Secciones Cónicas:

1. Secciones Cónicas: LA ELIPSE

2. S T La Tierra describe una trayectoria elíptica alrededor del Sol, el cual se encuentra en uno de los focos. Si el semieje mayor de la elipse mide 1,485x108 km, y la excentricidad de la misma es aproximadamente igual a 1/60, se puede calcular la máxima y la mínima distancia de la Tierra al Sol.

3. La elipse Es el conjunto de puntos (x; y)del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos F1 y F2 (focos) es una constante. Focos Centro d2 d1 Eje focal Vértices d1 + d2 = constante

4. B2 P V1 V2 F1 C F2 Q B1 Segmentos y puntos notables de una elipse El segmento F1F2 que tiene por extremos a los focos F1 y F2 se llama línea focal o segmento focal de la elipse, y tiene una longitud igual a 2c. Por lo que, la distancia del centro C de la elipse a cada uno de los focos es igual a c. Los puntos de intersección de la elipse con la línea recta que pasa por los focos, se llaman vértices de la elipse, y se les denota como V1 y V2. El segmento V1V2 que tiene por extremos a los vértices V1 y V2 se llama eje mayor o eje focal de la elipse, y tiene una longitud igual a 2a. La cuerda B1B2 perpendicular al eje focal por el centro C de la elipse, se llama eje menor o eje no focal de la elipse, y tiene una longitud igual a 2b. Cada cuerda PQ perpendicular al eje focal por alguno de los focos de una elipse, se llama lado recto de la elipse.

5. B2 B2 a a a b V1 V2 F1 C c C F1 F2 B1 El eje focal V1V2 tiene una longitud igual a 2a, y la distancia del centro a cada vértice es a; porque: Por ser V2 punto de la elipse, se tiene que: Además: Sustituyendo F1V2 en la primera relación, se tiene: Pero: Entonces: Además, por el teorema de Pitágoras se sigue que:

6. B2 a a V1 V2 C F1 F2 a a B1 El centro C equidista de los extremos B1 y B2 del eje menor de la elipse, porque: Por ser la recta B1B2 mediatriz del segmento focal F1F2, y por ser B1 y B2 puntos de la elipse, se tiene que: Entonces la hipotenusa B2F1 y el cateto F1C del triángulo rectángulo B2CF1 son respectivamente congruentes con la hipotenusa B1F1 y el cateto F1C del triángulo rectángulo B1CF1 . Por lo que: De donde: Además por pasar por el centro, las cuerdas B1B2 y V1V2 son diámetros de la elipse. Y por ser la hipotenusa mayor que cualquiera de los catetos de un triángulo rectángulo, se sigue que Por lo que a V1V2 también se le llama diámetro mayor y a B1B2 también se le llama diámetro menor de la elipse.

7. y (0, a) Semieje mayor: a (0, c) y (0, b) a c a b x x Semieje mayor: a b c (-c, 0) (-a, 0) (c, 0) (a, 0) (b, 0) (-b, 0) (0, -b) (0, -c) (0, -a) Ecuación canónica de la elipse Las elipses están centradas en el origen con focosen el eje x (a) y eje y (b)

8. y (0, a) Semieje mayor: a (0, c) y (0, b) a c a b x x Semieje mayor: a b c (-c, 0) (-a, 0) (c, 0) (a, 0) (b, 0) (-b, 0) (0, -b) (0, -c) (0, -a) Ecuación canónica de la elipse Las elipses están centradas en el origen con focosen el eje x (a) y eje y (b)

9. Eje x (c; 0) (a; 0) a b Eje y (0; c) (0; a) a b Elipses con centro (0; 0) Ecuación estándar Eje focal Focos Vértices Semieje mayor Semieje menor Relación pitagórica

10. ECUACION DE LA ELIPSE CON CENTRO Si el eje focal de la elipse es paralelo al eje x , y si el centro de la elipse es el punto C(h,k) ; entonces se tiene el diagrama que sigue: y k x 0 h Por lo que:

11. Considerando se tiene que: De donde: Por tanto la ecuación de la elipse que tiene eje focal paralelo al eje x con centro en el punto , es: Esta ecuación es la forma estándar o canónica de una elipse horizontal con centro en Nótese que si entonces la forma canónica corresponde a una circunferencia.

12. Si el eje focal de la elipse es paralelo al eje y, y si el centro de la elipse es el punto entonces se tiene el diagrama que sigue: y k C x h 0 Por lo que:

13. Considerando se tiene que: De donde: Por tanto la ecuación de la hipérbola que tiene eje focal paralelo al eje y con centro en el punto , es: Esta ecuación es la forma estándar o canónica de una elipse vertical con centro en C(h , k) con eje mayor Vertical

14. Dado que entonces Por tanto: • Si el valor de c es muy próximo al valor de a, entonces el valor de e es muy próximo al valor 1; en cuyo caso la elipse se alrga. • Si el valor de e es muy próximo al valor 0, entonces el valor de c es muy próximo al valor 0; de donde el valor es muy próximo al valor 0, por lo que el valor de a es muy próximo al valor de b; o sea la elipse se aproxima a una circunferencia cuando e se aproxima a 0. La excentricidad de la elipse La forma de ver que tan alargada está una elipse, es mediante su excentricidad (e), la cual se define como el cociente de la longitud del segmento focal (2c) entre la longitud del eje focal (2a). O sea:

15. Al dividir todo entre 225 se tiene: b2 = 9, b = 3 c2 = a2 – b2 entonces c2 = 25 – 9 c = 4 Por lo tanto: Focos: (0 , 4) y (0 , -4) Vértices: (0 , 5) y (0 , -5) Longitud del eje mayor 2a = 10 unidades Longitud del eje menor 2b = 6 Excentricidad

16. 2. Los focos de una elipse son (2 , 0) y (-2 , 0), Los vértices son (-6 , 0) y (6 , 0). Determinar La ecuación canónica Los focos de la elipse son de la forma (c , 0) y (-c , 0), y los vérices (a , 0) y (-a , 0), donde a = 6, c = 2 Por lo tanto, su centro es (0 , 0) y su ecuación es de La forma : b2 = a2 – c2 b2 = 36 – 4 Por tanto la ecuación es

17. 3. Representagráficamente y determina las • Coordenadas de los focos, de los • vértices de la elipse: Se reúnen las X y se reúnen la Y, se traslada la constante al otro miembro de la igualdad, luego se completan los trinomios cuadrados, así: Al factorizar los trinomios y reducir semejantes queda así: Esta es una ecuación de la forma Por lo tanto los elementos son: Centro (h , k) es C(1 , -2) Vértices (h+a , k) y (h-a , k) V(3 , -2) y V(-1 -2) Focos (h+c , k) y (h-c , k) a = 2 , b =

18. FIN