Aula 7 ENGENHARIA DA QUALIDADE INTEGRADA ESTATÍSTICA EM GESTÃO

1. Aula 7ENGENHARIA DA QUALIDADE INTEGRADA ESTATÍSTICA EM GESTÃO Distribuição de probabilidades Distribuição de Poisson Distribuição Normal Distribuição Normal Padrão Distribuição Normal – Determinando Probabilidades Distribuição Normal – Obtendo valores Diagramas de Dispersão Conceito Com construir diagramas de dispersão Como interpretar diagramas de dispersão Cálculo de Coeficientes de Correlação O que é Análise de Regressão. Estimativa de Linhas de Regressão Aplicação prática. Exercícios de fixação.

2. Distribuiçõesde probabilidade

3. Variáveisaleatórias Uma variável aleatória, x, é o resultado numérico de um experimento probabilístico. • x = o número de pessoas num carro. • x = quantos metros cúbicos de gás são comprados numa semana. • x = o tempo que leva para ir de carro de casa até a escola. • x = o número de vezes que você vai à escola por semana.

4. Tipos de variáveisaleatórias Uma variável aleatória é discreta se o número de resultados possíveis é finito ou pode ser contado. Variáveis aleatórias discretas são determinadas por uma contagem. Uma variável aleatória é contínua se pode assumir qualquer valor dentro de determinado intervalo. O número de resultados possíveis não pode ser listado. Variáveis aleatórias contínuas são determinadas por uma medição.

5. Tipos de variável aleatória Identifique cada variável aleatória como discreta ou contínua. • x = o número de pessoas em um carro. • x = quantos metros cúbicos de gás são comprados numa semana. • x = o tempo que leva para ir de carro de casa até a escola. • x = o número de vezes que você vai à escola por semana. Discreta – você conta o número de pessoas: 0, 1, 2, 3… Os valores possíveis podem ser enumerados. Contínua – você mede os metros cúbicos de gás. Você não pode enumerar todos os valores possíveis. Contínua – você mede a quantidade de tempo. Os valores possíveis não podem ser enumerados. Discreta – você conta o número de vezes que vai. Os valores possíveis podem ser enumerados.

6. Distribuiçõesdiscretas de probabilidade Uma distribuição discreta de probabilidade enumera cada valor possível da variável aleatória, bem como sua probabilidade. Em um levantamento, perguntou-se a uma amostra de famílias quantos veículos elas possuíam. número de veículos • Propriedades de uma distribuição de probabilidade • Cada probabilidade precisa estar entre 0 e 1, inclusive. • A soma de todas as probabilidades é 1.

7. 0 , 4 3 5 0, 4 0 0 , 3 5 5 0, 3 0 0 , 2 0 6 0 , 0 0 4 Histograma de probabilidade N ú m e r o d e v e í c u l o s P(x) 0, 2 0 0, 1 0 0 0 1 2 3 x 0 1 2 3 • A altura de cada barra corresponde à probabilidade de x. • Se a largura da barra é 1, sua área corresponde à probabilidade de que o valor de x ocorra.

8. Média,variância e desviopadrão A média de uma distribuição discreta de probabilidade é: A variância de uma distribuição discreta de probabilidade é: O desvio padrão de uma distribuição discreta de probabilidade é:

9. Média (valor esperado) Calcule a média: Multiplique cada valor por sua probabilidade. Some os produtos. O valor esperado (a média) é de 1,763 veículo.

10. Calcule a variância e o desviopadrão A média é de 1,763 veículo. μ μ P(x) variância 0,775 0,661 O desvio padrão é de 0,775 veículo.

11. Distribuiçõesdiscretasde probabilidade - Poisson

12. A distribuição de Poisson A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de probabilidade de uma variável aleatória x que satisfaz as seguintes condições: 1. O experimento consiste em contar o número de vezes, x, que um evento ocorre num intervalo de tempo, área ou espaço. 2. A probabilidade de que o evento ocorra é a mesma em cada intervalo. 3. O número de ocorrências em um intervalo independe do número de ocorrências em outro. A probabilidade de exatamente x ocorrências em um intervalo é e é um número irracional aproximadamente igual a 2,71828. é o número médio de ocorrências por intervalo.

13. Aplicação Estima-se que, em todo o mundo, os tubarões matem dez pessoas por ano. Determine a probabilidade: a) de que três pessoas sejam mortas por tubarões este ano b) de que duas ou três pessoas sejam mortas por tubarões este ano (2,71828)–10 0,0076 (2,71828)–10 0,0023 P(3) = 0,0076 P(2 ou 3) = 0,0023 + 0,0076 = 0,0099

14. O númeromédio de acidentesmensais de um determinadocruzamento é três.Qual é a probabilidade de queem um determinadomêsocorreramquatroacidentes no mesmocruzamento? Aplicação a) Se x = 4 e 𝝻 = 3, a probabilidade de queocorramquatroacidentesem um determinadomês no cruzamento é: P(4) = 3 (2,71828) ³ = 0,168 4! 4 - P(4) = 0,168 ( Podeserencontradodiretamentena tabela 3 – Distribuição de Poisson)

15. A distribuição Normal É umadistribuiçãocontínua de probabilidade de umavariávelaleatória x. Seugráfico é chamado normal. A média, mediana e modasãoiguais.

16. DISTRIBUIÇÃO NORMAL • Na distribuição contínua de probabilidade será estudada a parte mais importante em estatística: a distribuição normal. • As distribuições normais podem ser usadas para modelar muitos conjuntos de medi­da na natureza na QUALIDADE na indústria e no comércio. A pressão sanguínea sistólica dos humanos, a duração de aparelhos de tele­visão e até mesmo os custos de alojamento são exemplos de variáveis aleatórias normalmente distribuídas.

17. Distribuição Normal e Suas Características Um histograma é construído a partir de um certo número de dados. Maso que aconteceria ao histograma se continuássemos a aumentar a quantidade de dados? Se o intervalo de classe é reduzido pouco a pouco, enquanto a quantidade de dados é aumentada, uma curva suave de distribuição de frequências é obtida como o limite de uma distribuição de frequências relativas Esta curva é, na verdade, uma expressão da própria população, uma vez que ela é obtida a partir de um número infinito de dados.

18. UM SIGMA É…. Desvio padrão: mede o afastamento em relação a um valor central. Ele é representado tipicamente pela letra grega “σ”. 1σ

19. Muito Cedo Muito tarde Muito tarde Muito Cedo Defeitos Defeitos Redução de Variação Prazo de entrega Prazo de entrega Importância da redução de variação • Para melhorar a performance do processo, você tem que reduzir a variação. Gama de variação Gama de variação Muito grande comparado Pequena comparado Com as especificações Com as especificações Menos variação possibilita: - Maior previsibilidade do processo - Menos desperdício e retrabalho, o que abaixa os custos - Produtos e serviços melhores e mais duráveis - Clientes mais satisfeitos

20. Sigma 1 σ 2 σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 σ D PPM 680.000 298.000 67.000 6.000 400 3,4 Porcentagem de rejeição 68% 29,8% 0.67% 0,006% 0.0004% 0,0000034% Níveis de Performance “Sigma” é um termo estatístico que mede o desvio em relação a um valor determinado

21. O Quanto é Bom o Desempenho de Six Sigma? Medindo o quão bom ou mal o processo está indo 6 Requisito 5 Sigma 1 2 3 4 5 6 D PPM 4 680.000 298.000 67.000 6.000 400 3,4 Média dos dados da Indústria 3 2 1 Defeito! OK!

22. O 6 Sigma como uma Filosofia O 6 Sigma como uma Filosofia • Desperdiça menos de 10% das vendas em custo de falhas • Produz 3,4 defeitos por milhão de Oportunidades • Confia na Capacidade de processo que NÃO produz defeitos • Sabe que a companhia de alta qualidade também É a companhia de baixos custos • Tem uma metodologia para coletar e analisar as informações • Faz Benchmark com o melhor do Mundo • Acredita que 99% é inaceitável! 3 Sigma • Desperdiça de 20 a 30% das vendas em custo de falhas • Produz 66.807 defeitos por milhão de oportunidades • Confia em inspeção para encontrar Defeitos • Acredita que a alta qualidade é cara • Não tem uma abordagem disciplinada para coletar e analisar os dados • Faz Benchmark com o concorrente • Acredita que 99% é bom o suficiente

23. Distribuição Normal e Suas Características A distribuição normal pode ser simplesmente descrita , como tendo a forma de um sino ou montanha, e numa descrição mais detalhada: a densidade de probabilidade é mais alta no meio e diminui gradualmente em direção às caudas, e b) ela é simétrica. Esta curva pode ser expressa matematicamente como segue:

24. Distribuição Normal e Suas Características Características da Distribuição Normal Como podemos observar da equação, a equação da distribuição normal possui dois parâmetros, e o . A distribuição normal é unicamente determinada por estes dois parâmetros e denotada simplesmente por N( , ). Estes dois parâmetros possuem os seguintes significados: : o centro da distribuição normal (a média) : a dispersão da distribuição normal (o desvio-padrão) Eles podem ser descritos graficamente como na Figura abaixo.

25. Distribuição Normal e Suas Características

26. Propriedades de umadistribuiçãonormal x • Suas média, mediana e moda são iguais. • Tem forma de sino e é simétrica em torno da média. • A área total sob a curva é de 100%.

27. Propriedades de umadistribuiçãonormal Ponto de inflexão Ponto de inflexão x • À medida que a curva se afasta da média, aproxima-se cada vez mais do eixo x, mas nunca o toca. • Os pontos em que a curvatura muda são chamados pontos de inflexão. O gráfico curva-se para baixo entre os pontos de inflexão e, para cima, à esquerda e à direita deles.

28. Médias e desviospadrão Curvas com médias diferentes e o mesmo desvio padrão 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Curvas com médias diferentes e desvios padrão diferentes 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

29. RegraEmpírica Cerca de 95% da área está a dois desvios padrão. Cerca de 99,7% da áreaestá a trêsdesviospadrão da média. Cerca de 68% da área está a um desvio padrão da média. 68%

30. Como determinarintervalos 4,2 horas 0,3 hora x 3,3 3,6 3,9 4,2 4,5 4,8 5,1 Segundo o manual de instruções, o tempo de montagem de certo produto é normalmente distribuído, com uma média de 4,2 horas e um desvio padrão de 0,3 hora. Determine o intervalo no qual caem 95% dos tempos de montagem. 95% dos dados caem a até dois desvios padrão da média. 4,2 – 2 (0,3) = 3,6 e 4,2 + 2 (0,3) = 4,8. 95% dos tempos de montagem estarão entre 3,6 e 4,8 horas.

31. A distribuição normal padrão É umadistribuição normal com média 0 e um desviopadrão 1.

32. s x m • Se cada valor de dados de umavariávelaleatórianormalmentedistribuídax for transformadaem um escore z, o resultadoserá a distribuição normal padrão Distribuição normal padrão Distribuição normal s=1 • Use a tabela normal padrãoparaencontrar a áreacumulativaabaixo da curva normal padrão z m = 0

33. O escorepadrão O escorepadrão, ouescorez, representa o número de desviospadrãoqueseparaumavariávelaleatóriax da média. valor – média desvio padrão As pontuaçõesem um concursopúblicoestãonormalmentedistribuídas, com média de 152 e desviopadrão de 7. Determine o escorez para um candidato com pontuação de: (a) 161 (b) 148 (c) 152 (a) (b) (c) 0,57 1,29

34. A distribuição normal padrão Adistribuição normal padrão temmédia 0 e desviopadrão de 1. Se usar escores z,você pode transformar qualquer distribuição normal numa distribuição normal padrão. z –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

35. Áreasacumuladas A área total sob a curva é 1. z –3 –2 –1 0 1 2 3 • A área acumulada está próxima de 0 para escores z próximos de –3,49. • A área acumulada para z = 0 é 0,5000. • A área acumulada está próxima de 1 para escores z próximos de 3,49.

36. Áreas acumuladas Determine a área acumulada para um escore z de –1,25. 0,1056 z –3 –2 –1 0 1 2 3 Percorra a coluna z, à esquerda, até z = –1,25; depois siga na transversal até a coluna sob o número 0,05. O valor da célula, 0,1056, corresponde à área acumulada. A probabilidade de que z esteja no máximo até –1,25 é de 0,1056. 1,25) P 0,1056

37. Como determinar probabilidades Para determinar a probabilidade de z ser inferior a um valor dado, encontre a área acumulada na tabela de acordo com o correspondente escore z. Determine P(z < –1,45). P(z < –1,45) = 0,0735 z –3 –2 –1 0 1 2 3 Percorra a colunaz até –1,4; depois, vána transversal até 0,05. A áreaacumulada é 0,0735.

38. Como determinar probabilidades Para determinar a probabilidade de z ser superior a um valor dado, subtraia de 1 a área acumulada que você encontrar na tabela. Determine P(z > –1,24). 0,1075 0,8925 z –3 –2 –1 0 1 2 3 A área acumulada (área à esquerda) é de 0,1075. Logo, a área à direita é: 1 – 0,1075 = 0,8925. P(z > –1,24) = 0,8925

39. Como determinarprobabilidades Para determinar a probabilidade de z estar entre dois valores dados, determine as áreas acumuladas para cada valor e, depois, subtraia a menor da maior. Determine P(–1,25 < z < 1,17). z –3 –2 –1 0 1 2 3 2. P(z < –1,25) = 0,1056 1. P(z < 1,17) = 0,8790 3. P(–1,25 < z < 1,17) = 0,8790 – 0,1056 = 0,7734

40. Resumo Para determinar a probabilidade de z ser inferior a dado valor, encontre a área acumulada correspondente. z -3 -2 -1 0 1 2 3 Para determinar a probabilidade de z ser superior a dado valor, subtraia de 1 a área acumulada que você encontrou na tabela. z -3 -2 -1 0 1 2 3 Para determinar a probabilidade de z estar entre dois valores dados, determine as áreas acumuladas para cada valor e, depois, subtraia a menor da maior. z 0 -3 -2 -1 1 2 3

41. Distribuiçõesnormais: determinandoprobabilidades

42. Probabilidades e distribuiçõesnormais Se uma variável aleatória x é normalmente distribuída, a probabilidade de que ela esteja dentro de dado intervalo é igual à área sob a curva nesse intervalo. Pontuações de QI são normalmente distribuídas, com uma média de 100 e um desvio padrão de 15. Determine a probabilidade de que uma pessoa selecionada aleatoriamente tenha uma pontuação de QI inferior a 115. 100 115 Para determinar a área nesse intervalo, primeiro encontre o escore z correspondente a x = 115.

43. Probabilidades e distribuiçõesnormais Distribuição normal Determine P(x < 115). 100 115 Distribuição normal padrão É O MESMO É O MESMO Determine P(z < 1). 1 0 P(z < 1) = 0,8413, logo P(x < 115) = 0,8413

44. Aplicação Distribuição normal As contas mensais de serviços públicos em determinada cidade são normalmente distribuídas, com média de US$ 100 e desvio padrão de US$ 12. Uma conta é escolhida aleatoriamente. Determine a probabilidade de ela estar entre US$ 80 e US$ 115. P(80 < x < 115) 1,67 1,25 P(–1,67 < z < 1,25) 0,8944 – 0,0475 = 0,8469 A probabilidade de uma conta estar entre US$ 80 e US$ 115 é 0,8469.

45. Distribuiçõesnormais: obtendovalores

46. Da áreaaoescorez Determine o escore z correspondente a uma área acumulada de 0,9803. z = 2,06 corresponde mais ou menos ao 98º percentil. 0,9803 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 z Localize 0,9803 na tabela. Leia os valores no início da linha e no alto da coluna correspondentes. O escore z será 2,06.

47. Determinandoescoresza partir de áreas Determine o escore z correspondente ao 90º percentil. 0,90 z 0 Na tabela, o valor mais próximo é 0,8997. O início da linha é 1,2 e o topo da coluna é 0,08. Isso corresponde a z = 1,28. Um escore z de 1,28 corresponde ao 90º percentil.

48. Determinandoescoresza partir de áreas Determine um escore z que tenha uma área de 0,60à sua direita. 0,40 0,60 z 0 z Com 0,60 à direita, a área acumulada é de 0,40. O valor mais próximo é de 0,4013. O início da linha é 0,2 e o topo da coluna é 0,05. Logo, o escore z é 0,25. Um escore z de 0,25 tem uma área de 0,60 à sua direita. Isso corresponde ao 40º percentil.

49. Determinandoescoresza partir de áreas 0 Determine um escore z tal que 45% da área sob a curva fique entre –z e z. 0,275 0,275 0,45 –z z A área restante nas pontas é de 0,55. Metade dessa área está em cada ponta; logo, 0,55/2 = 0,275 é a área acumulada para o valor negativo de z, e 0,275 + 0,45 = 0,725 é a área acumulada para o z positivo. O valor mais próximo na tabela é de 0,2743 e, assim, o escore z é 0,60. O escore z positivo é 0,60.

50. De escores z a escores brutos Para determinar um valor x a partir de um escore z: As pontuações em um concurso público estão normalmente distribuídas, com média de 152 e desvio padrão de 7. Determine a pontuação de um candidato com escore z: (a) 2,33 (b) –1,75 (c) 0 (a) x = 152 + (2,33)(7) = 168,31 (b) x = 152 + (–1,75)(7) = 139,75 (c) x = 152 + (0)(7) = 152