Introducci ón a la trigonometría y a las funciones trigonométricas

1. Introducción a la trigonometríaya las funciones trigonométricas Shirley Bromberg Raquel Valdés

2. Un poquito de historia Trigonometríaes una palabra de etimología griega, aunque no es una palabra griega. Se compone de trigononque significa triánguloymetriaque significamedición. Y se habla de ella como matemática práctica.

3. La trigonometría resuelve el siguiente problema: conocidos algunas de las componentes de un triángulo, determinar las restantes La geometría (teórica) nos dice cuándo ciertos datos determinan que salvo por posición un triángulo de lados dados, la trigonometría (práctica) nos dice cómo calcular los restantes.

4. Comencemos con triángulos rectángulos. Si conocemos dos de los lados del triángulo, como el Teorema de Pitágoras afirma que c b a2 + b2 = c2, a conocemos el tercer lado. Eso sí, debemos saber si los lados que conocemos son catetos o la hipotenusa.

5. Resolución de triángulos rectángulos. Pero no tenemos ninguna información acerca de los ángulos. A continuación comenzaremos a abordar este problema. Dividimos los catetos en r partes iguales, y formamos una retícula. Los catetos de los triángulos de las esquinas miden a/r, b/r y su hipotenusa será, por el Teorema de Pitágoras igual a c/r. NOTEMOS que la hipotenusa pasa por los puntos de la retícula. Los triángulo de las esquinas tienen los mismos ángulos.

6. Las observaciones anteriores permiten resolver el siguiente Problema ¿ Cuál será la altura del árbol que proyecta una sombra de 4 m si se encuentra al lado de Alberto que mide 1.75 m y proyecta una sombra de 3.5 m ?

7. Sigamos con el problema de encontrar los ángulos en triángulos rectángulos. Vamos a escoger triángulos “normalizados”, que representen a cada triángulo rectángulo. Tomaremos triángulos con hipotenusa unitaria.

8. Construcción de triángulos de hipotenusa unitaria c b 1 b/c de pasamos a 1 a a/c a2 + b2 = c2 (a/c)2 + (b/c)2 = 1

9. Relacionamos ángulos y longitudes conTablas de Cuerdas cuerda En un comienzo, a cada ángulo se asoció lacuerdasubtendida por él en una circunferencia de radio fijo.

10. Tablas de cuerdas Razonando con la figura al lado se muestra que

11. Tablas de cuerdas Para conseguir nuevos valores se usa la identidad y se obtienen tablas de cuerdas que van de 5o en 5o.

12. Construcción de Tablas

13. La figura muestra las funciones trigonométricas asociadas a un ángulo agudo ubicado en una circunferencia cotangente coseno cosecante tangente radio seno secante

14. Funciones trigonométricas: seno de un ángulo agudo 1 c a/c a b/c b

15. Funciones trigonométricas: coseno de un ángulo agudo 1 c a/c a b/c b

16. Funciones trigonométricas: tangente y cotangente de un ángulo agudo 1 c a/c a b/c b

17. Funciones trigonométricas: secante y cosecante de un ángulo agudo 1 c a/c a b/c b

18. Todas las funciones trigonométricas de un ángulo agudo pueden expresarse a partir de una de ellas, a modo de ejemplo tomemos sen = = = = =

19. Identidades Trigonométricas La identidad fundamental es consecuencia del Teorema de Pitágoras 1 sen cos

20. Identidades Trigonométricas Si es el ángulo complementario de , hay un triángulo rectángulo que los tiene como ángulos agudos y se tiene que 1 sen cos

21. Identidades Trigonométricas En una diapositiva anterior demostramos que 1 o bien, tomando

22. Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios Para calcular el seno (o el coseno) de un ángulo agudo , colocamos un triángulo rectángulo como en la figura. El seno (o coseno) del ángulo es la ordenada (o la abscisa) del punto de intersección de la hipotenusa con el círculo. Pero no es necesario tener todo el rectángulo, basta con tener la recta que une con el origen.

23. Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios DEFINIMOS para un ángulo , medido a partir de la recta contra las manecillas del reloj: l l la ordenada de la abscisa de

24. Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios l La tangente de un ángulo , medido a partir de la recta contra las manecillas del reloj, es la longitud (orientada) señalada l

25. Funciones Trigonométricasde ángulos arbitrarios I II l VI III ¿Cómo obtuvimos la última hilera de la tabla?

26. Medida absoluta de ángulos:RADIANES El círculo unitario también nos permite usar longitudes para medir ángulos, aprovechando que el ángulo es proporcional al arco que subtiende. Un ángulo de un radián es el ángulo que subtiende un arco de longitud uno. 1

27. Medida absoluta de ángulos:RADIANES Como la circunferencia unitaria mide 2, un cuarto de circunferencia mide /2 y como un ángulo recto sub-tiende un cuarto de circunferencia, el ángulo recto mide /2 radianes.

28. Medida absoluta de ángulos:RADIANES 90o Como /2 Entonces si Rad es la medida de un ángulo en radianes y Grad la medida en grados,

29. Medida absoluta de ángulos:RADIANES

30. Actividad I… Construir un triángulo cuyos lados sean de longitud 3, 4 y 5 . Comparar los distintos triángulos que se obtienen. Nota: cada quien es libre de escoger la escala

31. …Actividad I Con la escala proporcionada, medir la razón entre pares de lados del triángulo diseñado Medir en centímetros los lados del triángulo diseñado y obtenga la razón entre los pares de lados

32. Actividad II… • Para cada uno de los triángulos rectángulos proporcionados, midan las siguientes razones, según el ángulo marcado con el círculo rojo: • Cateto opuesto e hipotenusa • Cateto adyacente e hipotenusa • Cateto opuesto y cateto adyacente

33. … Actividad II

34. Problema En una circunferencia de centro O y radio 5 está trazada una cuerda que mide 3.5 ¿cuánto mide el ángulo central asociado? En la misma circunferencia, halle la longitud de la cuerda subtendida por un ángulo de 72o. 5 O

35. Problema Una cuerda de 100m de largo se estira un metro más y se sostiene del centro (ver la figura). ¿ A qué altura se encuentra el punto C? Dé una medida aproximada del ángulo . 101m C 100m

36. Pregunta ¿ cuáles son los valores máximo y mínimo de la función seno ? ¿ cuáles son los valores máximo y mínimo de la función coseno ? c a ¿alguno de los catetos puede ser mayor que la hipotenusa? b ¿ cuáles son los valores máximo y mínimo de la función tangente ?

37. ··· 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 Problema Con apoyo del círculo unitario, construya la gráfica de la función sen (0,1) (-1,0) (0,1) (-1,-1)

38. Problema… • Trace los triángulos rectángulos definidos por las siguientes ternas de puntos: • (0,0), (8,0), (8,6) • (0,0), (-4,0), (-4,3) • (0,0), (-3,0), (-3,-4) • (0,0), (8,-6), (8,0) • En cada uno de los triángulos trazados, ubique el ángulo formado entre la hipotenusa y el eje de las abscisas. • Calcule el seno, coseno y tangente de tal ángulo.

39. I II IV III … Problema