Chyby měření

1. Chyby měření Bc. David FURKA podstata chyb měření, důvody jejich analýzy rozdělení chyb (princip, mat.vyjádření apod.) chyby analogových MP – princip, výpočet chyby číslicových MP – princip, výpočet chyby nepřímých měření – princip, výpočet nejistoty měření – princip, rozdělení, výpočet VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10

2. Úvod • Každé měření je zatíženo chybou • Úplný výsledek vždy obsahuje informaci o chybě měření ve správném tvaru  110V±2V110V±0,2V2,35V±0,03V2,35V±0,008V (OK špatně) Druhy chyb • Chyby měřicích přístrojů • Chyby přímých měření • Chyby nepřímých měření • Metodické chyby • Chyby způsobené lidským faktorem a okolním prostředím VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10

3. Chyby měření – úvod, zákl. pojmy • absolutně přesné měření neexistuje • většinou několik zdrojů nepřesností – některé lze přibližně vyjádřit  jde o určení intervalu hodnot, ve kterých se pohybuje skutečná hodnota (případně procentuelní odchylka od skut., příp. jiné hodnoty) Pojmy a zkratky • správná hodnota SH - neznáme  konvenčně správná hodnota - změřena přesnějším MP • naměřená hod. MH - údaj na stupnici nebo displeji daného MP • přesnost měření - míra těsnosti, se kterou výsledek vyjadřuje SH VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10

4. Rozdělení chyb měření • matematické vyjádření- absolutní Δ[V,A,…dle měř. veličiny] - relativní (poměrná, procentní) δ [-,%] • výskyt- systematická chyba» při opakovaných měřeních je (chyby metody, nuly…) stálá » lze odstranit početní korekcí - náhodná chyba» při opakov. měřeních se mění (šumy, teplota, tlak,» nelze odstranit korekcí vlhkost…)» lze zmírnit vícečetným měř. VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10

5. Výpočet chyby měření - příklad naměřená hodnota  MH = 25 V konvenčně správná hodnota  SH = 26 V absolutní chyba měření relativní chyba měření Je-li známa SH  relaci u výpočtu relativní chyby vztahujeme k SH, jinak dosazujeme MH VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10

6. Systematická chyba Zůstává stálá nebo se předvídatelně mění   korekce (pokud lze změřit přesnějším MP) • chyba metody - zjednodušením poč. vztahu (něco se zanedbá) - většinou lze dopočítat a početně korigovat • chyba nuly (offset) - většinou u zesilovačů a převodníků - při nulovém vstupu nenulový výstup - aditivní charakter – přičítá se k měřením • chyba zesílení - nepřesná hodnota rezistoru ve vstup. děliči, apod. - absolutní chyba je úměrná měřené veličině N – počet měření – výběrový průměr XS – konvenčně správná hodnota VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10

7. Náhodná chyba Při opakovaných měřeních se mění  nelze korigovat  • vyšší počet měření (min. 20)  statistické metody Příklady náhodných chyb: • šumy • neznámé změny podmínek měření • zaokrouhlování výsledku měření(analogový i digitální MP) • šumy a změny podm.  normální (Gaussovo) rozdělení • zaokrouhlování  rovnoměrné rozložení Hustota pravděpodobnosti veličiny X s normálním (Gaussovským) rozdělením σ – směrodatná odchylka m – průměrná hodnota veličiny X VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10

8. Náhodná chyba II. směrodatná odchylkaσ – určuje tvar Gaussovy křivky dané pravděpodobnosti s – odhad směrodatné odchylky - odhad směr. odchylky výběr. průměru  pro výpočet nepřímých měření di– absolutní odchylka i-tého členu od průměru • známe-li s a m  určíme meze intervalu, ve kterém leží skoro všechny hodnoty měř. veličiny  <m - Δk; m + Δk> • Δk = k*s krajní chyba měření • k = 2 nebo 3  pro k=3 leží v intervalu 99,7% všech hodnot m=0 (průměr) VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10

9. Chyba analogového MP I. • rozdíl údaje MP a pravé hodnoty měřené veličiny • závisí i na podmínkách měření • přesnost AMP dána třídou přesnosti TP (uvedeno na stupnici) (0,05 - 0,1 - 0,2 - 0,5 - 1 - 1,5 - 2,5 - 5) • TP – procentní chyba při maximální výchylce (chyba z rozsahu) a při dodržení referenčních podmínek: • teplota okolí • vnější magnetické pole • frekvence • činitel zkreslení (pro střídavá měření) Řád absol. chyby MP nesmí být nižší než nejnižší řád nam.hodnoty!!! VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10

10. Chyba analogového MP II. • Příklad 1: MR = 30 V Příklad 2: MR = 30 V TP = 1,5 TP = 1,5 MH = 25,0 V MH = 12,5 V • absolutní chyba - nezávisí na MH • relativní chyba - nepřímo úměrná MH – nejnižší je při max. výchylce (MH=MR) VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10

11. Chyba analogového MP III. Platí pro: MR = 30 V TP = 1,5 VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10

12. Chyba analogového MP IV. Platí pro: MR = 30 V TP = 1,5 VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10

13. Chyba digitálního MP I. • základní chyba - ref. podmínky • přídavné chyby - při nedodržení ref. podm. (Δzměna chyby nuly) • základ.chyba  manuál MP, internet • dvojí vyjádření přesnosti: • chyba čtení δRDG + chyba rozsahu δFS • chyba čtení δRDG + počet kvantizačních kroků (digitů) Ndgt Chyba čtení • %-ní chyba z MH, dána chybou AD převodníku Chyba z rozsahu • %-ní chyba z MR, dána chybou vstupních děličů Kvantizační krok • počet jedniček nejnižšího místa na displeji (počet digitů) VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10

14. Chyba digitálního MP II. VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10

15. Chyba digitálního MP III. VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10

16. Chyba digitálního MP – příklad 1 Zadání:MR = 20 V MH = 15,50 V |ΔMP| = 0,8 % RDG + 0,2 % FS – údaj z manuálu multimetru Vzorce: Výpočet: Výsledek: Správná hodnota leží v intervalu <15,5 – 0,16 V; 15,5 + 0,16 V> Výsledek měř. se píše i s tolerancí Unam = 15,50 ± 0,16 V  Unam = 15,50 V ± 1,03 % VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10

17. Chyba digitálního MP – příklad 2 Zadání: MR = 20 V 3 a ½ místný displej  zobrazí max. 19,99 V MH = 15,50 V  1 dgt = 0,01 V = Udgt(hodnota posledního místa displeje) |ΔMP| = 0,8 % RDG + 5 dgt – údaj z manuálu multimetru Vzorce: Výpočet: Výsledek měření: Unam = 15,50 ± 0,17 V Unam = 15,50 V ± 1,1 % VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10

18. Chyba nepřímých měření • výsledek je dán funkcí několika proměnných • pro výslednou chybu  zjednodušená metoda linearizace fce v okolí měřeného bodu • pro Δ podstatně < MH  Δ nahradíme diferenciály  celková Δ je pak totálním diferenciálem • pro funkci Y = f(X1, X2, …, Xn) je neurčitost (chyba) přibližně dána • jednoduchá pravidla pro výsledné chyby nepřímých měření • pro výpočty chyby složitějších funkcí bez výpočtu totálního diferenciálu Operace Chyba operace Y = X1 + X2 |ΔY| = |ΔX1|+ |ΔX2| Y = X1 - X2 |ΔY| = |ΔX1|+ |ΔX2| Y = X1 - X2 |δY| = |δX1|+ |δX2| Y = X1 - X2 |δY| = |δX1|+ |δX2| VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10

19. Nejistoty měření • postupně se zavádí namísto pojmu chyba měření a správná hodnota měření • vyjadřuje rozsah hodnot, které je možno k měřené veličině racionálně přiřadit • podle nových norem  „MH je def. jako střední prvek souboru, který reprezentuje měřenou veličinu a nejistotu měření charakterizující rozptýlení hodnot…“ • základní kvantitativní charakter. nejistoty – standardní nejistota u stand. nejistoty typu A(uA) - statistická analýza opakovaných měření - příčiny neznámé, velikost klesá s poč. měř. stand. nejistoty typu B(uB) - vyhodnoceny pro jednotlivé zdroje nejistoty - velikost nezáv. na počtu opakování měření - společné působení vyjadřuje výsledná standardní nejistota typu B kombinovaná nejistota (uc) - sloučení standardních nejistot typu A a B - v praxi nevystačíme jen s typem A nebo B VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10

20. Vyhodnocení stand. nejistoty typu A • vychází ze statistické analýzy série opakovaných měření • nezávislá, stejně přesně pozorovaná měření  odhad x je průměr¨nam. hodnot • nejistota příslušná k odhadu - směrodatná odchylka výběrového průměru • n počet prvků výběrového souboru • směrodatná odchylka libovolného odměru • odhad směrodatné odchylky aritmetického průměru • nejistota způsobena kolísáním naměřených údajů • pro n<10 je takto určená nejistota málo spolehlivá VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10

21. Vyhodnocení stand. nejistoty typu B Odhaduje se na základě: • údajů měřicí techniky • údajů získaných při kalibraci a z certifikátů • zkušeností s vlastnostmi a chováním materiálů a techniky - nepřímá měření  výsledná nejistota je dána geometrickým součtem dílčích nejistot • při dodržení ref. podmínek  zdroj nej. typu B je údaj o přesnosti MP Δz – absolutní chyba veličiny z • při nedodržení ref. podm.  navíc vliv okolních veličin (třeba znát jejich vliv na údaj MP) plyne z vlastností rovnoměrného rozdělení VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10

22. Vyhodnocení kombinované nejistoty • kombinovaná standardní nejistota uC – sloučení uA a uB • v daném intervalu leží každá hodnota veličiny x s pravděpodobností 68 % • pro větší pravděpodobnost  rozšířená nejistota U kr – koeficient rozšíření <2;3>  pro kr=2 je pravděpodobnost 95 %  pro kr=3 je pravděpodobnost 99,7 % U rozšířené nejistoty musí být vždy uvedena hodnota koef. rozšíření kr VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10

23. Výpočet nejistoty měření – příklad 1 Zadání: Magel. voltmetr – TP=0,5V, MR=10 V, pracujeme při ref. podmínkách. Opakovaná měření – vždy hodnota 5,05 V nejistota typu A se nebude uvažovat. • stačí vypočítat nejistotu typu B standardní nejistota typu B Při volbě kr=2 bude výsledek: U(x) = uB*kr = 0,029 * 2 = 0,058 V Ux=5,05 V U(x)=0,058 V (pro kr=2) MH rozšířená nejistota VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10

24. Výpočet nejistoty měření – příklad 2 Multimetr ±0,1% rdg ±0,05% fs, MR=10V MH={5,003; 5,006; 5,001; 5,008; 5,002; 5,000; 5,005; 5,004; 5,008; 5,007} V Odhad měřené veličiny: Ux1=5,0044 V Standardní nejistota typu A: Standardní nejistota typu B: ΔU=5,0044*0,1*10-2 + 10*0,05*10-2=0,01 V • předpokládáme u MP rovnoměrné rozložení hodnot  Kombinovaná nejistota: Rozšířená nejistota (kr=2): UUx1=0,012 V VOŠ Varnsdorf VI2 - ELM 10