Решение заданий В10 по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2014 года

1. Решение заданий В10 по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике 2014 года

2. №1 Найдите квадрат расстояния между вершинами B и D1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 5, AD = 7, AA1 = 6. Решение. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов трех его измерений: BD12 = AB2 + BC2 + BB12 BD12 = AB2 + AD2 + AA12 BD12 = 52 + 72 + 62 = = 25 + 49 + 36 = 110 С1 D1 В1 А1 6 7 D С А В 5 Ответ:110.

3. №2 Найдите расстояние между вершинами A и D1 прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 4, AD = 12, AA1 = 5. Решение. Диагональ грани прямоугольного параллелепипеда равна сумме квадратов двух его измерений (по теореме Пифагорав п/у ADD1): АD12 = AD2 + DD12 АD12 = AD2 + AA12 АD12 = 122 + 52 = 132 АD1 = 13 С1 D1 В1 А1 5 12 С D А В 4 Ответ:13.

4. №3 Найдите угол AC1C прямоугольного параллелепипеда, для которого AB = 15, A1D1 = 8, AA1 = 17. Ответ дайте в градусах. Решение. Угол AC1C найдем из п/у AСС1, в котором известен катет СС1 = АА1 = 17, а катет АС найдем по теореме Пифагорав п/у AВС: АС2 = AВ2 + ВС2 AC2 = 152 + 82 = 172 AC = 17. Значит AСС1 − р/б,  AC1C = 45. С1 D1 8 В1 А1 17 С D 15 А В Ответ:45.

5. №4 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1все ребра равны 41. Найдите расстояние между точками F и B1. Решение. Расстояние между точками F и B1найдем из п/у FBB1, в котором известен катет BB1 = 41, а катет FB является меньшей диагональю в правильном шестиугольнике и равен 41√3. По теореме Пифагорав п/у FBB1 : FB1 2 = FВ2 + FB12 FB1 2 = (41√3)2 + 412 = = 412(3 + 1) = 412 ∙ 22; FB1 = 41 ∙ 2 = 84. E1 D1 С1 F1 А1 В1 E D F С В А 41 Ответ:84.

6. №5 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1все ребра равны 29√5. Найдите расстояние между точками A1 и D. Решение. Расстояние между точками D и A1найдем из п/у AA1D, в котором известен катет AA1 = 29√5, а катет AD является большей диагональю в правильном шестиугольнике и равен 58√5. По теореме Пифагорав п/у AA1D: DA1 2 = DA2 + AA12 DA1 2 = (29√5)2 + (58√5)2 = = 292(5 + 20) = 292 ∙ 52; DA1 = 29 ∙ 5 = 145. E1 D1 С1 F1 В1 А1 E D F С А В 29√5 Ответ:145.

7. №6 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1все ребра равны 30. Найдите тангенс угла AD1D. D1 E1 Решение. Рассмотрим п/у AD1D, в котором известен катет DD1 = 30, а катет AD является большей диагональю в правильном шестиугольнике и равен 60. tgAD1D = AD : DD1= 60 : 30 = 2 С1 F1 В1 А1 E D F С В А 30 Ответ:2.

8. №7 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1все ребра равны 20. Найдите угол СВЕ.Ответ дайте в градусах. E1 D1 Решение. Рассмотрим п/у СВЕ, в котором известен катет ВС = 20, а катет ВЕ является большей диагональю в правильном шестиугольнике и равен 40. cosСВЕ = ВС : ВЕ= 20 : 40 = 0,5 СВЕ = 60 С1 F1 В1 А1 D E С F А В 20 Ответ: 60.

9. №8 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1все ребра равны 31. Найдите угол С1СЕ1.Ответ дайте в градусах. D1 E1 Решение. Рассмотрим п/у С1СЕ1, в котором известен катет СС1 = 31, а катет С1Е1 является меньшей диагональю в правильном шестиугольнике и равен 31√3. tgС1СЕ1 = E1С1 : CC1= = 31√3 : 31 =√3 СВЕ = 60 С1 F1 В1 А1 D E С F А В 31 Ответ: 60.

10. №9 Найдите расстояние между вершинами D и В1 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углымногогранника прямые. D2 3 2 Решение. Рассмотрим п/у В1ВD, в котором катет BB1 = 12 – 6 = 6, а катет BD2= AD2 + AB2 = 32 + 62 = 45 DB12 = DB2 + BB12 = 45 + 36 = 81 DB1 = 9. А2 С2 В2 6 D1 12 А1 С1 В1 D А 6 С Ответ:9. В

11. №10 Найдите квадрат расстояния между вершинами D и В2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углымногогранника прямые. D2 Решение. Рассмотрим п/у DD2В2, в котором катет DD2 = 5, а катет B2D22= A2D22 + A2B22 B2D22 = 62 + 22 = 40 DB22 = DD22 + B2D22= 25 + 40 = 65. 6 А2 2 С2 В2 1 D1 5 С1 А1 В1 D А Ответ:65. 6 С В

12. №11 Найдите квадрат расстояния между вершинами D и С2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углымногогранника прямые. D2 Решение. Рассмотрим п/у DD2С2, в котором катет DD2 = 5, а катет D2С2= 3 DС22 = DD22 + D2С22 DС22 = 25 + 9 = 34. А2 3 С2 В2 2 D1 5 С1 А1 В1 D А Ответ: 34. 8 С 4 В

13. №12 Найдите расстояние между вершинами C и B2 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углымногогранника прямые. Решение. Достроим до прямоугольного параллелепипеда как на рисунке. D2 3 2 А2 С2 В2 Рассмотрим п/у  B2СМ, в котором катет МС = 12, а катет B2М2= B2C22 + C2М2 = = 32 + (6 – 2)2 = 25 B2C2 = B2M2 + MC2 = = 25 + 122 = 169 B2C = 13. М D1 12 А1 С1 В1 6 D А 6 С В Ответ:13.

14. №13 Найдите квадрат расстояния между вершинами А2и С1 многогранника, изображенного на рисунке. Все двугранные углымногогранника прямые. Решение. Достроим до прямоугольного параллелепипеда как на рисунке. D2 12 7 С2 А2 Рассмотрим п/у  А2С1М, в котором катет МС1 = 14 – 12 = 2, а катет А2М2= A2D22 + D2М2 = = 122 + 142 = 340 A2C12 = A2M2 + MC12 = = 340 + 4 = 344. В2 М D1 С1 А1 В1 14 12 D А С 14 В Ответ:344.

15. Используемые материалы • http://mathege.ru/or/ege/Main − Материалы открытого банка заданий по математике 2013 года