Mechanick á práca a energia

1. Mechanická práca a energia PRÁCA Keď je premiestňované po určitej dráhe teleso, na ktoré pôsobí sila, hovoríme, že táto sila ko- ná na telese mechanickú prácu. Ak sa veľkosť tejto sily nemení a zároveň sa zachováva uhol medzi vektorom sily a vektorom posunutia, vypočítame mechanickú prácu podľa vzťahu (1) kde d je celková dráha, pozdĺž ktorej sa teleso premiestnilo. Aby platilo (1), táto dráha musí mať tvar úsečky, ktorú keď reprezentujeme vektorom , môžeme (1) napísať ako skalárny súčin (2) Smer vektora vystupujúceho v rovnici (2) udáva smer pohybu telesa. Ako sa teda teleso bude pohybovať, závisí od uhla zvieraného vektormi a . Môžu nastať tieto prípady:

2. … Práca konaná silou je kladná. Ak na teleso nepôsobia nijaké iné sily, bude podľa druhého Newtonovho pohybového zákona zrýchľovať, lebo sila má kladnú nenulovú zložku v smere vektora . ... Sila je kolmá na smer pohybu, a preto podľa (1), resp. (2), je práca ňou konaná nulová ... Práca konaná silou je záporná. Ak na teleso nepôsobia nijaké iné sily, teleso bude spomaľovať, bude brzdené, lebo má ne- nulovú zložku v smere opačnom k smeru pohybu, t.j. k smeru vektora . Ak na teleso pôsobí viacero síl, je celková práca vykonaná týmito silami rovná súčtu prác prísluš- ných jednotlivým silám, alebo práci výslednej sily. Ilustrujme doteraz uvedené úvahy na príklade na- klonenej roviny. Máme premiestniť kváder kolmo hore naklonenou rovinou o d metrov. Pre jednodu- chosť predpokladajme, že nepôsobí trenie medzi dotykovými povrchmi roviny a kvádra.

3. Na kváder teda pôsobiadve sily – tiažová sila a normálová sila , ktorá je reakciou roviny na kolmú zložku tiažovej sily . Kváder sa bude kĺzať dolu na- klonenou rovinou účinkom zložky rovnobežnej s naklonenou rovinou . Aby sa kváder dolu naklonenou rovinou nekĺzal, musíme naňho pôsobiť silou , ktorá je rovnako veľká a opačne orientovaná, ako . Takou istou silou musíme pôsobiť, ak kváder chceme konštantnou rýchlosťou posunúť kolmo hore naklonenou rovinou o vzdialenosť d, pretože konštantná rýchlosť znamená, že kváder má pozdĺž naklonenej roviny nulové zrýchlenie, t.j. podľa druhého Newtonovho pohybového zákona naňho nepôsobí pozdĺž naklonenej roviny nijaká výsledná sila, čo je aj v tomto prípade pravda, lebo a sú rovnako veľké a opačne orientované. Pri posunutí o vzdialenosť d hore naklonenou rovinou podľa (1), resp. (2), vykoná sila prácu a pozdĺžna zložka tiažovej sily vykoná prácu . Celková práca vykonaná oboma silami na kvádri je teda nulová, avšak práca vykonaná silou , teda nami, je kladná. Sily a sú na naklonenú rovinu kolmé, a teda podľa toho, čo sme povedali vyššie, nijakú prácu pozdĺž naklonenej roviny nekonajú. Nekonajú ani prácu v smere kolmom na naklonenú rovinu, pretože sa kváder pohybuje len pozdĺž nej a nie kolmo na ňu, t.j. posunutie v smere kolmom na naklonenú rovinu je nulové.

4. MECHANICKÁ ENERGIA Poznáme dve formy mechanickej energie – kinetickú a potenciálnu. Ak nejaká sila koná na telese prácu, obe formy tejto energie, ktoré teleso má, sa môžu meniť. Práca, nielen mechanická, je formou prenosu energie (druhou formou prenosu energie, ako sa dozvieme neskôr, je teplo). Kinetická energia charakterizuje pohybový stav telies. Ak sa teleso pohybuje rých- losťou , ktorá je oveľa menšia ako rýchlosť svetla, je jeho kinetická energia daná vzorcom (3) kde m je hmotnosť telesa. Keď má teleso kinetickú energiu, t.j. keď sa pohybuje, môže pôsobiť na iné telesá silami, ktoré konajú na týchto telesách prácu. Konaním tejto práce dochádza k prenosu energie, t.j. menia sa kinetické, alebo aj iné formy energie všetkých zúčastnených telies. Ako príklad môžeme uviesť zrážku dvoch dokonale pružných gulí. Nech sa jedna z gulí pohybuje a narazí na druhú guľu, ktorá bola pôvodne v pokoji. V procese zrážky sa obe gule deformujú, čo vyvoláva vzá- jomné pôsobenie oboch gulí silami, ktoré vznikajú v dôsledku elastických síl pôso-

5. biacich medzi stavebnými časticami (atómy, molekuly) materiálu gulí. V procese zrážky sa obe gule budú pohybovať, takže sily, ktorými na seba pôsobia, budú účin- kovať po určitej dráhe, a teda budú konať prácu, v dôsledku čoho sa zmenia kinetic- ké energie gulí – pôvodne stojaca guľa sa uvedie do pohybu a pôvodne pohybujúca sa guľa je spomalená. Keďže gule sú dokonale pružné, po dosiahnutí maximálnej deformácie začnú opäť nadobúdať svoj pôvodný tvar a zrážka sa končí, keď majú gule opäť taký tvar ako pred zrážkou. Tu sa končí aj ich vzájomné pôsobenie pros- tredníctvom síl, a teda aj práca týmito silami konaná. Keďže pri zrážke dvoch pruž- ných gulí sa zachováva kinetická energia, musí byť celková práca vykonaná v proce- se zrážky nulová – kinetická energia sa mení na energiu deformácie a tá sa mení späť na kinetickú energiu. Potenciálna energia charakterizuje vzájomnú konfiguráciu systému telies. Nie je to teda vlastnosť len jedného telesa, ale celého systému, t.j. najmenej dvoch telies. Kla- sickým príkladom je tiažová potenciálna energia telesa nachádzajúceho sa blízko povrchu Zeme vo výške h vzhľadom na Zem. Je daná rovnicou (4) kde m je hmotnosť telesa a g je tiažové zrýchlenie, ktorého hodnotu môžeme uva- žovať 9.81 ms-2. Na povrchu Zeme je teda táto energia nulová. Ak teda vyhodíme z povrchu Zeme napr. baseballovú loptu do výšky h, vykoná tiažová sila podľa (1), resp. (2), na lopte prácu , keďže vektor , ktorého veľkosť sa

6. rovná h, je opačne orientovaný ako vektor tiažovej sily , t.j. oba vektory zviera- jú uhol . Pri páde z výšky h na zem sú vektor posunutia a vektor tiažovej sily rovnako orientované, a teda práca vykonaná tiažovou silou na ba- seballovej lopte je . ZÁKON ZACHOVANIA MECHANICKEJ ENERGIE Zákon zachovania mechanickej energie sa týka izolovaných systémov. Sú to také sústavy objektov, na ktoré nepôsobia nijaké vonkajšie sily. Tento zákon hovorí: Mechanická energia, t.j. súčet kinetickej a potenciálnej energie všetkých objektov, z ktorých pozostáva izolovaný systém, je konštantná. Objekty izolovaného systému však môžu na seba pôsobiť silami, ktoré nazývame vnútorné sily systému. Pôsobením týchto síl sa môže meniť mechanická energia jed- notlivých objektov systému, avšak celkové mechanická energia celého systému os- táva zachovaná. Príkladom izolovaného systému môže byť Zem a vyhodená baseballová lopta. V momente, keď loptu vyhodíme z povrchu Zeme, má len kinetickú energiu danú jej počiatočnou rýchlosťou, t.j. rýchlosťou, s ktorou sme ju vyhodili nahor, lebo výška lopty nad povrchom Zeme je nulová, a teda jej tiažová potenciálna energia je pod- ľa (4) tiež nulová. V momente vyhodenia je teda celková mechanická energia lopty

7. rovná len jej kinetickej energii. Ako lopta stúpa nahor, zväčšuje sa jej potenciálna energia, lebo jej výška nad povrchom Zeme sa bude zväčšovať. Zároveň bude lopta spomaľovať, teda jej kinetická energia bude klesať. Pritom o koľko klesne kinetic- ká energia lopty, o toľko musí stúpnuť jej potenciálna energia, aby celková mecha- nická energia lopty, t.j. súčet kinetickej a potenciálnej energie v ľubovoľnom okami- hu pohybu, bola konštantná, t.j. musí platiť (5) konšt. V rovnici (5) je rýchlosť lopty vo výške h nad povrchom Zeme. Keď lopta dosiahne vrchol pohybu, na okamih sa zastaví, t.j. jej rýchlosť je nulová, a teda aj jej kinetická energia je nulová. Pritom jej potenciálna energia je maximálna. Celková mechanická energia lopty je teda v tomto okamihu daná len jej potenciálnou energiou. Po dosiahnutí vrcholu pohybu lopta začne padať späť nadol. Jej potenciálna energia teda klesá a kinetická energia stúpa, lebo lopta zrýchľuje, pričom v každom okamihu platí vzorec (5). V momente dopadu na Zem je nenulová len kinetická ener- gia lopty a táto energia musí byť podľa zákona zachovania mechanickej energie rov- ná počiatočnej kinetickej energii lopty, t.j. energii, ktorú lopta mala v momente jej vy- hodenia z povrchu Zeme.

8. VÝKON Výkon je práca vykonaná za jednotku času, t.j. (6) kde W je práca vykonaná za čas t. V prípade práce konanej konštantnou silou na telese pohybujúcom sa priamočiaro platí rovnica (2). Po jej dosadení do (6) dosta– neme pre výkon vzťah (7) JEDNOTKY PRÁCE, ENERGIE, VÝKONU Pri odvodení jednotky práce vyjdeme zo vzorcov (1), resp. (2). Podľa týchto vzorcov platí Nm=kgm2s-2=J Jednotkou práce je teda Joule. Podobne sa môžeme presvedčiť, že jednotkou energie je tiež Joule. Napr. pre kinetickú energiu plarí podľa (3)

9. kgm2s-2=J K takému istému záveru by sme prišli použijúc vzorec pre potenciálnu energiu. Te- raz môžeme na základe (6) zadefinovať jednotku výkonu – watt, skratka W kgm2s-3=W