De wet van Gauss

1. H o o f d s t u k 22 De wet van Gauss • Elektrische flux • De wet van Gauss • Toepassingen van de wet van Gauss 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

2. 22.1 Elektrische flux • De wet van Gauss gebruikt het begrip elektrische flux. • Voor een homogeen veld is de fluxFE door een vlak met oppervlakte A onder een hoekq met het veld gedefinieerd als: • 1e interpretatie: FIGUUR 22.1 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

3. 22.1 Elektrische flux • De wet van Gauss gebruikt het begrip elektrische flux. • Voor een homogeen veld is de fluxFE door een vlak met oppervlakte A onder een hoekq met het veld gedefinieerd als: • 2e interpretatie: FIGUUR 22.1 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

4. Met behulp van de vector (grootte: A; richting: op het oppervlak): 22.1 Elektrische flux • De wet van Gauss gebruikt het begrip elektrische flux. • Voor een homogeen veld is de fluxFE door een vlak met oppervlakte A onder een hoekq met het veld gedefinieerd als: FIGUUR 22.1 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

5. 3e interpretatie : in termen van het aantal veldlijnen N dat A of doorkruist: 22.1 Elektrische flux • De wet van Gauss gebruikt het begrip elektrische flux. • Voor een homogeen veld is de fluxFE door een vlak met oppervlakte A onder een hoekq met het veld gedefinieerd als: FIGUUR 22.1 “ De flux door een oppervlak is evenredig met het aantal veldlijnen dat het oppervlak snijdt.” 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

6. 22.1 Elektrische flux • Voorbeeld 22.1 Elektrische flux • Bereken de elektrische flux FE door de rechthoek in figuur 22.1. • De rechthoek is 10 cm bij 20 cm en het elektrisch veld is homogeen en heeft een veldsterkte van 200 N/C en de hoek q is 30°. • Aanpak • Oplossing FIGUUR 22.1 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

7. 22.1 Elektrische flux • Opgave A • Welke van de onderstaande gebeurtenissen zou een verandering in de elektrische flux door een cirkel in het xz-vlak veroorzaken waarin het elektrisch veld (10 N/C) is? • (a) Een verandering van de grootte van het elektrisch veld. • (b) Een verandering van de grootte van de cirkel. • (c) Een kantelingvan de cirkel naar het xy-vlak. • (d) Alle hierboven genoemde gebeurtenissen. • (e) Geen van de hierboven genoemde gebeurtenissen. 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

8. Principe : het oppervlak wordt verdeeld in ndeeloppervlakjes zo kleingekozen dat ze vlak zijn en het lokaal veld erover homogeen is. 22.1 Elektrische flux • De wet van Gauss gebruikt het begrip elektrische flux. • In het algemeen geval is het veldniet homogeen en het oppervlak A nietvlak. • De fluxFEdoorA wordt dan benaderd als: FIGUUR 22.2 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

9. 22.1 Elektrische flux • De wet van Gauss gebruikt het begrip elektrische flux. • In het algemeen geval is het veldniet homogeen en het oppervlak A nietvlak. • De fluxFEdoorA wordt dan benaderd als: FIGUUR 22.2 • Principe : het oppervlak wordt verdeeld in ndeeloppervlakjesin de limiet wordt de som exact. 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

10. met behoud van de fysische betekenis: “ De flux door een oppervlak is evenredig met het aantal veldlijnen dat het oppervlak snijdt.” 22.1 Elektrische flux • De wet van Gauss gebruikt het begrip elektrische flux. • In het algemeen geval is het veldniet homogeen en het oppervlak A nietvlak. • De fluxFEdoorA is dus exact: FIGUUR 22.2 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

11. 22.1 Elektrische flux • De wet van Gauss gebruikt het begrip elektrische flux. • De fluxFEdoor een gesloten oppervlakA noteren we als: FIGUUR 22.3 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

12. 22.1 Elektrische flux • De wet van Gauss gebruikt het begrip elektrische flux. • Bij een gesloten oppervlak wordt naar buiten gericht. • rechts in fig. 22.4: FIGUUR 22.4 • links in fig. 22.4: • Flux die een gesloten volume binnenkomt wordt negatief geteld. • Flux die het volume verlaat is positief. 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

13. 22.1 Elektrische flux • De wet van Gauss gebruikt het begrip elektrische fluxdoor een gesloten oppervlak. A FIGUUR 22.4 FIGUUR 22.2 “ De flux door een gesloten oppervlak is evenredig met het netto aantal veldlijnen dat het oppervlak uitgaat.” 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

14. 22.2 De wet van Gauss • De exacte formulering van de wet van Gauss luidt: “ De flux door een gesloten oppervlak is gelijk aan de netto ingesloten lading gedeeld door e0.” FIGUUR 22.6 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

15. Het linker lid: 22.2 De wet van Gauss De wet van Coulomb volgt uit de wet van Gauss: • Dit is makkelijk aan te tonen met behulp van een bolvormig gaussoppervlak A dat de puntlading Q omsluit: FIGUUR 22.7 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

16. 22.2 De wet van Gauss De wet van Gauss volgt uit de wet van Coulomb: • Dit is makkelijk aan te tonen voor één puntlading Q en een bolvormig gaussoppervlak A dat de puntlading symmetrisch omsluit: FIGUUR 22.7 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

17. 22.2 De wet van Gauss De wet van Gauss volgt uit de wet van Coulomb: • Voor één puntlading Q en een willekeurig gaussoppervlak A2dat de puntlading omsluit: • het netto aantal veldlijnen door A2 is hetzelfde als het netto aantal veldlijnen door A1 dus: FIGUUR 22.8 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

18. 22.2 De wet van Gauss De wet van Gauss volgt uit de wet van Coulomb: • In het geval meerdere puntladingen Qi door een willekeurig gaussoppervlak A omsloten worden: • Voor elke ingesloten lading Qi geldt: • Op grond van superpositie geldt voor de totale flux door A: • Waaruit: 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

19. 22.2 De wet van Gauss • Conceptvoorbeeld 22.2 Flux met behulp van de wet van Gauss • Veronderstel de twee gaussoppervlakken A1 en A2 in figuur 22.10.De enige aanwezige lading is Q in het centrum van het oppervlak A1. • Hoe groot is de nettoflux door de oppervlakken A1 en A2 ? • Antwoord • Door A1: FE,1=Q/e0. • Door A2: FE,2=0. FIGUUR 22.10 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

20. 22.2 De wet van Gauss • Opgave B • Een puntlading Q bevindt zich ter plaatse van het middelpunt van een bolvormig gaussisch oppervlak A. Wanneer een tweede lading Q net buiten A wordt geplaatst zal de totale flux door dit bolvormig oppervlak A … • (a) niet veranderen, • (b) verdubbelen, • (c) halveren, • (d) anders veranderen. 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

21. 22.2 De wet van Gauss • Opgave C • Drie ladingen van 2,95µC bevinden zich in een kleine doos. Hoe groot is de nettoflux die de doos verlaat? • (a) 3,3x1012 N. m2/C, • (b) 3,3x105 N. m2/C, • (c) 1,0x1012 N. m2/C, • (d) 1,0x106 N. m2/C , • (e) 6,7x106 N. m2/C. 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

22. De wet van Gauss • Toepassingen 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

23. 22.3 Toepassingen van de wet van Gauss • Voorbeeld 22.3 Bolvormige geleider • Een dunne bolvormige schil met straal r0 bezit een totale lading Q die gelijkmatig verdeeld is (fig. 22.11). • Bereken het elektrisch veld: • (a) buiten de schil (r> r0) en • (b) binnen de schil (r< r0). • (c) Wat zou je krijgen indien de geleider massief is? • Aanpak • Herken de symmetrie van de ladingsverdeling en van de veldverdeling. • Kies een “nuttig” Gaussoppervlak. • Schrijf de stelling van Gauss uit. FIGUUR 22.11 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

24. 22.3 Toepassingen van de wet van Gauss • Opgave D • Een lading Q wordt op een holle metalen bal geplaatst. In hoofdstuk 21 hebben we gezien dat de lading zich volledig op het oppervlak van de bal bevindt, omdat metaal een geleider is. Hoe wordt de lading op de bal verdeeld? • (a) De helft op het binnenoppervlak, de helft op het buitenoppervlak. • (b) Een deel op elk oppervlak, omgekeerd evenredig met de twee stralen. • (c) Een deel op elk oppervlak, maar complexer dan (b). • (d) Helemaal op het binnenoppervlak. • (e) Helemaal op het buitenoppervlak. 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

25. 22.3 Toepassingen van de wet van Gauss • Voorbeeld 22.4 Massieve ladingsbol (geladen wolk) • Een lading Q is gelijkmatig verdeeld over het volume van een niet geleidende bolvormige wolk met straal r0, (fig. 22.12). • Bereken het elektrisch veld: • (a) buiten de bol (r> r0) en • (b) binnen de bol (r< r0). • Aanpak • Herken de symmetrie van de ladingsverdeling en van de veldverdeling. • Kies een “nuttig” Gaussoppervlak. • Schrijf de stelling van Gauss uit. FIGUUR 22.12 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

26. 22.3 Toepassingen van de wet van Gauss • Voorbeeld 22.4 Massieve ladingsbol (geladen wolk) • Een lading Q is gelijkmatig verdeeld over het volume van een niet geleidende bolvormige wolk met straal r0, (fig. 22.12). • Oplossing FIGUUR 22.13 FIGUUR 22.12 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

27. 22.3 Toepassingen van de wet van Gauss • Voorbeeld 22.5 Niet-homogeen geladen massieve bol • Veronderstel dat de ladingsdichtheid van de massieve bol in fig. 22.12 wordt beschreven door rE=ar2 , met a constant. • (a) Bepaal a in termen van Q en r0. • (b) Bereken het elektrisch veld binnen de bol (r< r0). FIGUUR 22.12 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

28. 22.3 Toepassingen van de wet van Gauss • Voorbeeld 22.5 Niet-homogeen geladen massieve bol • Veronderstel dat de ladingsdichtheid van de massieve bol in fig. 22.12 wordt beschreven door rE=ar2 , met a constant. • (a) Bepaal a in termen van Q en r0. • (b) Bereken het elektrisch veld binnen de bol (r< r0). • Aanpak • Splits de bol in concentrische schillen met straal r en dikte dr. • (a) Integreer de ladingsdichtheid. • (b) Schrijf de stelling van Gauss uit. FIGUUR 22.14 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

29. 22.3 Toepassingen van de wet van Gauss • Voorbeeld 22.6 Lange lijn met homogene ladingsverdeling • Een lange rechte draad bezit een gelijkmatige positieve lading per eenheid van lengte: l (fig. 22.15). • Bereken het elektrisch veld in punten in de buurt van de draad. • Aanpak • Herken de symmetrie van de ladingsverdeling en van de veldverdeling. • Kies een “nuttig” Gaussoppervlak. • Schrijf de stelling van Gauss uit. FIGUUR 22.15 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

30. 22.3 Toepassingen van de wet van Gauss • Voorbeeld 22.7 Oneindig groot geladen vlak • Lading is homogeen verdeeld over een oneindig groot oppervlak met een oppervlakteladingsdichtheid s (fig. 22.16). • Bereken het elektrisch veld in punten in de buurt van het vlak. • Aanpak • Herken de symmetrie van de ladingsverdeling en van de veldverdeling. • Kies een “nuttig” Gaussoppervlak. • Schrijf de stelling van Gauss uit. FIGUUR 22.16 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

31. 22.3 Toepassingen van de wet van Gauss • Voorbeeld 22.8 Elektrisch veld in de buurt van een willekeurig geleidend oppervlak • Toon aan dat het elektrisch veld net buiten het oppervlak van een willekeurige goede geleider beschreven wordt door: • met s : de lokale oppervlakteladingsdichtheid. • Aanpak • Gebruik een cilindrisch doosje als Gaussoppervlak. • Schrijf de stelling van Gauss uit. FIGUUR 22.17 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

32. 22.3 Toepassingen van de wet van Gauss • De stelling van Gauss levert inzicht op in de verdeling van de lading bij geleiders. Beoordeling van ladingsverdelingen op geleiders • Bij een geïsoleerde geladen geleider in “elektrostatisch evenwicht” bevindt de nettoladingQ zich op het buitenoppervlak. • Toon dit aan op basis van de stelling van Gauss. FIGUUR 22.19 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

33. 22.3 Toepassingen van de wet van Gauss • De stelling van Gauss levert inzicht op in de verdeling van de lading bij geleiders. Beoordeling van ladingsverdelingen op geleiders • Bij een geïsoleerde geladen geleider in “elektrostatisch evenwicht” bevindt de nettoladingQ zich op het buitenoppervlak ook als de geleider een lege holte vertoont. • Toon dit aan op basis van de stelling van Gauss. FIGUUR 22.20 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

34. 22.3 Toepassingen van de wet van Gauss • Conceptvoorbeeld 22.9 Geleider met lading binnen een holte • Veronderstel dat een geleider een nettolading Q>0 bezit en een holte bevat waarin zich een puntlading q>0 bevindt. • Wat kun je zeggen over de ladingen op het binnen- en buitenoppervlak van de geleider? • Antwoord • Binnenoppervlak draagt -q . • Buitenoppervlak draagt Q+q. FIGUUR 22.9 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

35. 22.3 Toepassingen van de wet van Gauss • Opgave F • Welke van de volgende beweringen over de wet van Gauss is correct? • (a) Als we de lading kennen die wordt omsloten door een oppervlak, weten we altijd hoe sterk het elektrisch veld is overal op het oppervlak. • (b) Om het elektrisch veld met behulp van de wet van Gauss te vinden, gebruik je altijd een bol als gaussisch oppervlak. • (c) Als de totale flux door een oppervlak bekend is, is ook de totale lading binnen dat oppervlak bekend. • (d) De wet van Gauss kan alleen worden gebruikt als het elektrisch veld constant is in der ruimte. 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss

36. De wet van Gauss voor symmetrische ladingsverdelingen • 3. Gebruik de symmetrie om de richting van te bepalen in de punten van het gaussisch oppervlak. • 4.Bepaal de flux, . Het scalair product moet nul zijn of , met E constant over het gehele of een deel van het oppervlak. 22.3 Toepassingen van de wet van Gauss • Oplossingsstrategie • 1. Bekijk de symmetrie van de ladingsverdeling: bolvormig, cilindrisch, vlak,…Kies een geschikt gaussisch oppervlak waarvoor de grootte van constant is of nul op het geheel of een deel ervan: een bol, een cilinder of een “pillendoosje”. • 2.Teken het gaussoppervlak door het punt waar je het veld zoekt. • 5.Bereken de omsloten lading. • 6.Stel de flux gelijk aan de omsloten lading. Los op naar E. 6-10-2014 - Hoofdstuk 22 - De wet van Gauss