第十一章统计推断

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江西工业工程职业技术学院课时计划 课程名称经济数学2009~ 10年第二学期第14周第1 次课总第11次课课题第十一章统计推断 11.3 参数的点估计 11.4 区间估计目的要求 1、理解点估计、区间估计的的概念。 2、掌握点估计、区间估计在经济管理中的应用。重点、难点和突破的方概念法重点、难点：点估计、区间估计的的概念、点估计、区间估计在经济管理中的应用。突破方法：通过对例题的详细讲解与课堂练习相结合复习提问统计量、抽样分布教具多媒体等。作业（附后）P242 ：6、7 课后记教学内容的步骤（附后）

11.3 参数的点估计 11.3　参数的点估计 11.3.1 矩估计法 11.3.2 最大似然估计法 11.3.3估计量的评价标准

11.3参数的点估计 　　当总体的分布类型已知，对它的一个或多个未知参数进行估计时，称为参数估计，否则称为非参数估计．　　假设总体　的分布函数的形式为已知，但它的一个或多个参数未知．如果得到了　的一组样本观察值　，　，…，　，很自然地会想到用这组数据来估计总体参数的值，这类问题称为参数的点估计问题．　　有时不是对参数作定值估计，而是要估计参数的一个所在范围，并指出该参数被包含在该范围内的概率，这类问题称为参数的区间估计．

上一页 上一页下一页下一页 11.3.1参数的点估计　　设　为总体　的待估计的参数，，，…,　为总体　的一个样本,构造一个统计量　　　　　　　　作为参数的估计,称统计量　为参数　的一个估计量，当　，　，…，为一组样本值时，则　　　　　　　就是　的一个点估计值．返回 3/38

11.3.1矩估计法 　　设总体　的分布中包含未知参数　，，…，　，则其分布函数可以表成．显然它的　阶原点矩　　　　　　　　　　　中也包含了未知参数　，，　…，　，即　　　　　　　　．又设　，　，…，　为总体　的　个样本值，样本的　阶原点矩为 , 按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程，即有

，，． 11.3.1矩估计法　　由上面　个方程，解出　个未知参数　　　　就是参数　　　　　的矩估计量．例1设　，　，…，　是来自正态总体　　　　的一个样本,试求　和　的估计量．

从上式解出　和　，得 ，，．．　　若要求标准差　的估计量　,则从上式可得． 11.3.1矩估计法解　因为　，　，…，是来自正态总体　　　的一个样本,因此　　　　， , ，2, …，．　　于是　　　　　　　　　　　　　　,从而有

求　和　的估计值． ．即　和　的估计值分别为． 11.3.1矩估计法例2　设某种灯泡寿命　　　　　 , 其中　和　未知，今随机抽取5只灯泡，测得寿命(单位:)分别为 1 623，1 527，1 287，1 432，1 591．解　根据例1的结论，得

例3　设　服从均匀分布 ，．，其他． 11.3.1矩估计法设1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1是总体　　的一组样本值，试估计这个总体的数学期望、方差以及参数　．解　分别用样本的均值和方差估计总体的均值和方差，故总体期望的估计值为总体方差的估计值为

　　为了估计参数　，先求总体的数学期望　　，．令　　　，则得　的矩估计值　为． 11.3.1矩估计法

．． 11.3.2最大似然估计法　　设　，　，…，　是来自密度为　　　的一个样本，是未知参数，称　　　　　　　　　为的似然函数,记作　　　　　　即　　最大似然估计法的直观想法就是：既然随机试验的结果得到样本观测值　，，…， ,说明这组样本观测值出现的可能性(概率)最大，因此我们所选取的参数　的估计量应使似然函数　　　　　　达到极大值,即当参数　用　作估计量时

．，， 11.3.2最大似然估计法使似然函数　　　　　　　达到极大值的　称为参数　的最大似然估计量．记作如果似然函数　　　　　　　关于参数是可微的,求　　　　　　的极大值时，解方程从中得到　，经过适当检验，便可得到　的最大似然估计量　．实际计算时，往往先对　取对数，然后再解方程从中得到的使　　取得极大值的　，　就是参数　的最大似然估计量．

，，，，，，，．取对数，得　　　　　　　　． 11.3.2最大似然估计法例4　设总体　的分布为指数分布，其密度为其中　为未知参数．设　，　，…，　是来自总体　的一个样本，求参数　的最大似然估计．解　似然函数为

从中解出的使　　取得极大值的　，　，就是参数　，　的最大似然估计量．从中解出的使　　取得极大值的　，　，就是参数　，　的最大似然估计量．解方程，故参数　的最大似然估计量为．，， 11.3.2最大似然估计法　总体分布　中含有两个未知参数　，　时，最大似然估计法仍然适用，这时似然函数是二元函数　　　　　　　　．由二元函数极值原理

．取对数 11.3.2最大似然估计法例5　设　，　，…，　是正态总体　　　的一个样本,试求　和　的最大似然估计．　解　似然函数是

于是得到　和　的最大似然估计是 ，，，，， . 11.3.2最大似然估计法解方程组得到与矩估计法的结论相同．

例6　证明：　　　　　　　　　　　且　　　　是总体均值　的无偏估计量．例6　证明：　　　　　　　　　　　且　　　　是总体均值　的无偏估计量．证　因为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　，，则称　为参数　的无偏估计量．所以　是　的无偏估计． 11.3.3估计量的评价标准 1.无偏性定义11.5如果参数　的估计量　　满足：

11.3.3估计量的评价标准 例7　设　，　，…，　是来自总体　的一个样本，证明： (1)样本均值　　　　是总体均值　的无偏估计； (2)统计量　　　　　　　不是总体方差　的无偏估计，而是　的无偏估计．

证(1)由于　　　　，　，2,…，， 所以．． (2) ． 11.3.3估计量的评价标准

定义11.6　若　， 都是　的无偏估计，而且　　　　　　，则称　比　更有效． 11.3.3估计量的评价标准　　注意:无偏性的要求并不是总能满足的，例如对正态总体,虽然　　　　　　　　是的无偏估计,但是却不是总体标准差　的无偏估计． 2.有效性

例8　若总体　服从泊松分布 证　因为　　　　，所以　　　　，　，即　与　都是　的无偏估计．但是　　　　　，　　　　　，所以　比　有效．　，1，2，… 11.3.3估计量的评价标准对于容量为　　　　的样本　，　，…，，证明　　　比　　　　　　　有效．

11.3.3估计量的评价标准 　　方差最小的无偏估计是一个“最佳”的估计.可以证明： (1)频率　是概率　的最小方差无偏估计； (2)若总体　服从正态分布　 ,则　与　分别是　与　的最小方差无偏估计量．

11.4 区间估计 11.4.1 置信区间与置信度 11.4.2 数学期望的区间估计 11.4.3 方差的区间估计

，解　因为测量值　　　　　，有，， 11.4.1置信区间与置信度例9　设　，　,…，　是物体长度　的测量值，已知测量误差　　　　　　是各次独立的，都遵从　　　　，其中　是已知的常数,问以99%的把握可以断言长度的真值　在什么范围内？　，　，…，　是独立同分布的随机变量，即　　　　　　，于是的点估计量量　　　　　 .由正态分布的性质可知

． 11.4.1置信区间与置信度也即以0.95的概率断言不等式　　　　　　成立，此不等式就是　　　　　　　　或写成．这样就获得了长度真值　的一个估计区间，该区间称为置信度为95%的置信区间,当然，也可能碰上这个区间不包含真值的偶然情况,出现这种偶然情况的概率有5%(即1-95%). 　　完全类似,有以99%的把握(概率)断言真值

， (12.4.1) 11.4.1置信区间与置信度定义11.5　设　，　，…，　是分布密度为　　　的一个样本，对给定的　　　，如能求得两个统计量　　　　　　及使得则称　　为置信度，称区间　　　　　　，为参数　的置信度为　　的置信区间.置信度简称为信度,置信度为　的置信区间在不至于混淆时也简称为置信区间．

　　置信区间的含义是：在重复的随机抽样中,如果得到很多(12.4.1)式这样的区间，则其中的100% 分含有直值　，而只有 %不包含真值　．从定义看出，置信区间是与一定的概率保证相应的；概率大的相应的置信区间长度就长；概率相同时,测量精度越高(测量误差越小)，相应的置信区间就越短． 11.4.1置信区间与置信度

3.利用估计量的分布给出置信区间．例1中利用　　　　　导出 ，于是． 1.明确问题：明确要估计的参数.如例1中要估计的参数是　(总体的期望)，确定置信度． 2.用参数的点估计,导出估计量的分布．例1中用　的估计量　,并已知　　　　　． 11.4.1置信区间与置信度　　求置信区间的步骤：

设　， ,…，为总体　　　　的一个样本． 对数学期望　的区间估计分为两类情况：， 1.已知方差　　　(已知)，对期望　进行区间估计所以　　　　　　　　　　． 11.4.2数学期望的区间估计　　，由定理12.1知

故所求期望　的置信度为　　的置信区间为 ．．于是由不等式　　　　　　　　，推得 11.4.2数学期望的区间估计对于给定的置信度　　，存在使得返回

解　因为　　　　　，所以　　　　，查正态分布数值表，　　　　　　　　　　，故　　　　，于是解　因为　　　　　，所以　　　　，查正态分布数值表，　　　　　　　　　　，故　　　　，于是例10　从正态总体　　　中抽取容量为4的样本,样本均值为　　　　　　　.求的置信度为0.95的置信区间．，，即的置信度为0.95的置信区间是(9.28,17.12). 11.4.2数学期望的区间估计

对于给定的置信度　　，存在　　　　　　， , 2.未知方差　，对期望　进行区间估计． 11.4.2数学期望的区间估计　　设　，　，…，　为总体　　　　的一个样本，由于　未知，用　的无偏估计样本方差　来估计　，并且由定理12.3知道

使得例11　用某仪器测量温度，重复5次，得　　　，　　　，　　　，　　　，　 .若测得的数据服从正态分布，试求温度真值所在的范围？．故所求期望　的置信度为　　置信区间为． 11.4.2数学期望的区间估计

解　在总体方差未知的情况下，总体均值 (温度真值)的置信区间是计算知　　　　　　　　，，，查　分布表可知． 11.4.2数学期望的区间估计

所以　　　　　　　　　　　　　　　　， ，， 11.4.2数学期望的区间估计故温度真值的置信度为0.95的置信区间是 (1 244.2，1 273.8)．

11.4.3方差的区间估计 　　考虑方差　相应的样本方差　，并由定理12.1知道．．故有．由此得：当总体　　　　的参数　未知时，方差　的　　的置信区间为

11.4.3方差的区间估计 例12　求例2中总体标准差　的置信度为0.95的置信区间．解　　的置信区间为．查表可知　　　　　　　　　　　　，，返回

11.4.3方差的区间估计 　　已知　　　　,例2已计算出　　　　，故，．于是总体标准差　的置信度为0.95的置信区间是(7.2，34.2)．

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