1 / 20

ANALISI NUMERICA

ANALISI NUMERICA. Introduzione Importanza Avvento dei calcolatori Tecniche: metodi iterativi (sperimentali) differenze finite elementi finiti gusci finiti (shell) Numerosi campi di applicazione. Le differenze finite FORMULAZIONE

abra-collier
Download Presentation

ANALISI NUMERICA

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. ANALISI NUMERICA

  2. Introduzione Importanza Avvento dei calcolatori Tecniche: metodi iterativi (sperimentali) differenze finite elementi finiti gusci finiti (shell) Numerosi campi di applicazione

  3. Le differenze finite FORMULAZIONE Rappresentazione di una derivata come una serie di Taylor troncata Definita una funzione T(x) (temperatura in funzione dello spazio), si può scrivere il suo sviluppo nell’intorno di xi Troncando (commettendo un errore) lo sviluppo al 2° termine si ha:

  4. A T1 T2 T3 T4 Ti-1 Ti Ti+1 ° ° ° ° ° ° ° i= 1 2 3 4 Dx x B Introducendo la simbologia comune nell’analisi numerica si ha: Dallo sviluppo in serie di Taylor:

  5. C Differenza finita centrale Ti-1 Ti Ti+1 Sia la relazione A che la relazione B rappresentano la derivata su xi: A Forward Difference Form B Backward Difference Form Sottraendo le espressioni e trascurando i termini di grado superiore si ha:

  6. derivata seconda In tutte le forme A B C è presente un errore di troncamento: o(h) o(h) o(h2) proporzionale a x x (x)2 Sommando le espressioni: si ottiene:

  7. x Ti-1 Ti Ti+1 In notazione di analisi numerica: Si riesce quindi ad esprimere la derivata prima e seconda della temperatura in un punto del dominio in funzione dei valori di temperatura nel punto e nel suo intorno. L’analisi alle differenze finite consiste nel sostituire le equazioni differenziali con le espressioni approssimate appena introdotte, complete delle condizioni al contorno.

  8. x=y y j x i Scriviamo le equazioni in base alla forma A (forward): Ti

  9. Bilancio termico rispetto all’area tratteggiata L’equazione che regola la distribuzione di temperatura (nel caso stazionario) è: Ti,j Risolvendo rispetto a T(j,i) e ponendo Si possono sostituire le equazioni differenziali con le forme approssimate o si può analizzare il bilancio termico; ciò consente un migliore controllo sul fenomeno fisico (si applica alle condizioni al contorno). sostituendo, si ottiene:

  10. Ti,j+1 Ti,-1j Ti,-1j Ti,j Ti,j-1 si ottiene: Applicando l’ultima equazione a tutti i nodi (N) si ottengono N equazioni in N incognite. In forma classica si può scrivere, supponendo che  = 1 (x = y) e che non vi sia generazione di calore: ovvero, la temperatura nel nodo i,j rappresenta la media aritmetica dei nodi più vicini.

  11. r  z j = 0 i = 0 i j SIMMETRIA CILINDRICA REGIME STAZIONARIO L’equazione si può riscrivere, ponendo i = r e j = z ri = i r e zi = j z

  12. con Nei casi più comuni: e risolvendo rispetto a Tij si ottiene: quindi:

  13. T2 1 4 To Bilancio sull’area tratteggiata in regime stazionario T1 Schematizzazione: 2 3 T3 x/2 BILANCIO 1 + 2 + 3 = 4 CONDIZIONI AL CONTORNO Esempio

  14. Numero di Biot discretizzato N = E + I E = n° nodi esterni I = n° nodi interni E Equazioni contorno I Equazioni interne 9 7 8 4 T1 = T6 = T7 = TC T4 T9 T3 T8 T2 6 5 (unico interno) 1 TC 3 2 condizioni al contorno Fluido T Risolvendo rispetto a T0 DOMINIO DI N NODI ESEMPIO BIDIMENSIONALE (ALETTA)

  15. Schema esplicito (monodimensionale) Reticolo monodimensionale La derivata temporale rispetto al tempo si scrive in forma approssimata: Per lo spazio: Temperatura nodo m al tempo j La si scrive: CONDUZIONE REGIME VARIABILE

  16. Risolvendo rispetto alla (temperatura dell’istante successivo) si ottiene: dove: è il numero di Fourier discreto m = 1 2 3 4 5 6 … cond. iniz. j = 0 m = 1 2 3 …… m j = 1 Con questo metodo il valore della temperatura degli istanti successivi si trova senza metodi iterativi ma direttamente dai valori precedenti (esplicito)

  17. Si dimostra che per evitare oscillazioni divergenti di temperatura i coefficienti devono essere positivi sempre se introduco Istante j T ottengo j m-1 m m+1 T termodinamicamente impossibile j+1 m-1 m m+1 CONDIZIONE STABILITA’ NODI INTERNI Tale condizione produce limitazioni sulla scelta di  Esempio

  18. x = y m, n risolvendo rispetto a con Condizione di stabilità CASO BIDIMENSIONALE

  19. 1 Fluido h,T 2 3 T2 T1 x Bilancio energetico 1 - 2 = 3 da cui: Condizione di stabilità (ulteriore limitazione sui nodi interni) CONDIZIONI AL CONTORNO (CASO MONODIMENSIONALE)

  20. Viene fatta all’istante j+i T1 T2 T, h x SCHEMA IMPLICITO Limitazioni per la stabilità talvolta impongono l’uso schema implicito (stabilità illimitata) Sistema di equazioni algebriche simultanee con tre incognite (metodi iterativi) Condizioni al contorno

More Related