А.А. Шананин Математический кружок ФУПМ МФТИ (ГУ) 11.09.2012

1. Обобщенный непараметрический метод вычисления положительно однородныхиндексов Конюса-Дивизиа и его приложения к анализу товарных и фондовыхрынков А.А. Шананин Математический кружок ФУПМ МФТИ (ГУ) 11.09.2012

2. Построение экономических индексов___________________________________________________________ – потребительская корзина – вектор цен на товары – стоимость корзины товаров – базовый период времени – текущий период времени – эффект Гершенкрона: замещение относительно подорожавших товаров относительно подешевевшими Индекс спроса Ласпейреса

3. Индексы Конюса Пусть у нас задана система поверхностей безразличия. Спросу в момент времени соответствует уровень полезности , а спросу - уровень полезности Набор товаров, который мог быть куплен при ценах в момент времени и имеющий полезность , обозначим . Набор товаров, который мог быть куплен при ценах в момент времени t и имеющий полезность , обозначим . индекс спроса Конюса-Ласпейреса. индекс спроса Конюса-Пааше.

4. Задача о рационализируемости ___________________________________________________________ – объемы потребления товаров – цены на эти товары – обратные функции спроса – класс непрерывных, вогнутых, положительно-однородных и положительных в функций Определение. рационализируемы в классе , если такая функция полезности , что

5. Предложение 1. Постановки задачио рационализируемости Пусть выполнено Тогда следующие утверждения эквивалентны: • Существуют такие что • Существует функция такая что справедливо где Q(P) – преобразование Янга1) функцииF(X) • Существует , рационализирующая обратные функции спроса 1) Преобразование Янга инволютивно в классе , т.е. двукратное применение переводит функцию в себя

6. Индексы Конюса Предложение 2 Пусть функция полезности рационализируетобратные функции спроса . Тогдаиндекс Конюса-Ласпейреса совпадает с индексом Конюса-Пааше Предложение 3 Предложение Пусть функция полезности рационализируетобратные функции спроса . Тогдаиндекс Конюса не больше индекса Ласпейреса и не меньше индекса Пааше.

7. Индексы Дивизиа ___________________________________________________________ • Траектории (пути интегрирования) • Разные траектории – разные формулы для практических расчетов;

8. Индексы Конюса-Дивизиа ___________________________________________________________ Предложение 6. (Балк, Халтен) В случае, когда обратные функции спроса рационализируемы в классе дифференцируемых функций из , индекс Конюса совпадает с индексом Дивизиа. Критика: наличие функциональной зависимости между ценами и объемами – функции спроса не общего положения. Существует ли такой индекс?

9. Критерий рационализируемости – I___________________________________________________________ Определение. принадлежит классу , если и в выполнены следующие условия: • строго квазивогнута; • хотя бы одно оптимальное на решение

10. Критерий рационализируемости – II___________________________________________________________ Утверждение 1. Пусть Обозначим рационализируемы в тогда и только тогда, когда: • ни при каких 4. различных 5.

11. Проблема интегрируемости Условия интегрируемости Фробениуса - это условия типа равенства

12. Индекс потребления и индекс ценТеория выявленного предпочтения___________________________________________________________ Функция полезности – индекс потребления – индекс цен Определение.выявленнопредпочтительнее чем (обозначается ), если и только если Слабая аксиома. Если то

13. Сильная аксиома и однородная сильная аксиома теории выявленного предпочтения___________________________________________________________ Определение.косвенно выявленно предпочтительнее, чем (обозначается ), если и только если что Сильная аксиома. Если то Определение.удовлетворяют однородной сильной аксиоме теории выявленного предпочтения (ОСА), если

14. Рационализируемостьобратных функций спроса ___________________________________________________________ Утверждение 2 Пусть Тогда следующие утверждения эквивалентны. • рационализируемы в классе . • решение системы • удовлетворяют ОСА.

15. Рационализируемость торговой статистики___________________________________________________________ – торговая статистика – объемы потребления товаров – цены на эти товары Торговая статистика – значения обратных функций спроса в точках Определение. Торговая статистика называется рационализируемой, если ее можно продолжить до обратных функций спроса, рационализируемых в классе .

16. Теорема Африата – Вериана ___________________________________________________________ Следующие утверждения эквивалентны: • функция полезности вида , рационализирующая торговую статистику , т.е. 2) решение системы линейных неравенств (I) 3) удовлетворяет однородной сильной аксиоме теории выявленного предпочтения (ОСА):

17. Непараметрический метод построения индекса Конюса-Дивизиа _______________________________________________ Предложение 7 Пусть где удовлетворяют (I), а Тогда Такой метод вычисления индексов называется непараметрическимметодом.

18. Алгоритм Варшалла – Флойда___________________________________________________________ – матрица индексов цен Пааше 2)такие что (I) Разрешима , и Рассмотрим идемпотентное полукольцо с операциями и Тогда

19. Необходимость численных экспериментов • Что содержательно означает нарушение условий существования положительно однородных индексов Конюса-Дивизиа? • Как влияют на условия существования первичная обработка статистики и выбор групп товаров? • Как использовать индексы Конюса-Дивизиа для анализа сегментации рынков и структуры спроса?

20. Шведская статистика 1921-1938 гг. ___________________________________________________________ • Колебания индекса Конюса-Дивизиа сглажены по сравнению с исходными данными; • 1933-1935: нарушение условий рационализируемости; • Последствия Великой Экономической Депрессии: появление новых потребностей и товаров (холодильники); • Связь системных перестроек экономики и нарушения условий рационализируемости выявлена непараметрическим методом.

21. Индексы цен и потребления. Пример: Венгрия 1975-1984. ___________________________________________________________

22. Индексы цен и потребления. Пример: Венгрия 1975-1984. ___________________________________________________________

23. Венгрия: классификация товаров ___________________________________________________________ Товарные группы различаются длительностью службы товаров. Первые три класса – товары повседневного спроса – имеют время потребления месяц, «Одежда» – около года, оставшиеся классы – 5-10 лет (товары и услуги длительного пользования).

24. Изменение структуры потребления___________________________________________________________ - Появление рыночных отношений на потребительском рынке; - Сдвиг потребления в пользу товаров длительного пользования;

25. Дерево экономических индексов. Сегментация рынков.___________________________________________________________ – все остальные товары

26. Все товары и услуги Товары и услуги повседневного спроса Товары и услуги длительного пользования Прод. товары, Напитки, Табачные изделия Одежда ЖКО, Здравоохранение, Транспорт, Образование Статистика Венгрии. Отделимость ___________________________________________________________ • Группа товаров "Одежда" не удовлетворяет ОСА, но удовлетворяет ОСА, если добавить еще один агрегированный товар "Продукты питания". • Классификация, используемая товароведами, оказалась неадекватной; • Процессам, которые происходили в стране, соответствует другая классификация, основанная на характерном времени потребления;

27. Статистика Нидерландов ___________________________________________________________ • Предварительная обработка статистики (классификация по группам) в общем случае не адекватно отражает ее свойства, так как опирается на эвристический опыт и лингвистические особенности. Как предварительная обработка искажает информацию о взаимозаменяемости товаров? • Статистика Нидерландов: из групп, выделенных товароведами, ни одна не рационализируема. Тем не менее, вся статистика рационализируема.

28. Обобщенный непараметрический метод___________________________________________________________ Обобщение непараметрического метода: (I) Минимальное , при котором разрешима система (I) , называется показателем нерациональности торговой статистики. Математический смысл показателя нерациональности: связь с идемпотентным аналогом числа Фробениуса-Перрона для матрицы индексов цен Пааше.

29. Статистика Нидерландов. ОНМ. ___________________________________________________________ • Товарные группы, выделенные стат. cлужбами, не рационализируемы; • С помощью ОНМ можно посчитать индексы: • Индекс по индексам групп; • Индекс по всем товарам • Максимальное отклонение индексов, построенных двумя способами, составляет 1.76%. • ОНМ позволяет исследовать структуру спроса • Появляется возможность анализировать влияние предварительной обработки торговой статистики.

30. Анализ дерева индексов с помощью ОНМ ___________________________________________________________ При использовании ОНМ у нас появляется возможность проверить, насколько предварительная обработка с вычислением индексов цен Ласпейреса и спроса Пааше, влияет на рационализируемость. Действительно, мы можем вычислить индекс тремя способами: Первый способ: посчитать напрямую по всем товарам торговой статистики. Второй способ: С предварительным агрегированием по группам, т.е. рассчитать сначала индексы Конюса-Дивизиа для групп из классификатора, а затем построить индекс всей статистики. Третий способ: С предварительным агрегированием по группам, но при этом рассчитывая для групп индекс цен Ласпейреса и спроса Пааше, т.е. имитируя обработку, которая обычно производится статистическими службами.

31. Анализ дерева индексов с помощью ОНМ. Нидерланды. ___________________________________________________________

32. Анализ дерева индексов с помощью ОНМ. Венгрия. Классификация статистических служб________________________________________________________ Для расчетов использована классификация статистических служб: Продтовары, Напитки, ЖКХ, Медицина и т.д.

33. Анализ дерева индексов с помощью ОНМ. Венгрия. Классификация по времени потребления________________________________________________________ Для расчетов использована классификация по характерному времени потребления: товары повседневного спроса и товары длительного пользования

34. Анализ дерева индексов с помощью ОНМ. Вывод ___________________________________________________________ На всех рисунках отклонение графиков, построенных по первому и второму способам, меньше, чем по первому и третьему. Таким образом, можно утверждать, что агрегирование с построением для групп товаров индексов Конюса-Дивизиа в большей степени отражает структуру потребительского спроса.

35. Первичная статистика. Безалкогольные напитки. ___________________________________________________________ • Статистика содержит помесячные данные (январь 2007 - декабрь 2007) о продажах безалкогольных напитков в 643 магазинах г. Москвы, 14 наименований товаров; • Товар – конкретное наименование в конкретном магазине; • На рынке пара дополняющих товаров: торговая услуга по продаже и сам товар; • Вопрос: сегментация зависит от торговой услуги или от наименования (бренда)?

36. Первичная статистика. Безалкогольные напитки. ___________________________________________________________ • Почти все группы, объединяющие товары одного бренда, рационализируемы; • Более 2/3 классов-магазинов имеют показатель нерациональности, больший, чем единственный нерационализируемый класс-бренд; • Разброс цен внутри бренда достаточно велик (до 50%); • Вывод: выявлена сегментация по брендам.

37. Первичная статистика. Компьютерное оборудование___________________________________________________________ • Наименьший показатель нерациональности имеет группа "Все товары". Она, по-видимому, полнее учитывает отношение взаимодополнения и взаимозамещения товаров.

38. Компьютерное оборудование. Объединение классов. ___________________________________________________________ Объединения групп имеют намного меньший показатель нерациональности, чем сами группы. Это связано с тем, что объединения полнее учитывают свойства взаимозаменяемости и взаимодополняемости. Хорошим примером служит то, что товары из группы "Память" образуют рационализируемую группу с "Процессорами" и "Сетевым оборудованием". Это иллюстрирует поведение потребителя: обычно покупатель приобретает память и процессор не по отдельности, а вместе, чтобы характеристики подходили друг к другу.

39. Статистика фондового рынка ___________________________________________________________ • - цены акций, - объемы торгов в штуках • 21 крупнейшая мировая биржа: • Нью-Йорксая фондовая биржа, Лондонская фондовая биржа, • Фондовая биржа Токио, • Фондовая биржа Франкфурта, • Фондовая биржа Гонконга, • Фондовая биржа Шанхая... Проблемы: • Разное число перепродаж крупных пакетов акций, различная активность спекулянтов влияет на рационализируемость; • Биржи торгуются в разных валютах.

40. Анализ валютного рынка. Арбитражные цепочки. ___________________________________________________________ Пусть - это количество валюты j, которое мы можем получить, обменяв единицу валюты i. Полученная матрица A называется матрицей кросс-курсов. Будем говорить, что матрица кросс-курсов А допускает арбитражную цепочку , если • Теорема (Африат, Вериан) Пусть А – положительная матрица, тогда следующие утверждения эквиваленты: • У матрицы А отсутствуют арбитражные цепочки; • Система линейных неравенств имеет положительное решение • Существование решения можно связать с продуктивностью • матрицы А в идемпотентном смысле.

41. Анализ валютного рынка. Приведение к единой валюте. ___________________________________________________________ С помощью алгоритма Варшалла-Флойда решим неравенства получим «веса» валют . Умножая решение на одно и то же положительное число, мы снова получим решение. Положим «вес» доллара США равным единице.

42. Мировой индекс

43. Мировой индекс и Нью-Йорк ___________________________________________________________ Мировой индекс более волатилен, чем индекс для Нью-Йоркскойфондовой биржи, который в свою очередь более волатилен, чем индексДоу-Джонса.

44. Бразилия ___________________________________________________________ Бразильский рынок обладает очень высокой волатильностью. Например, по сравнению с мировым индексом.

45. Развитые и развивающиеся рынки ___________________________________________________________ В целом развивающиеся рынки более волатильны.

46. Финансовый сектор ___________________________________________________________ ОНМ позволяет строить индексы по отраслям. Анализ показал,что наиболее сильно от кризиса 2008 года пострадал финансовыйсектор.

47. Компании-производители потребительских товаров ___________________________________________________________ Компании-производители потребительских товаров оказалистабилизирующее влияние на рынок.

48. Металлургия ___________________________________________________________ Металлургические компании продемонстрировали наибольший рост перед кризисом.

49. Сегментация фондового рынка ___________________________________________________________ Индексы, построенные по индексам отраслей, по индексам отдельных бирж и по акциям почти совпадают.

50. Рационализируемость ___________________________________________________________ Показатель нерациональности наименьший для всего мирового рынка.