VI) Évolution temporelle des systèmes quantiques.

1. VI) Évolution temporelle des systèmes quantiques. 1) Equation de Schrödinger L’évolution temporelle d’une fonction d’onde est décrite par l’équation de Schrödinger dépendant du temps : Nous savons que l’hamiltonien, H(x), admet des fonctions propres indépendantes du temps : En supposant que l’on puisse écrire on aura

2. D’où Et donc Donc si j(x) est une fonction propre de l’opérateur hamiltonien, pour l’énergie E, son évolution temporelle sera Notons que : La densité de probabilité ne dépend pas du temps, on a un état stationnaire. Des exemples de dynamique : http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/fr/step.html

3. Evolution d’une fonction d’onde quelconque : Soit j1 et j2 sont deux fonctions propres orthonormées de l’opérateur énergie, pour les valeurs propres E1 et E2 Soit On a alors Notons que la probabilité de mesurer le système dans chacun des états est constante au cours du temps :

4. Supposons pour alléger le calcul, que a et b sont des coefficients réels et que j1 et j2 sont des fonctions réelles. On a alors pour la densité de probabilité: Cette fonction dépend du temps. Il y a oscillation temporelle de la densité de probabilité, qui retrouve périodiquement la même forme avec une fréquence, f , égale à Illustrations (avec coeffs et fonctions complexes): http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/fr/superposition.html http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/fr/nh3.html

5. Résumé ! Visualisation d’états propres dans différents puits : Applet états liés • 1- Puit fini rectangulaire. • Notez que le nombre d’états liés augmente lorsque le puit s’élargit ou lorsque la masse augmente. • Leur écartement augmente lorsque l’énergie augmente. • clic sur « densité de proba » : notez que le nombre de nœuds augmente avec l’énergie. Notez que la probablité de présence • « dans le mur » n’est pas nulle et qu’elle augmente lorsque la hauteur du puit diminue ou lorsque l’on monte en énergie • (dans les deux cas, lorsque l’on s’approche du haut du puit !). • clic sur « wave function » puis « real part » et « imaginary part » : notez la succession de fonctions paires et impaires. Notez • Que la partie imaginaire est nulle à t=0 pour toutes les fonctions. • clic sur la flèche en bas pour faire défiler le temps : les fonctions d’ondes à t=0 sont multipliées par le terme exp(-iE 2pt/h) et • leur parties réelles et imaginaires évoluent. • clic sur « magnitude (=module) » : notez que le module (et donc la densité de probabilité) ne dépend pas du temps. • Clic sur « superposition of states », donnez un coeff 1aux trois premiers états, clic « normalize » : • notez la normalisation automatique, clic sur « apply » et « close ». Notez que ce nouvel état n’est pas un état stationnaire car • son module (et sa densité de proba) évoluent dans le temps. • 2- Double puit fini rectangulaire. • Notez la levée de dégénérescence des niveaux lorsque l’écart entre les puits diminue. • Clic sur « wave function » et « magnitude » : notez que les fonctions d’ondes de chaque puit ne se recouvrent pas lorsque • les puits sont séparés et que la levée de dégénérescence augmente avec le recouvrement des fonctions lorsque les puits • se rapprochent. • A puits proches, regardez la forme des deux fonctions de plus basse énergie (partie réelle), quasiment dégénérées. • En en faisant la combinaison, on peut quasiment « localiser » la particule dans un puit. Lancer ensuite l’évolution temporelle • et admirer un modèle de l’inversion de l’ammoniac ! 3- n puits finis rectangulaires : structure de bande. Les atomes d’un solides forment un système à n puits, la levée de dégénérescence des états est à l’origine de la formation des « bandes » énergétiques. Notez la délocalisation des fonctions d’ondes sur l’ensemble du solide (conduction).

6. Résumé ! Visualisation d’états propres dans des potentiels ouverts : Applet marches • 1- Onde plane et marche de potentiel. • Notez que l’onde plane a une énergie bien définie et suivez son évolution temporelle à potentiel constant. Notez le • coeff de transmission=1 • Lorsque la marche augmente (glissez la partie droite du potentiel vers le haut), il se crée une onde réfléchie et l’onde • transmise voit sa longueur d’onde augmenter (donc son énergie diminue ! Normal puisque l’énergie potentielle augmente • Dans cette région et qu’il faut conserver l’énergie !). Notez la variation des coefficients de transmission et de réflection. • Notez que pour une onde plane, la densité de probabilité est constante (cas particulier de non normalisation !). • Lorsque le potentiel est supérieur à l’énergie de l’onde, la transmission est nulle mais il a une « onde évanescente » • à l’intérieur de la marche qui est de plus en plus faible lorsque le potentiel augmente par rapport à l’énergie de l’onde. • 2- Paquet d’ondes et marche de potentiel. • Notez que le paquet d’ondes qui est une superposition d’ondes planes n’a pas une énergie bien définie. Plus le paquet d’onde • est localisé (clic « initial width ») plus il faut d’ondes planes superposées pour le décrire et plus son énergie est indéfinie. Le • Paquet d’onde évolue sans déformation. • Notez le paquet d’onde réfléchi lorsque le potentiel à droite augmente, et la reflection totale lorsque le potentiel est supérieur • À « l ‘énergie » du paquet d’ondes. Notez l’onde evanescente. • 3- Onde plane et mur de potentiel. • Notez que l’onde évanescente augmente lorsque le haut de la barrière est proche de l’énergie de l’onde. • Notez l’onde transmise lorsque l’onde a une énergie supérieure à la barrière. • - Notez l’effet tunnel lorsque la largeur du mur est inférieur à l’extension spatiale de l’onde évanescente. • 4- Paquet d’ondes et mur de potentiel. • Mêmes remarques qu’en 3.