SUITES DE FAREY

1. SUITES DE FAREY CERCLES DE FORD ARBRE DE STERN-BROCOT

2. CHRONOLOGIE • JohnFarey, géologue anglais, conjecture en 1816, sur les fractions ordinaires • Démonstration la meme année par Augustin Cauchy • Magnifique illustration géométrique en 1938 par Lester Ford (mathématicien américain) • Représentation des rationnels par un arbre infini : indépendamment par le mathématicien allemand Moriz Stern (1858) et l’horloger français Achille Brocot (1860)

3. DEFINITION Ce sont toutes les fractions irréductibles Entre 0 et 1 ayant un dénominateur inférieur ou égal à n et classées par ordre croissant

4. Si a / b et a' / b' sont deux termes CONSECUTIFS d'une suite de Farey alors ba' - ab' = 1 INSERTION Dans la suite de Farey, en prenant trois fractions consécutives : p/q < p’/q’ < p’’/q’’ le terme médian est donné par:

5. Cercles de Ford (fractal)

6. Tangence des cercles

7. d : distance en rouge t = r + Rd² = ( X - x )² + ( Y - y )²t = y + Yd² = X² - 2Xx + x² + Y² - 2Yy + y²t² = y² + 2 yY + Y²d² - t²= ( X - x )² - 4Yy= ( P/Q - p/q )² - 4 (1/2Q² . 1/2q² )= ( (Pq - pQ)/qQ )² - (1/qQ )²= ( ( Pq - pQ )² - 1 ) /q²Q²

8. POINTS DE TANGENCE

9. EN DIMENSION 3

10. ARBRE DE STERN-BROCOTARBRE DE STERN-BROCOTFait extraordinaire : tous les rationnelsfigurent dans l’arbre, une et une seule fois, et sous forme irréductibleEnsembles de Farey : sous-arbres Chaque rationnel y apparaît une seule fois, en écriture irréductible

11. GENERATIONS • 0/1 < 1/0 • 0/1 < 1/1 < 1/0 • 0/1 < 1/2 <1/1 < 2/1 < 1/0 • 0/1 <1/3< 1/2 <2/3<1/1<3/2 < 2/1<3/1 < 1/ 0 • 0/1 <1/4<1/3<2/5< 1/2<3/5 <2/3<3/4<1/1<4/3<3/2 <5/3< 2/1<5/2<<3/1 < 4/1<1/0 • 0/1<1/5< <1/4<2/7<<1/3<3/8<2/5<3/7< 1/2<4/7<3/5 <5/8<<2/3<5/7<3/4<4/5<1/1 • 2/3<7/10<5/7<8/11<3/4< 7/9<4/5<5/6<1/1 • 2/3< 9/13<7/10<12/17<5/7<13/18<8/11<11/15<3/4< 10/13<7/9<11/14<4/5<9/11<5/6< 6/7<1/1 • 3/4<13/17< 10/13< 17/22<7/9<18/23<11/14<15/19<4/5 • 3/4<16/21<13/17<23/30< 10/13<27/35< 17/22<24/31<7/9<25/32<18/23<29/37<11/14 • 27/35 : 1/1 - 1/2 - 2/3 - 3/4 - 4/5 - 7/9 – 10/13 – 17/22 – 27/35

12. PROPRIETES 1)Si m/n < m’/n’ sont consécutives dans l’arbre (i.e. dans une génération) alors m’n –mn’ = 1 (*) Preuve par récurrence : on vérifie que pour le nouvel élément (m+m’)(/n+n’), on a encore (cf déterminants liés) : (m+m’)n – m(n+n’) =1 = m’(n+n’)-(m+m’)n’ 2)Conséquence : fractions irréductibles (Bezout) 3)Si m/n < m’/n’ alors m/n < (m+m’)(/n+n’) < m’/n’ : la construction de l’arbre préserve l’ordre donc chaque fraction apparaît au plus une fois 4)Chaque fraction est présente dans l’arbre : tant que a/b n’est pas apparue, on considère ses 2 plus proches voisins m/n < m’/n’ vérifiant donc (*) Puisque m/n < a/b < m’/n’ , on a : an-bm > 0 et m’b –an’ > 0 soit encore puisqu’ils sont entiers an-bm ³ 1 et m’b –an’ ³ 1; De (*), on déduit : a+b = (m’+n’) (an-bm) + (m+n) (m’b –an’ ) ³ m+n + m’+n’ , Ce qui ne sera plus vrai à partir d’un certain rang puisque m+n + m’+n’ Croit strictement au fil des générations.

13. CODAGE • Prenons par exemple 27/35, selon ce principe, • elle se code sous la forme GDDDGGDG • (G pour gauche et D pour droite). • Or on peut vérifier que 1' on a :

14. Ensemble de MANDELBROT

15. Ampoule de période 3

16. Ampoule de période 9

17. Ampoules 2/5 et 3/7

18. ADDITION DE FAREY