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INSTRODUCCIÓN Los números naturales son todos los positivos es decir lo que comienzan con el uno y se va obteniendo cada uno de los elementos sumando una unidad al anterior numero. El conjunto de los números naturales se representa con la letra “N” el conjunto de estos números se puede representar así:
Descomposición de números naturalesEl valor de una cifra depende de la posición que ocupe. Por ejemplo:5683 Si sumamos los valores relativos: 3 + 80 + 600 + 5000 = 5683 • Antecesor y sucesor de un numero naturalcada numero natural tiene un antecesor y un sucesor único. Por ejemplo: El numero que antecede a “5” es 4 El numero que sucede a “5” es 6
Representación grafica de los números naturaleslos números naturales se pueden representar sobre una semi recta en donde se fija un punto en el (0). Y a partir de ahí se van colocando los números a la misma distancia. 12 9 10 11 8 5 0 2 3 4 6 7 1 • Orden de los números naturalesla comparación de los números naturales se determina por los signos:> mayor que 5 > 3< menor que Ejemplo: 4 < 8= igual que 4 = 4
Continua……. • Igualdad y ecuación El signo que relaciona estas proposiciones puede ser el signo = (igual), lo que las convierte en igualdades o equivalencias, pero si son proposiciones cerradas se llaman igualdades o si son proposiciones abiertas se llaman ecuaciones. Ejemplos: • Desigualdad y Inecuación Cuando el signo de relación es < o > se trata de relaciones de orden, si son proposiciones cerradas se llaman desigualdades, pero si son proposiciones abiertas se llaman inecuaciones. Ejemplos: El conjunto de valores que hacen verdadera a la ecuación o inecuación se llama conjunto solución. igualdad 5 + 8 + 7 = 10 + 2 + 3 ecuación 2 + x + 3 = 9 Desigualdad: 5 + 8 + 7 > 10 + 2 Inecuación: 2 + x + 3 < 18
Suma o Adición La operación suma o adición de naturales es la mas común se compone de tres partes fundamentales las cuales son: signo, sumandos y total. 53 + 28 10 91 sumandos Signo mas Suma o total
Propiedades de la Suma a + b = c a + b = b + a Cerradura: la suma de dos números naturales, siempre produce otro numero natural ejemplo: 5 + 8 = 13 Conmutativa: El orden de los sumandos no altera el resultado. ejemplo: 23 + 4 = 4 + 23 27 = 27 Asociativa: la forma en que se agrupen los sumandos no altera el resultado de la suma. ejemplo: (4 + 2) + (5 + 6) = (4 + 2 + 5) + 6 6 + 11 = 11 + 6 17 = 17 Elemento neutro: todo numero natural sumado con el 0 es igual al mismo numero natural. ejemplo: 26 + 0 = 26 Ley de cancelación: si en ambos miembros de una igualdad, se encuentra el mismo sumando, este se puede cancelar y obtendremos otra igualdad. ejemplo: 4 + 3 + 5 = 3 + 2 + 7 4 + 5 = 2 + 7 (a + b) + c = a + (b + c) a + 0 = a a + b + c = a + d + e b + c = d + e
Resta o Sustracción 12 ─ 7 3 En la resta de números naturales entran en juego tres elementos, básicos que son: Minuendo, Sustraendo, Diferencia y Signo menos. En una sustracción de números naturales, se cumple que: El minuendo es mayor o igual al sustraendo: El minuendo es mayor a la diferencia: El minuendo es igual a la suma del sustraendo y la diferencia: minuendo Signo menos sustraendo diferencia 36 > 29 Por lo tanto: a ≥ b 36 – 29 = 7 a = b 22 – 22 = 0 a > b 22 = 22 22 > 0 a > c 36 > 7 22 = 22 + 0 36 = 29+ 7 b + c = a
Multiplicación La multiplicación es la operación abreviada de la suma. Esta conformada por los elementos signo, factores (multiplicando y multiplicador) y producto. a + a + a + a + a……= a • n Donde: “a” es el sumando “n” corresponde al numero de veces que “a” se esta sumando. También: 12 X 7 84 factores Signo por producto (a) (b) a • b 12 • 7 12 (12) (7)
Propiedades de la Multiplicación a • b = c Cerradura: el producto de dos mas números naturales, siempre produce otro numero natural ejemplo: 4 • 10 = 40 Conmutativa: El orden de los factores no altera el producto. ejemplo: 3 • 4 = 4 • 3 12 = 12 Asociativa: la forma en que se agrupen los factores no altera el resultado del producto. ejemplo: (5 • 3) • (4 • 2) = (4 • 2 • 5) • 3 15 • 8 = 40 • 3 120 = 120 Elemento neutro: todo numero natural multiplicado con 1 es igual al mismo numero natural. ejemplo: 6 • 1 = 6 a • b = b • a (a • b) • c = a • (b • c) a • 1 = a
Continua……. a • 0 = 0 Elemento Anulativo: todo numero natural multiplicado por 0 es igual a 0. 15 • 0 = 0 Distributiva : el producto de la suma o diferencia es igual a la suma o diferencia del producto de un mismo factor multiplicado por cada cantidad de las que se encuentran agrupadas. Ley de cancelación: si en ambos miembros de una igualdad, se encuentra el mismo factor, este se puede cancelar y obtendremos otra igualdad. 4 • 3 • 5 = 10 • 3 • 2 4 • 5 = 2 • 10 a • b • c = a • d • e b • c = d • e
División La división es una operación donde conocidos el producto y uno de los factores queremos averiguar el otro facto. Simbólicamente la definimos así. En el cociente de números naturales se cumple lo siguiente: La división puede ser: divisor dividendo a & bc=a → a cociente residuo División exacta → División inexacta → Residuo = 0 → Residuo ≠ 0 →
Potenciación exponente La potenciación es una operación que se integra de dos elementos base y exponente. Consiste en calcular el producto de varios factores iguales. • Base: es cualquier numero natural. • Exponente: es un numero natural que indica cuantas veces se repite la base como factor. base potencia 5 veces Notación exponencial potencia
Propiedades de la Potenciación • Producto de Potencias de Igual Base se copia la base y se suman los exponentes. • Potencia de un producto se multiplican las bases y se elevan al mismo exponente. • Cociente de Potencias de Igual Base se copia la base y se restan los exponentes.
Continua……. • Potencia de un cociente se dividen las bases y se elevan al mismo exponente. • Potencia de una potencia se copia la base y se multiplican los exponentes. • Potencia con exponente “1” todo numero (base) elevado al exponente “1” es igual a 1.
Radicación Consiste en averiguar la base (factor) cuando son conocidos el exponente y la potencia. En forma simbólica esta operación se define así: En conclusión la radicación es la operación inversa de la potenciación. Cuando “n”=2 (raíz cuadrada) no se escribe el índice. Signo radical índice raíz Cantidad Sub radical
Propiedades de la Radicación • Raíz de un Producto la raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores. • Raíz de un cociente la raíz de un cociente es igual a la raíz del dividendo (numerador) entre la raíz del divisor (denominador). • Raíz de una potencia la raíz de una potencia es igual a la potencia de la raíz.
Continua……. • Raíz de una Raíz la raíz de una raíz es igual a formar una nueva raíz con el producto de los índices de las raíces. • Potencia de una raíz Se copia la cantidad sub-radical y se divide el exponente entre el índice del radical.
Método para obtener la Raíz Cuadrada de Números Naturales Mayores que 100 • Se separan el numero en grupos de dos cifras de derecha a izquierda. • Se busca un numero (base) cuyo cuadrado tiene que ser menor o igual que el primer grupo de la izquierda. • se resta de este grupo el cuadrado de la misma. • Se baja el siguiente grupo y del numero resultante se separa una cifra a la derecha. • La cantidad que queda a la izquierda se divide entre el doble de la raíz. Y si el cociente es mayor que 9 entonces se toma como cociente al nueve. • El cociente se agrega al numero que corresponde al doble de la raíz y el nuevo numero formado se multiplica por el cociente obtenido. Si el producto es menor o igual al nuevo radicando. Este cociente se agrega a la raíz. Los pasos 4 al 6 se repiten hasta que se encuentre la raíz.
Continua… raíz 1 3 0 1 8 6 3 x 2 = 6 9 / 6 = 1 -9 Ejemplo: 61 x 1 = 61 98 31 x 2 = 62 376 / 62 = 6 -61 626 x 6 = 3756 3767 316 x 2 = 632 117 / 632 = no se puede -3756 6320 x 0 = 0 1176 3160 x 2 = 6320 11766 / 6320 = 1 -0000 63201 x 1 = 63201 117665 31601 x 2 = 63202 544645 / 63202 = 8 -63201 632028 x 8 = 5056224 5446454 -5056224 390230
MULTIPLOS Y DIVISORES 24 es múltiplo de 8 si y solo si 24 contiene a “8” Dado: Múltiplo: es un numero que contiene exactamente a dicho numero. Ejemplo: Divisible: se dice que un numero es divisible entre otro cuando este puede dividirse exactamente entre otro numero es decir cuando la división es exacta Ejemplos: Divisor: es un numero que esta contenido exactamente en dicho numero. Ejemplo: 4/2=2 3 es divisor de 15 si y solo si esta contenido en “15” Dado:
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD • Divisibilidad entre 2 Una cantidad es divisible entre 2 cuando la cifra que ocupa el lugar de las unidades es un digito par. (recordar que el “0” es par). Ejemplos: a) 450 b) 6736 c) 30878 • Divisibilidad entre 3 Una cantidad es divisible entre 3 cuando al sumar los dígitos que lo forman el resultado es un múltiplo 3. Ejemplos: a) 5400 • Divisibilidad entre 4 Una cantidad es divisible entre 4 cuando la cifra de la decena es “0” o múltiplo de 4. Ejemplo: a) 15348 Porque: 5+4+0+0=9 & 9 es múltiplo de “3” 48 es múltiplo de “4”
Continua……. • Divisibilidad entre 5 Una cantidad es divisible entre 5 cuando la cifra que ocupa el lugar de las unidades es 5 o 0. Ejemplos: a) 75860 b) 124365 • Divisibilidad entre 6 Una cantidad es divisible entre 6 cuando es divisible entre 2 y 3 a la vez. Ejemplos: a) 9846 • Divisibilidad entre 7 Una cantidad es divisible entre 7 cuando al multiplicar la cifra de las unidades por 2 y restar este producto del resto de la cantidad. Se obtiene una diferencia múltiplo de “7” Ejemplo: a) 336 Porque: 6 es digito par Es divisible entre “2 y 3” Porque: 9+8+4+6=27 & 27 es múltiplo de “3” Divisible entre “7” porque 336 ─12 21 & 21 es múltiplo de “7”
Continua……. • Divisibilidad entre 8 Una cantidad es divisible entre 8 cuando los dígitos de la clase de unidades forman un múltiplo de “8”. Ejemplos: a) 16420 • Divisibilidad entre 9 Una cantidad es divisible entre 9 cuando al sumar los dígitos que lo forman el resultado es un múltiplo 9. Ejemplos: a) 3456 Primos: se llaman números primos a aquellos números que solo tienen dos divisores el mismo numero y la unidad. Ejemplo: 5 porque los divisores de 5 son 1, 5 Compuestos: se llaman números compuestos a aquellos que tienen mas de dos divisores. Ejemplo: 8 porque los divisores de 8 son 1, 2, 4, 8. 420 es múltiplo de “8” Porque: 3+4+5+6=18 & 18 es múltiplo de “9”
Descomposición factorial o Factorización Cuando un numero se descompone en el producto de sus factores primos, se dice que es una factorización completa. Ejemplo: a) 18 se puede expresar así: Ejemplo: Descomponer 96 96 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 2 3
Mínimo Común Múltiplo (M.C.M) Es el múltiplo común de dos o mas cantidades. Ejemplo 1 Hallar el mcm de: 14, 28, 36 14 – 28 - 36 2 2 mcm = 7 – 14 –18 7 – 7 – 9 3 = 3 7 – 7 – 3 =252 7 7 – 7 – 1 1 – 1 – 1
Máximo Común Divisor (M.C.D) Considere: No es necesario realizar la factorización Completa para hallar el mcd. Es el divisor común de dos o mas cantidades. Ejemplo 1 Hallar el mcd de 14, 28, 36 Único divisor común 14 – 28 - 36 2 2 2 7 – 14 –18 14 – 28 - 36 2 2 No hay mas divisores Comunes. Por lo tanto: 7 – 14 –18 7 – 7 – 9 3 3 7 – 7 – 3 mcd = 2 7 – 7 – 1 7 1 – 1 – 1
