Wstęp – opracowywanie wyników pomiarów za pomocą arkusza kalkulacyjnego MS Excel

Wstęp – opracowywanie wyników pomiarów za pomocą arkusza kalkulacyjnego MS Excel

Średnie i miary zmienności

Plan zajęć • zakres danych • średnia: arytmetyczna, ważona, geometryczna, harmoniczna • mediana i dominanta • wariancja • współczynnik zmienności

Estymator Estymator to wielkość wyznaczona na podstawie próby losowej, służąca do oceny wartości nieznanych parametrów populacji generalnej. Estymator nazywamy nieobciążonym, jeżeli jego wartość oczekiwana jest równa faktycznej wartości parametru populacji generalnej.

Estymator Własność nieobciążoności oznacza, że przy wielokrotnnym losowaniu próby średnia wartości przyjmowanych przez estymator nieobciążony równa się wartości szacowanego parametru. Inaczej: wartość nieobciążoności estymatora gwarantuje otrzymanie za jego pomocą ocen wolnych od błędu systematycznego. Dla małych prób należy starać się używać estymatora nieobciążonego

Średnie klasyczne Średnia arytmetyczna Średnia arytmetyczna jest estymatorem nieobciążonym o największej wiarygodności wartości oczekiwanej zmiennej losowej przy spełnieniu przynajmniej jednego z poniższych założeń: • liczba obserwacji jest dostatecznie duża • rozkład zmiennej jest normalny

Średnie klasyczne Średnia ważona Jest stosowana, jeżeli dane można pogrupować w klasy (przedziały klasowe) w postaci szeregu rozdzielczego

Średnie klasyczne Szereg rozdzielczy jest sposobem statystycznej prezentacji rozkładu empirycznego. Etapy: • porządkowanie wartości cechy • zliczanie ilość wystąpień danej cechy w próbie iokreślenie przedziałów klasowych • obliczanie częstości występowania dla każdej wartości cechy (dla każdego przedziału klasowego) • przedstawienie wyników w tabeli

Średnie klasyczne Szereg rozdzielczy Przykład: Zebrano 10 owoców dwu odmian o następującej masie: odmiana 1) 55, 75, 65, 45, 52, 50, 43, 56, 52, 53 odmiana 2) 75, 57, 51, 76, 43, 79, 65, 71, 72, 60

Średnie klasyczne Szereg rozdzielczy odmiana1)

Średnie klasyczne Szereg rozdzielczy odmiana 1)

Średnie klasyczne Średnia ważona • każdemu przedziałowi nadajemy „wagę” zależnie od jego liczebności ni :

43×3+ 45×3+ 50×3+ 52×6+ 52×6+ 53×6+ 55×6+ 56×6+ 65×6+ 75×1 3+ 3+ 3+ 6+ 6+ 6+ 6+ 6+ 6 + 1 Średnie klasyczne Średnia ważona • uwzględniamy wagę dla każdej wartości należącej do poszczególnych przedziałów: x1 × n1 + x2 × n2 + ... + xm × nm n1 + n2 + ... + nm odmiana1)

43×1+ 51×4+ 57×4+ 60×4+ 65×4+ 71×5+ 72×5+ 75×5+ 76×5+ 79×5 1+ 4+ 4+ 4+ 4+ 5+ 5+ 5+ 5 + 5 Średnie klasyczne Średnia ważona • uwzględniamy wagę dla każdej wartości należącej do poszczególnych przedziałów: x1 × n1 + x2 × n2 + ... + xm × nm n1 + n2 + ... + nm odmiana2)

Średnie klasyczne Średnia geometryczna Średnia ta jest stosowana w przypadku gdy: • skala pomiarowa nie jest liniowa • gdy badane jest średnie tempo zmian wielkości w czasie

Średnie klasyczne Średnia harmoniczna Średnia ta jest stosowana w przypadku gdy: • wartości zmiennej podane są w jednostkach względnych, np.: • rozstawa roślin (sztuki na m2) • spożycie rośliny X na 1 osobę

Średnie pozycyjne Mediana (wartość środkowa) to wartość cechy wszeregu uporządkowanym, powyżej i poniżej której znajduje się jednakowa liczba obserwacji. • sortujemy dane w od najmniejszej do największej inumerujemy od 1 do n • jeśli n jest nieparzyste, medianą jest wartość obserwacji w środku,czyli (n+1) × 2-1 • jeśli n jest parzyste, medianą jest średnia arytmetyczna między dwiema środkowymi obserwacjami, czyli obserwacją numer n × 2-1 iobserwacją numer (n × 2-1)+1

Średnie pozycyjne Kwartyle to wartości cechy badanej zbiorowości, przedstawionej w postaci szeregu statystycznego, które dzielą zbiorowość na określone części pod względem liczby jednostek, części te pozostają do siebie w określonych proporcjach • kwartyl pierwszy (Q1) dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 25% jednostek zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi pierwszemu Q1, a 75% równe bądź wyższe od tego kwartyla • kwartyl drugi – mediana • kwartyl trzeci (Q3) dzieli zbiorowość na dwie części w ten sposób, że 75% jednostek zbiorowości ma wartości cechy niższe bądź równe kwartylowi pierwszemu Q3, a 25% równe bądź wyższe od tego kwartyla

Średnie pozycyjne Dominanta (wartość modalna, moda) wskazuje na wartość o największym prawdopodobieństwie wystąpienia, lub wartość najczęściej występująca w próbie. • dla zmiennej losowej o rozkładzie ciągłym jest to wartość, dla której funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma wartość największą • jest szczególnie użyteczna gdy wartości zmiennej obserwowanej nie są liczbowe

Średnie pozycyjne Dominanta • badany rozkład wartości cechy musi mieć jeden ośrodek dominujący • asymetria rozkładu jest umiarkowana • przedział, w którym występuje dominanta, oraz sąsiadujące z nim przedziały mają te same rozpiętości

Średnie pozycyjne Dominanta Obliczanie dominanty z szeregu klasowego

6 - 3 = 57,5 50 + × (70 - 50) (6 - 3) + (6 - 1) Średnie pozycyjne Dominanta Obliczanie dominanty z szeregu klasowego

Miary zmienności klasyczne Wariancja Jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej zbiorowości.

Miary zmienności klasyczne Odchylenie standardowe topierwiastek kwadratowy z wariancji • stanowi miarę zróżnicowania o mianie zgodnym z mianem badanej cechy • określa przeciętne zróżnicowanie poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej σ

Miary zmienności klasyczne Współczynnik zmienności to miara zróżnicowania rozkładu cechy. Jest wielkością niemianowaną, najczęściej podawaną w procentach. Współczynnik zmienności stosuje się w porównaniach zróżnicowania: • kilku zbiorowości pod względem tej samej cechy • tej samej zbiorowości pod względem kilku różnych cech

Wstęp – opracowywanie wyników pomiarów za pomocą arkusza kalkulacyjnego MS Excel