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MÉTODOS DE INTEGRACIÓN

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. PACFGS * TEMA 131. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL. PRIMERA La integral indefinida de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales indefinidas de las funciones sumandos. Es decir:

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  1. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN PACFGS * TEMA 131 Matemáticas Acceso a CFGS

  2. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL • PRIMERA • La integral indefinida de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales indefinidas de las funciones sumandos. • Es decir: •  [ f (x) + g (x) + ...+ k (x)] dx = f (x) dx +g (x) dx + .. k (x) dx. • Ejemplos • (Ya resueltos al ser integrales inmediatas) • [ 3.x2 + 2.x + 4] dx = 3.x2dx + 2.x dx +  4dx = x3 + x2 + 4.x + C • [ cos x – sen x] dx = cos x dx + – sen x dx = sen x + cos x + C • [ ex + 2x ] dx = exdx +  2xdx = ex + (2x / ln 2) + C • [ 7.x6 + 3x – cos x – 9] dx = 7.x6dx + 3xdx –  cos x dx –  9dx = • =x7 + (3x / ln3) – sen x – 9.x + C Matemáticas Acceso a CFGS

  3. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL • SEGUNDA • La integral indefinida del producto de un número (una constante) por una función f(x) es igual al producto del número (de la constante) por la integral indefinida de la función f (x). • Simbólicamente: • k .f (x) dx = k  f(x) dx • Ejemplos • (Ya resueltos al ser integrales inmediatas) • 3.exdx =3. exdx = 3.ex + C •  5.cos x dx = 5. cos x dx = 5.sen x + C •  (5 / x)dx = 5. (1 / x) dx = 5. ln x + C •  (7 / 16.√x) dx = (7 / 8). (1 / 2.√x)dx = (7 / 8).√x + C Matemáticas Acceso a CFGS

  4. I. INDEFINIDA DE f POLINÓMICA • Sea la función polinómica f(x)= 11. x5 + 5. x3 - 7. x2 + 7x + 9. • Dicha función es la suma de las funciones potenciales • f1(x) = 11. x 5 ; f2(x) = 5. x 3 ; f3(x) = (-7). x2 ; f4(x) = 7.x ; f5(x) = 9 • Según las propiedades previas : •  [11. x5 + 5. x3 - 7. x2 + 7x + 9 ] dx = • =  11. x5dx +  5. x3dx - 7. x2dx +  7x dx +  9 dx = • 11. x6 5. x4 7. x3 7. x2 • = ------- + ------- -- ------ + ------ + 9. x + C • 6 4 3 2 Matemáticas Acceso a CFGS

  5. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN • Dada una función f(x) no siempre es posible calcular su integral; unas veces porque no se trata de una función de las estudiadas hasta ahora y otras veces porque, aún siéndolo, no sabemos determinarla. • Mediante ciertos métodos de cálculo, se pueden determinar la mayoría de las integrales, reduciéndolas a otras inmediatas. • INTEGRAL LOGARÍTMICA • La derivada de la función y = ln f(x), sabemos que es y ’ = f ’(x) / f(x) • Por consiguiente: • f ’(x) •  ------- dx = ln f(x) + C • f (x) • La integral indefinida del cociente de dos funciones, cuando el numerador es la derivada del denominador, es igual al logaritmo neperiano del denominador, más una constante. Matemáticas Acceso a CFGS

  6. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN • Ejercicios • 2x • 1.- Calcular la integral indefinida de: f(x) = ---------- • 1 + x2 • 2.- Calcular la integral indefinida de: f(x) = tg x. • Clave: tg x = sen x / cos x • ex + 1 • 3.- Calcular la integral indefinida de: f(x) = ---------- • ex + x • Resolución • 1.- 1 + x2 = t  2.x dx = dt  I = ln t + C  I = ln (1 + x2) + C • 2.- cos x = t  – sen x dx = dt  I = – ln t + C  I = – ln (cos x) + C • 3.- ex + x = t  (ex + 1) dx = dt  I = ln t + C I = ln (ex + x) + C Matemáticas Acceso a CFGS

  7. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN • INTEGRACIÓN POR DESCOMPOSICIÓN • Según las propiedades de la integral indefinida: • [f(x) + g(x)] dx = f(x)dx +  g(x)dx • Lo que permite calcular la integral indefinida de una función cuando la función a integrar se puede expresar como suma de dos o más funciones de integral conocida. • Ejemplos • 1.-  (2.x+3) dx =  2.x dx +  3 dx = x2 + 3.x + C • 2.- x + 1 1 1 •  ---------- dx =  (1 + --- ) dx =  1 dx +  --- dx = x + ln x + C • x x x • 3.-  (4.ex – (1/3).sen x) dx = 4. ex + (1/3). – sen x dx = • = 4.ex + (1/3).cos x + C Matemáticas Acceso a CFGS

  8. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN • INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE • A veces, para calcular una integral  f(x) dx se efectúa un cambio de variable x = g(t), lo que evita muchos errores al quedar la expresión mucho más simplificada. • Sustituyendo x por g(t) y dx por g'(t)dt y entonces resulta: • f(x) dx =  f [ g (t) ] g'(t) dt • Ejemplo 1 •  e3x dx  Hacemos el cambio: 3.x = t •  Derivando queda: dx = dt  dx = dt / 3 • Luego:  etdt / 3 = (1/3). et dt = (1/3).et + C = (1/3).e3x + C Matemáticas Acceso a CFGS

  9. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN • Ejemplo 2 •  sen5 x. cos x dx  Hacemos: sen x = t •  Derivando: cos x dx = dt • sen6 x • Luego:  sen5 x .cos x dx =  t5 dt = t5+1/ (5+1) + C = ---------- + C • 6 • Ejemplo 3 •  2.x. sen x2 dx  Hacemos: x2 = t •  Derivando: 2.x dx = dt • Luego:  2.x.sen x2 dx =  sen t dt = - cos t + C = - cos x2 + C Matemáticas Acceso a CFGS

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