1 / 15

IDEAL & RING KUOSEN

IDEAL & RING KUOSEN. Dalam teori grup dikenal grup normal dan analog dengan grup normal, dalam teori ring didefinisikan ideal dalam suatu ring. Berikut ini diberikan definisi ideal dari suatu ring. Definisi XIII.1 Diketahui A ring dan I himpunan bagian tidak kosong dari A .

adanna
Download Presentation

IDEAL & RING KUOSEN

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. IDEAL & RING KUOSEN

  2. Dalamteorigrupdikenalgrup normal dan analog dengangrup normal, dalamteori ring didefinisikan ideal dalamsuatu ring. Berikutinidiberikandefinisi ideal darisuatu ring. DefinisiXIII.1 DiketahuiA ring danIhimpunanbagiantidakkosongdariA. HimpunanAdinamakansuatu ideal dariAjika : • (1) HimpunanItertutupdibawahoperasipengurangan. • (2) HimpunanImengandungsemuahasil kali xadanaxdenganxdalamIdanasebaranganggotadalamA.

  3. Definisi XIII.2 • DiketahuiA ring komutatifdengananggotasatuandan x anggotatertentudariA. • Jikadidefinisikan (x) = { ax│xdalamA } maka (x) ideal dalamAdandinamakan ideal utama (principal ideal) yang dibangunolehx. Contoh XIII.1 • DiketahuihimpunanbilanganZmerupakan ring komutatifdenganelemensatuan. • Dibentuk (2) = { a.2 | a Z } = 2Zyaituhimpunanbilangangenapmerupakan ideal dalamZ. SecaraumumuntukbZmaka (b) { ab | a Z } = bZadalah ideal yang dibangunolehb.

  4. Contoh XIII.2 • Diketahui Z6merupakan ring komutatifdenganelemensatuanterhadapoperasipenjumlahandanpergandaan modulo 6. • Dibentuk (2) = { a.2 | a Z6 } = { 0, 2, 4} danberdasarkandefinisitersebutdiatas (2) merupakan ideal dalamZ6. Ideal-ideal lain dalamZ6adalah (1) = (5) = Z6dan ideal yang dibentukoleh 3 yaitu (3) = { 0, 3 }. Teorema XIII.1 • (1) JikaF field makahanya {0} danF yang merupakan ideal dalamF. • (2) Sebaliknya, jikaA ring komutatifdengananggotasatuandanhanyamemiliki ideal {0} danAmakaA field.

  5. Contoh XIII.3 • Himpunanbilangan real R merupakan field. DenganmenggunakansifatpadaTeorema XIII.1 makamempunyai ideal { 0 } dan R. • Himpunanbilangan Q mempunyaisifattertutupterhadapoperasipergandaandanpengurangansehingga Q merupakan ring bagiandalam R. • Akantetapi Q bukanlah ideal dalam R karena Q ≠ R. Berarti Q merupakansalahsatucontoh ring bagiandalam R yang bukanmerupakan ideal. • Contoh lain ring bagian yang bukan ideal adalah Z, nZdengannbilanganbulat.

  6. Definisi XIII.3 • DiketahuiA ring danIsebarang ideal dalamA. SistemaljabarA/Ididefinisikansebagaiberikut : • (1) A/I = { a + I│adalamA } • (2) OperasipenjumlahandalamA/Ididefinisikansebagai • ( a + I ) + ( b + I ) = ( a + b ) + I • danoperasipergandaandalamA/Ididefinisikansebagai • ( a + I ) ( b + I ) = ab + I. Teorema XIII.2 • SistemaljabarA/I yang didefinisikandiatasmerupakan ring.

  7. Definisi XIII.4 DiketahuiA ring komutatif. • (1) Suatu ideal IdalamAdengansifatbahwaabdalamIberakibatsalahsatudariadalamIataubdalamIdinamakan ideal prima (prima ideal) dalamA. • (2) Suatu ideal {0} sehinggatidakada ideal sejatidalamA yang mengandungIdinamakan ideal maksimal (maximal ideal) dalamA.

  8. Teorema XIII.3 • (1) JikaAkomutatifdanIsebarang ideal dalamAmakaA/Ikomutatif. • (2) JikaAmempunyaianggotasatuan 1 dan ideal I ≠ AmakaA/Imempunyaianggotasatuan 1 + I. • (3) JikaAkomutatifdanmempunyaianggotasatuandanI ideal prima denganI ≠ AmakaA/Idaerah integral.

  9. Contoh XIII.1 • Diketahuihimpunanbilanganbulat Z danp prima. Akanditentukansifat-sifatdari ring kuosen Z/(p). • Jikaab (p) makaabkelipatandaripdankarenap prima makaamembagipataubmembagipsehinggaa (p) ataub (p). AkibatnyadenganTeorema XIII.3, diperoleh Z/(p) daerah integral.

  10. Contoh XIII.2 • HimpunanZ8 = { 0, 1, 2, …, 7} merupakan ring terhadapoperasipenjumlahandanpergandaan modulo 8. • Ideal-ideal dalamZ10adalah • (0) = { 0 }, (1) = (3) = (5) = (7) = Z7, (2) = { 0, 2, 4, 6 } dan (4) = { 0, 4 }. • Ideal I = (2) merupakan ideal maksimalsehingga ring kuosen yang terbentukadalah • Z8/I = { I , 1 + I }. • Hal ituberartiZ8/Imerupakan field yang hanyaberisi 2 elemen. • Jikadiambil ideal J = (4) maka ring kuosen yang terbentukadalah • Z8/J = { J, 1+J, 2+J, 3 + J } • yang mempunyaielemennetralJdanelemensatuan 1 + J. DalamhaliniZ8/JmempunyaipembaginolsejatiyaituadaelemenZ8/J yang tidaknolyaitu 2+Jdan (2+J)(2+J) = JsehinggaZ8merupakan ring komutatifdenganelemensatuan yang bukandaerah integral.

  11. Contoh XIII.3 • Himpunan Z10 = { 0, 1, 2, …, 10} merupakan ring terhadapoperasipenjumlahandanpergandaan modulo 10. • Ideal-ideal dalamZ10adalah • (0) = { 0 }, (1) = (3) = (7) = (9) = Z10, (2) = (4) = (6) = (8) = { 0, 2, 4, 6, 8 } dan (5) = { 0, 5 }. • Ideal I = (2) merupakan ideal maksimalsehinggaterbentuk ring kuosen • Z10/I = { I , 1 + I }. • Hal ituberartiZ10/Imerupakan field yang hanyaberisi 2 elemen. • Jikadiambil ideal J = (5) maka ring kuosen yang terbentukadalah • Z10/J = { J, 1+J, 2+J, 3 + J, 4+J } • yang mempunyaisifat field yang berisi 5 elemen.

  12. Contoh XIII.4 • Diketahui Z8 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } merupakan ring komutatifterhadapoperasipenjumlahandanpergandaan modulo 8. • N = { a Z8 | an= 0 untuksuatubilanganbulatpositifn } • Jelas 01 = 0, 23 = 0, 42 = 0 dan 63= 0 sehingga N = { 0, 2, 4, 6 } yang merupakan ideal dalam Z8. SecaraumumdapatdibuktikanbahwajikaA ring komutatifdan • N = { a Z8 | an= 0 untuksuatubilanganbulatpositifn } makaN ideal dalamA.

  13. Latihan

More Related