1 / 16

MATEMATIČKI SUDOVI

MATEMATIČKI SUDOVI. napravili: Amalija Huzanić i Tin Petrović, 1.a. OPĆENITO O SUDOVIMA. Sud (izjava) je suvisla deklarativna rečenica koja se u pogledu istinitosti podvrgava načelu isključenog trećeg, tj. ona je ili istinita ili neistinita, ali ne i oboje.

abie
Download Presentation

MATEMATIČKI SUDOVI

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. MATEMATIČKI SUDOVI napravili: Amalija Huzanić i Tin Petrović, 1.a

  2. OPĆENITO O SUDOVIMA • Sud (izjava) je suvisla deklarativna rečenica koja se u pogledu istinitosti podvrgava načelu isključenog trećeg, tj. ona je ili istinita ili neistinita, ali ne i oboje. • Najvažnije vrste matematičkih sudova su aksiomi, postulati i teoremi.

  3. Osnovne logičke operacije sa sudovima su: negacija(), disjunkcija (V), konjunkcija (Λ). Tablice istinitosti operacija su:

  4. O AKSIOMU • Aksiom (praistina) je osnovna tvrdnja u nekoj teoriji koja se smatra istinitom i ne dokazuje se. • Pojam i naziv nastaju u starogrčkoj matematici. • Primjeri aksioma: • Cjelina je veća od dijela • Ako se jednakim stvarima dodaju jednake stvari i cijeline su jednake • V. aksiom o paralelama: Točkom izvan pravca može se povući jedinstven pravac paralelan s tim pravcem

  5. O POSTULATU • Postulat je polazna tvrdnja koja se također uzima bez dokaza. • Postulat obično izražava neki uvjet koji treba zadovoljavati neki pojam ili neki odnos među pojmovima. • Danas često u matematici izjednačavamo aksiome i postulate pa često govorimo npr. o (aksiomima površine ili o postulatima površine).

  6. O TEOREMU • Teorem (poučak, stavak) je matematička izjava čija se istinitost utvrđuje dokazom. • Obično se misli na istinitu izjavu koja može biti lažna. • U formulaciji teorema razlikuju se dva dijela: pretpostavka (hipoteza) P i tvrdnja (teza) Q. • Pretpostavka je jedna ili više izjava koje se smatraju istinitima, a tvrdnja je izjava koju treba dokazati. • Primjeri: 1. Dijagonale romba su okomite. P: Četverokut je romb. Q: Dijagonale romba su okomite.

  7. 2. Zbroj kutova u trokutu je 180°. P: Dani poligon je trokut. Q: Zbroj kutova mu je 180°. 3. √2 je iracionalan broj. P: Broj je √2. Q: Dani je broj iracionalan. • Mnogo je lakše otkriti strukturu teorema ako je dan u formi “ako je...tada je...” • Teoreme iz prethodnih primjera zapišimo u tom obliku.

  8. 1. Ako je dani četverokut romb, onda su njegove dijagonale okomite. 2. Ako je dani poligon trokut, tada mu je zbroj kutova 180°. 3. Ako je promatrani broj √2, tada je on iracionalan broj.

  9. OBRAT TEOREMA • Uz svaki teorem oblika PaQ vezujemo izjavu oblika QaP, koju nazivamo obratom teorema. • Obrat teorema ne mora biti istinita tvrdnja. • No, ako je i obrat teorena teorem, tj. istinita tvrdnja, tada ta dva teorema vrlo često zapisujemo kao izjavu oblika PnQ i čitamo “P je ako i samo ako je Q”. • Primjeri: 1. Ako su dijagonale četverokuta okomite, tada je on romb. Ova tvrdnja nije istinita. Protuprimjer je deltoid koji nema sukladne stranice. 2. Ako je zbroj kutova u poligonu jednak 180°, taj je poligon trokut. Ovo je istinita tvrdnja.

  10. DOKAZI

  11. DOKAZI • Dokaz teorema PaQ u nekoj teoriji je takav konačan niz tvrdnji Q1, Q2,...,Qn=Q te teorije u kojem je svaka tvrdnja ili aksiom ili je dobivena iz prethodno dokazanih tvrdnji tog niza po nekom pravilu zaključivanja, te posljednja tvrdnja niza je tvrdnja Q. • Dokazivanje poučaka se koristi u nastavi matematike. Dok uči dokazivati tvrdnje, učenik uči rasuđivati, što je jedan od osnovnih zadataka nastave matematike. Učenik koji se u budućnosti neće baviti matematikom kao znanošću, mora znati rasuđivati u raznim situacijama svakodnevnog života.

  12. VRSTE DOKAZA • Razlikujemo dvije vrste dokaza: direktni i indirektni dokazi. 1.DIREKTNI DOKAZI: • Polazimo od pretpostavke P, primjenom aksinoma, definicija i ranije dokazanih teorema, nizom pravilnog zaključivanja dolazimo do tvrdnje Q. • Primjer:Dokažimo teorem: Umnožak dvaju uzastopnih prirodnih brojeva je paran broj. 1. Neka je a paran broj. Tada je a oblika a= 2k, k je element N. Tada je umnožak a(a+1) jednak a(a+1)=2k(2k+1), što je očito djeljivo s 2, jer je oblika 2m, gdje je m=k(2k+1) prirodan broj.

  13. 2. Neka je a neparan broj, tj. oblika a = 2k-1, k je element N. Tada je a(a+1)=(2k-1)(2k)=2k(2k-1) što je opet paran broj.

  14. 2.INDIREKTNI DOKAZI: • Indirektni dokaz tvrdnjePaQ sastoji se u nastojanju da se dokaže da suprotna tvrdnja ¬Q nije istinita. • Među indirektnim dokazima dva su koja se vrlo često primjenjuju: dokaz po kontrapoziciji i dokaz svođenjem na kontradikciju. • Dokaz po kontrapoziciji zasniva se na ekvivalenciji sudova PaQ i ¬Q. U dokazu po kontrapoziciji, pretpostavljamo da vrijedi tvrdnja ¬Q, te nizom logičkih koraka dolazimo do istinitosti tvrdnje ¬P. • Primjer (školska matematika): Ako je a paran broj, tada je i broj a paran. • Dokaz: Pretpostavka P teorema glasi: Broj a je paran, a tvrdnja Q teorema glasi: Broj a je paran.

  15. Pretpostavimo da vrijedi ¬Q: Broj a nije paran. Treba dokazati da vrijedi ¬P: Broj a nije paran. Ako a nije paran, tada je on oblika a=2k-1, k je element N. Tada je a=4k-4k+1=2(2k-2k)+1, tj. a je neparan, što je i trebalo dokazati. • Dokaz svođenjem na kontradikciju (reductio ad apsurdum) zasniva se na ekvivalencijama sudova PaQ i (PΛ¬Q) a(AΛ¬A) ili PaQ i (PΛ¬Q) aF, gdje je s F označen neistinit (false) sud. Pretpostavljamo da vrijedi tvrdnja PΛ¬Q, te nizom logičkih koraka dolazimo do neke tvrdnje koja je lažna ili do situacije da istovremeno vrijede i neka tvrdnja A i njezina negacija ¬A.   

  16. Primjer: Dokažimo da se broj 101010 ne može predstaviti u obliku razlike kvadrata dva prirodna broja. Dokaz: Predpostavimo da vrijedi ¬Q, tj. da postoje dva prirodna broja a i b takvi da je a-b=1010101. Tada je 101010=(a-b)(a+b). Budući da 2 dijeli 101010, slijedi da 2 dijeli i umnožak (a-b)(a+b). Budući da je 2 prost broj on dijeli ili broj a-b ili broj a+b. Brojevi a-b i a+b su brojevi iste parnosti (ili oba parna ili oba neparna), pa su u ovom slučaju oba parna. No to znači da je umnožak (a-b)(a+b) djeljiv s 4. Sad slijedi da je i broj 101010 djeljiv s 4, a to je neistinita tvrdnja. Dokazali smo da iz PΛ¬Q slijedi F: “Broj 4 dijeli 101010.”, tj. došli smo do kontradikcije.

More Related