1 / 50

Faktorisasi

Faktorisasi. Faktorisasi fungsi adalah menguraikan ruas utama fungsi tersebut menjadi bentuk perkalian ruas-ruas utama dari dua fungsi yang lebih kecil . f(x, y) = g(x, y). h(x, y) Persamaan 2x 2 – xy – y 2 = 0 faktorisasi persamaan di atas menghasilkan : ( x – y ) ( 2x + y ) = 0.

addison-camacho
Download Presentation

Faktorisasi

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Faktorisasi • Faktorisasifungsiadalahmenguraikanruasutamafungsitersebutmenjadibentukperkalianruas-ruasutamadariduafungsi yang lebihkecil. • f(x, y) = g(x, y). h(x, y) • Persamaan2x2 – xy – y2 = 0 faktorisasipersamaan di atasmenghasilkan : (x – y) (2x + y) = 0

  2. Faktorisasi: metode abc Persamaan Fungsi: ax2 + bx + c = 0 Kalikan a.c = d Cari alternatif perkalian dua angka misalnya “e.f “ sehingga hasil kalinya sama dengan “d” dan jumlahnya sama dengan “b”. (e).(f) = d dan e + f = b Substitusikan “e” dan “f” kedalam persamaan sehingga: ax2 + bx + c = ax2 + (ex +fx) + c = (ax2 + ex) + (fx + c) = 0 Faktorisasi persamaan menjadi: ax2 + bx + c = (x ± g) (x ± h) = 0 5. Hasil akhir: x1 = g dan x2 = h.

  3. Tentukan nilai x dengan metoda abc dari persamaan: 6x2 + 11x + 4 = 0 Jawab: a = 6; b = 11; c = 4  a.c = (6).(4) = 24 6x2 + 11x + 4 = (6x2 + 3x) + (8x + 4) = 0 3x(2x +1) + 4(2x + 1) = 0 (3x + 4) (2x + 1) = 0  x1 = - 4/3; x2 = - ½

  4. Rumus abc:

  5. 6x2 + 11x + 4 = 0

  6. Latihan • Gambarkankurvadaripersamaan2x2 – xy – y2 = 0 • Gambarkankurvadaripersamaan y3 + xy2 – xy – y2 = 0

  7. Gambarkan kurva dari persamaan 2x2 – xy – y2 = 0 Faktorisasi: (x – y)(2x + y) = 0  Gambar kurva terdiri atas dua garis lurus x – y = 0 dan 2x + y = 0 y x – y = 0 2x + y = 0 x

  8. Gambarkan kurva dari persamaan y3 + xy2 – xy – x2= 0 Faktorisasi: y3 + xy2 – xy – x2 = 0  (y3 + xy2) + (– xy – x2) =0 (y3 + xy2) – (xy + x2) =0 y2 (y + x) – x(y + x) = 0 (y2 – x)(y + x) = 0 y (y2 – x) = 0 (y + x) = 0 x

  9. Persamaan x3 – y2 = 9 a. Cari penggal ke sumbu x dan y b. Selidiki kesimetrian kurvanya c. Selidiki batas perpanjangan kurvanya 2. Buktikan x4 – 9x2 + y2 = 0 a. Simetri thd titik pangkal b. Tidak mempunyai asymtot vertikal dan horizontal

  10. #1. x3 – y2 = 9 Penggal sumbu x dan sumbu y : Titik potong sumbu x → y = 0→ x3 = 9 → x = Titik potong sumbu y → x = 0→ y = ± 3 Kesimetrian kurva: f(-x,y) = (-x)3 – y2 = – x3 – y2 ≠ f(x,y) = x3 – y2 = 0 → tidak simetri terhadap sumbu y. f(x,-y) = x3 – (-y)2 = x3 – y2 = f(x,y) = 0 → simetri thd sumbu x f(-x,-y) = (-x)3 – (-y)2 = – x3 – y2 ≠ f(x,y) = 0 → tidak simetri thd titik pangkal (0,0). Batas perpanjangan kurva : → perpanjangan searah sb x hanya berlaku utk x3 ≥9 → perpanjangan searah sumbu y tidak terbatas.

  11. #2 x4 – 9x2 + y2 = 0 Kesimetrian: f(-x,-y) = (-x)4 – 9 (-x)2 + (y)2 = x4 – 9x + y2 = 0 → simetri terhadap titik pangkal. Asymtot: y2 = – x4 + 9x2 → y2 = – x4+ 9x2 = (x2 – 3x) (– x2 – 3x) jika y→ +~ maka x→ +~ jika y → – ~ maka x→– ~  asymtot vertikal tidak ada. jika x → +~ maka y → +~ jika x → - ~ maka y → - ~  asymtot horizontal tidak ada.

  12. Hubungan LinearJumat, 18 Oktober 2013

  13. Materi yang dipelajari • Penggaldanlerenggarislurus • PembentukanPersamaan Linear - Cara dwi- kordinat - Cara koordinat- lereng - Cara Penggallereng - Cara dwi- penggal • Hubunganduagarislurus • PencarianAkar- akarpersamaan linear • Cara substitusi • Cara eliminasi • Cara determinan

  14. Hubungan linear: • Hubungansebab- akibatantaraberbagaivariabelekonomi • Misalnyaantarapermintaandanharga, antarainvestasidantingkatbunga, dapatdenganmudahdinyatakansertaditerangkandalambentukfungsi. • Hubungan linear merupakanbentuk yang paling dasardan paling seringdigunakandalamanalisisekonomi. P QD P = a2 + b2Q P* Qs P = a1 – b1Q Q Q*

  15. PENGGAL DAN LERENG GARIS LURUS • fungsi linear ataufungsiberderajatsatuialahfungsi yang pangkattertinggidarivariabelnyaadalahpangkatsatu. • Bentukumumpersamaan linear adalahy = a + bx • aadalahpenggalgarisnyapadasumbu vertical – y (pada saat nilai x = 0), sedangkanbadalahkoefisienarahataulerenggaris yang bersangkutan (kemiringan). y Koefesien arah a y = a – bx x 0 a/b

  16. y a: penggalgarisy= a + bx, yakninilaiy pada x = 0 b: lereng garis, yakni pada x = 0, pada x = 1, pada x = 2, lerengfungsi linear selalukonstan b y = a + bx b b b ∆y=b ∆x a x 1 2 3 4 5

  17. Dalamkasus- kasustertentu, garisdarisebuahpersamaan linear dapatberupagaris horizontal sejajarsumbu- x ataugaris vertical sejajarsumbu- y. • Haliniterjadi apabila lerenggarisnya sama dengannol, sehinggaruaskananpersamaanhanyatinggalsebuahkonstanta yang melambangkanpenggalgaristersebut.

  18. y y = a berupagarislurussejajarsumbu horizontal x, besar kecilnyanilai x tidakmempengaruhinilai y x = c berupa garis lurus sejajar subu vertikal y, besar kecilnya nilai y tidak mempengaruhi nilai x 0 y = c – x x = c x=c a y=a y = a + 0 x y = a x 0 c

  19. PEMBENTUKAN PERSAMAAN LINEAR • Pada prinsipnya persamaan linear bisa dibentuk berdasarkan dua unsur. Unsur tersebut dapat berupa penggal garisnya, lereng garisnya, atau koordinat titik- titik yang memenuhi persamaannya. • empat macam cara yang dapat ditempuh untuk membentuk sebuah persamaan linear 1. Dwi koordinat 2. cara koordinat- lereng 3. cara penggal- lereng 4. cara dwi- penggal

  20. Cara Dwi- Koordinat • Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing- masing (x1, y1) dan (x2, y2), maka rumus persamaan linearnya adalah: y B (x2, y2) = A (x1, y1) x 0 A(3; 2) dan B(7; 12)  (y – 2)/(12 – 2) = (x – 3)/(7 – 3) 4(y – 2) = 10(x – 3)  y = 2,5 x – 5,5

  21. y – y1 = (a + bx) – (a + bx1) = b(x – x1) • y2 – y1 = (a + bx2) – (a + bx1) = b(x2 – x1) • y – y1 = x – x1 • y2 – y1 = x2 – x1

  22. Cara Koordinat- Lereng • Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x1, y1) dan lereng garisnya adalah b, maka rumus persamaan linearnya adalah: y – y1 = b(x – x1) b = lerenggaris Bukti: y – y1 = (a + bx) – (a + bx1) y – y1 = b(x – x1) Contoh: A(5; 8) dan b = 3  y – 8 = 3 (x – 5) y = 3x – 7

  23. Cara Penggal- Lereng • Sebuahpersamaan linear dapat pula dibentuk apabila diketahuipenggalnya pada salahsatusumbu dan lerenggarisyang memenuhipersamaantersebut. y = a + bx;(a= penggal, b= lereng) • Jika x = 0 maka y = 4; b = 2 •  y = 4 + 2x • Jika y = 0 maka x = 12; b = 0.75 •  y = a + 0,75 x • 0 = a + 0,75 (12)  a = - 8 • y = - 8 + 0,75 x

  24. Cara Dwi-Penggal • Sebuahpersamaan linear dapatdibentuk apabila diketahuipenggalgaristersebut pada masing- masingsumbu, • penggal pada sumbu vertical (ketikax = 0) • penggal pada sumbu horizontal (ketikay=0). • Apabila a dan c masing-masingádalahpenggal pada sumbu- sumbuvertikal dan horizontal darisebuahgarislurus, makapersamaangarisnyaadalah : y B a = penggalvertikal c=penggal horizontal y = a + bx x = 0  y = a y = 0  x = (- a/b) = c  b = -a/c  y = a + bx = a – (a/c) x b P A 2 a 1 x 0 1 2 3 4 5 6 c

  25. Lerengsebuahgarislurustaklainadalahhasilbagiselisih antara duaordinat(y2 – y1) terhadapselisih antara duaabsis (x2 - x1). Lereng = b = y2 – y1 x2 – x1 • Menurut cara dwikoordinat, rumuspersamaan linear adalah : ↓ lereng persamaan linear

  26. Biladiuraikan :

  27. Resume:

  28. HUBUNGAN DUA GARIS LURUS • Dalamsistemsepasangsumbusilang, duabuahgarislurusmempunyaiempatmacamkemungkinanbentukhubungan yang: • berimpit, • sejajar, • berpotongan • dan tegaklurus.

  29. Berimpit : y1 = ny2 a1 = na2 b1 = nb2 y1 = a1 + b1x y2 = a2 + b2x Sejajar: a1≠ a2 b1 = b2 y1 = a1 + b1x y2 = a2 + b2x

  30. y1 = a1 + b1x Berpotongan : b1 ≠ b2 y2 = a2 + b2x TegakLurus : b1 = - 1/b2 y1 = a1 + b1x y2 = a2 + b2x

  31. PENCARIAN AKAR- AKAR PERSAMAAN LINEAR • Pencarianbesarnyahargabilangan- bilangananudaribeberapapersamaan linear, dengan kata lainpenylesaianpersamaan- persamaan linear secara serempak (simultaneously), dapatdilakukanmelaluitigamacam cara : • cara substitusi • cara eliminasi • cara determinan

  32. Cara Substitusi • Duapersamaandenganduabilangananudapatdiselesaikandengan cara menyelesaikanterlebihdahulusebuahpersamaanuntuksalahsatubilangananu, kemudianmensubstitusikannyakedalampersamaan yang lain. • Contoh : Carilahnilai variable- variable x dan y dariduapers: 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23 Jawab: x + 4y = 23→ x = 23-4y 2x + 3y = 21 2(23 – 4y) + 3y = 21 46 – 8y + 3y = 21 46 – 5y = 21→ y = 5; x = 23 – 4(5) = 3

  33. Cara Eliminasi • Dua persamaan dengan dua bilangan anu dapat diselesaikan dengan cara menghilangkan untuk sementara (mengeliminasi) salah satu dari bilangan anu yang ada, sehingga dapat dihitung nilai dari bilangan anu yang lain.

  34. Cara Determinan • Cara determinanbisadigunakanuntukmenyelesaikanpersamaan yang jumlahnyabanyak. • Determinansecaraumumdilambangkandengannotasi

  35. = (a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32) – (a31.a22.a13 + a32.a23.a11 + a33.a21.a12)

  36. ax + by = c dx + ey = f

  37. Ada 2 persamaan : ax + by = c dx + ey = f • Penyelesaianuntuk x dan y dapatdilakukan : Determinan

  38. Contoh 2x + 3y = 21 x + 4y = 23 Selesaikan dengan cara determinan

  39. Contoh : 2x + 3y = 21 x + 4y = 23 • Penyelesaianuntuk x dan y dapatdilakukan :

  40. Carilahnilai variable- variable x dan y dariduapers: 2x + 3y = 21 dan x + 4y = 23 Carilah x, y dan z dari persamaan: x + 2y – z = 0 2x + 5y + 2z = 14 y – 3z = – 7

  41. PENERAPAN DALAM EKONOMI Penerapan Fungsi Linear dalam Teori Ekonomi Mikro Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan keseimbangan pasar Pengeruh pajak-spesifik terhadap keseimbangan pasar Pengaruh pajak-proporsional terhadap keseimbangan pasar Pengaruh subsidi terhadap keseimbangan pasar Keseimbangan pasar kasus dua macam barang Fungsi biaya dan fungsi penerimaan Keuntungan, kerugian dan pulang-pokok Fungsi anggaran Penerapan Fungsi Linear dalam Teori Ekonomi Makro Fungsi konsumsi, fungsi tabungan dan angka-pengganda Pendapatan disposibel Fungsi pajak Fungsi investasi Fungsi impor Pendapatan Nasional Analisis IS-LM

  42. Fungsi permintaan, penawaran dan keseimbangan pasar P Bentuk umum fungsi permintaan Q = a - bP atau Kurva permintaan 0 a Q Bentuk umum fungsi penawaran P Q = - a + bP atau Kurva penawaran -a 0 Q

  43. Keseimbangan pasar Qd = Qs P Qs E Pe Qd a -a 0 Qe Q

  44. Pengaruh pajak terhadap keseimbangan pasar: Fungsi permintaan: P= 15 – Q Fungsi penawaran: P = 3 + 0,5 Q Terhadap barang tersebut ddikenakan pajak 3 per unit. Berapa keseimbangan harga dan kesimbangan barang sebelum dikenakan pajak? Berapa keseimbangan harga dan keseimbangan barang setelah dikenakan pajak?

  45. Keseimbangan sebelum dikenakan pajak: 15 – Q = 3 + 0,5 Q → Q = (12) (2/3) = 8 P = 15 – 8 = 7 Keseimbangan setelah dikenakan pajak: Penawaran setelah dikenakan pajak: P = (3 + 0,5 Q) + 3 Keseimbangan: 15 – Q = 6 + 0,5 Q → Q = (9) (2/3) = 6 P = 15 – 6 = 9

  46. P P = 6 + 0,5 Q P= 15 – Q 9 7 P = 3 + 0,5 Q Q 0 6 8

  47. Pengaruh subsidi: • Fungsi permintaan: P = 15 – Q • Fungsi penawaran : P = 3 + ½ Q • Subsidi sebesar 2 per unit barang yang di produksi. • Berapa keseimbangan sebelum kebijakan subsidi dan berapa keseimbangan setelah subsidi? • Jawab: • Sebelum subsidi: 15 – Q = 3 + ½ Q  Q = 8 dan P = 7. • Sesudah subsidi:15 – Q = 3 +½ Q – 2 Q= 9⅓ dan P=5⅔ • Subsidi yg dinikmati konsumen per unit barang = • 7 - 5⅔ = 1⅓ • Subsidi yg dinikmati produsen per unit barang = • 2 – 1⅓ = ⅔

  48. Keseimbangan pasar kasus dua macam barang Keseimbangan Pasar barang X: Qdx = Qsx 10 – 4 Px + 2 Py = - 6 + 6 Px  10 Px – 2 Py = 16  Py = 5 Px – 8 Keseimbangan Pasar barang Y: Qdy = = Qsy 9 – 3 Py + 4 Px = - 3 + 7 Py  4 Px – 10 Py = – 12  4 Px – 10 (5 Px – 8) = – 12  Px = 2; Py= 2. Qdx = Qsx= - 6 + 6 (2) = 6 Qdy = Qsy= -3 + 14 = 11 Keseimbangan Pasar: Barang x  Px = 2; Qdx = Qsx = 6 Barang y  Py = 2; Qdx = Qdy = 11

More Related