’=5

5. Aplicaţie 3.Fie mulţimea M={0,1,2,3,4}. Alcătuiţi tabla operaţiei şi identificaţi proprietăţile pentru x◦y=|x-y|. • nu este asociativă pentru că (1◦2)◦4≠1◦(2◦4) • este comutativă • are element neutru pe 0 • toate elementele sunt simetrizabile adică 0’=0 1’=1 2’=2 3’=3 4’=4

6. Aplicaţie 4.Pe mulţimea M={1,2,3,4,5,6} se defineşte legea de compoziţie cu următoarele proprietăţi: x◦y=x:y , dacă x se divide prin y,x◦y=y:x , dacă y se divide prin x,x◦y=|x-y| , în caz contrar • nu este asociativă pentru că (2◦3)◦4≠2◦(3◦4) • este comutativă • are element neutru pe 1 • elementele sunt simetrizabile dar nu au simetric unic

7. Aplicaţie 5.Fie mulţimea M={f1, f2, f3, f4} unde f1, f2, f3, f4:R\{0}→R f1(x)=x, f2(x)=1/x, f3(x)=-x, f4(x)=-1/ împreună cu operaţia de compunere a funcţiilor. Alcătuiţi tabla operaţiei şi identificaţi proprietăţile. • este asociativă • este comutativă deşi în general compunerea funcţiilor nu este comutativă • are element neutru pe f1 • toate elementele sunt simetrizabile