8. Kmit y

1. 8. Kmity Pod kmitaním rozumieme časovo premenné zme- ny jednej alebo niekoľkých fyzikálnych veličín okolo určitej strednej hodnoty. Mechanické kmi- tanie je také kmitanie, pri ktorom kmitajúci hmotný bod (HB) neprekročí určitú konečnú vzdialenosť od rovnovážnej polohy, čo je poloha, v ktorej sú všetky sily pôsobiace na HB v rovno- váhe. Ak je časový priebeh kmitavého pohybu pravidelný, t.j. ak sa kmitavý pohyb opakuje v rovnako veľkých časových intervaloch, hovoríme o periodickom, alebo harmonickom kmitavom pohybe. Uvažujme jednoduchý oscilujúci systém – časticu (HB) pohybujúcu sa opakovane pozdĺž osi x medzi krajnými polohami , , ako ukazuje obrázok. Pod jed- ným kmitom alebo jednou osciláciou budeme rozumieť pohyb štartujúci a končiaci v tých istých za sebou nasledujúcich polohách. Na našom obrázku 1 kmit začína napr. v čase a končí v čase , kde T je perióda pohybu, t.j. čas, za ktorý

2. vykoná častica jednu osciláciu. Frekvencia udáva počet kmitov vykonaných za jednu sekundu. Medzi periódou pohybu a jeho frekvenciou platí teda vzťah Ak periódu udáme v sekundách, jednotkou frekvencie bude s-1. Túto jednotku voláme Hertz, skratka Hz. Frekvencia znamená, že za jednu sekundu prebehol je- den kmit. Jednoduchý harmonický pohyb. Netlmené kmity. Ak prekreslíme obrázok na predchádzajúcom slide prehľadnejšie, dostaneme graf, ako na obrázku nižšie. Tento graf neudáva dráhu kmitajúcej častice, ktorá stále kmitá len pozdĺž osi x, ale jej polohu na osi x vzhľa- dom na jej počiatok v každom čase t. Tento graf i nákres na predchádzajúcom slide opisu- jú pohyb, pri ktorom je poloha častice pozdĺž osi x úmerná sínusoidálnej funkcii času. Pod sínusoidálnou funkciou rozumieme buď fun- kciu sínus, alebo funkciu kosínus a takýto po- hyb nazývame jednoduchý harmonický po- hyb. Vyberme teda napr. funkciu kosínus a vyjadrime výchylku častice vzhľadom na

3. počiatok osi x vzťahom (1) V tomto vzťahu je amplitúda, t.j. veľ- kosť maximálnej výchylky kmitavého pohybu v kladnom aj v zápornom smere, keďže fun- kcia kosínus nadobúda hodnoty z intervalu +1,-1. Výraz v okrúhlej zátvorke v (1) sa nazýva fáza a má rozmer stupňa alebo radiánu. V tomto výraze je fázová kon- štanta, t.j. fáza pohybu v čase , a je teda určená výchylkou a rýchlosťou častice v okamihu, kedy sme začali merať čas. Na ilustráciu obrázok zobrazuje dva jednodu- ché harmonické pohyby. jeden je popísaný rovnicou (1) pre a druhý je tiež popísaný rovnicou (1), ak . V prípade druhého pohybu okamihu teda odpovedá poloha kmitajúcej častice na osi x rovná , pričom smer pohybu častice je v zápornom smere osi x. Z toho, čo sme povedali o fázovej konštante, vyplý- va, že je jedno, či na popis jednoduchého harmonického pohybu použijeme funkciu sínus alebo kosínus, keďže jednu môžeme vyjadriť druhou, len fázovo posunutou o . Konštanta vystupujúca v (1) je uhlová frekvencia. Táto veličina predstavuje uhol

4. ktorý by za jednu sekundu opísala častica pri jej pohybe po kružnici s konštantnou uhlovou rýchlosťou rovnou tejto uhlovej frekvencii. Ako uvidíme neskôr, existuje ko- rešpondencia medzi pohybom po kružnici s konštantnou uhlovou rýchlosťou a jednoduchým harmonickým pohybom popísaným rovnicou (1). Medzi uhlovou frekvenciou a periódou T a frekvenciou f jednoduchého harmo- nického pohybu existuje jednoduchý vzťah. Tento nájdeme, ak uvážime, že funkcia kosínus je periodická s periódou rovnou . Potom pre fázu kmitavého pohybu v čase t+T musí platiť odkiaľ okamžite dostávame Rýchlosť jednoduchého harmonického pohybu Vyjdeme z definície rýchlosti jednorozmerného pohybu ako derivácie polohy častice kmitajúcej pozdĺž osi x vzhľadom na počiatok tejto osi

5. Z poslednej rovnice vyplýva, že rýchlosť častice konajúcej jednoduchý harmonický pohyb sa tiež mení ako sínusoidálna funkcia času, pričom v prípade pohybu opísaného rovnicou (1) je touto funkciou sínus rovnakého argumentu. Maximálna rýchlosť dosahuje hodnoty , t.j. amplitúda sínusoidálnej funkcie, podľa ktorej sa mení rých- losť pri jednoduchom harmonickom pohybe, je . Zrýchlenie jednoduchého harmonického pohybu Vyjdeme z definície zrýchlenia priamočiareho pohybu ako derivácie rýchlosti tohto pohybu podľa času

6. Ako vidíme z poslednej rovnice, zrýchlenie častice konajúcej jednoduchý harmonic- ký pohyb je tiež úmerné sínusoidálnej funkcii času, v tomto prípade funkcii kosínus, t.j. tej istej funkcii ako výchylka (1), len s opačným znamienkom a násobenej ampli- túdou . Inak formulované – zrýchlenie jednoduchého harmonického pohybu je úmerné jeho výchylke násobenej . Pre jednoduchý harmonický pohyb popísaný rovnicou (1) vyplývajú z obrázkov na predchádzajúcom slide tieto závery: Keď výchylka dosahuje svoju maximálnu veľkosť, rýchlosť je nulová a zrýchlenie má tiež maximálnu veľkosť, len jeho hodnoty majú opačné znamienka ako výchylka. Pri nulovej výchylke veľkosť rýchlosti je maximálna a zrýchlenie je takisto nulové. Uvažujme jednoduchý systém zložený z nehmotnej ideálnej pružiny uloženej v hori- zontálnej rovine na jednom konci upevnenej a telesa upevneného na druhom konci pružiny. Nech je trenie medzi telesom a podložkou nulové. Len podotknime, že je to ten istý systém, ako sme uvažovali v kapitole o energii a prácii. Ako už teda vieme, keď teleso vychýlime z rovnovážnej polohy, bude kmitať medzi dvoma krajnými polohami, pričom jeho rovnovážna poloha bude odpovedať relaxovanému stavu pru- žiny. Tiež vieme, že pri tomto pohybe pôsobí na teleso sila daná Hookovým záko- nom

7. kde k je konštanta pružiny. Ako teda uka- zuje aj obrázok, táto sila je úmerná vý- chylke telesa z jeho rovnovážnej polohy, len s opačným znamienkom a bude teda mať smer vždy do rovnovážnej polohy pohybujúceho sa telesa. Ak predpokladá- me, že na celý systém nepôsobí nijaká iná sila, 2. Newtonov pohybový zákon opisujúci pohyb telesa, t.j. pohybová rov- nica telesa, má tvar (2) Riešenie diferenciálnej rovnice (2) je dané rovnicou (1). Ešte raz ho napíšme (3) kde sme z dôvodov, ktoré budú zrejmé z ďalšieho výkladu, označili uhlovú frekven- ciu . Objekt upevnený na pružine bude teda za podmienok, ktoré sme uviedli,

8. vykonávať jednoduchý harmonický pohyb, t.j. pohyb stále s rovnakou amplitúdou a uhlovou frekvenciou, až kým tento pohyb nezmení vonkajšia sila. Hovoríme o netl- mených kmitoch. Z toho, čo sme práve povedali a čo je matematicky reprezentované rovnicami (2) a (3), vyplýva, že jednoduchý harmonický pohyb, resp. netlmené kmity, vykonáva ob- jekt, ktorý je vystavený účinku sily úmernej výchylke tohto objektu z jeho rovnováž- nej polohy, ale s opačným znamienkom. O jednoduchý harmonický pohyb, resp. ne- tlmené kmity, ide teda vždy vtedy, ak na kmitajúci objekt pôsobí sila úmerná jeho vý- chylke z rovnovážnej polohy a smerujúca stále do tejto polohy. Zariadenie zobrazené na predchádzajúcom slide nazývame lineárny jednoduchý har- monický oscilátor alebo lineárny netlmený harmonický oscilátor. Slovo “lineárny” má pôvod práve v tom, že pohyb takéhoto oscilátora je daný účinkom sily, ktorá je lineárnou funkciou výchylky z jeho rovnovážnej polohy. Energia jednoduchého harmonického pohybu (netlmených kmitov) Už vieme, že pri pohybe bez trenia telesa upevneného v horizontálnej rovine k jedné- mu koncu ideálnej nehmotnej pružiny, ktorá je na druhom konci upevnená, dochádza k neustálej transformácii kinetickej energie telesa na elastickú potenciálnu energiu pružiny a naopak. Hovorili sme, že mierou elastickej potenciálnej energie pružiny je, nakoľko je pružina natiahnutá alebo stlačená, t.j. výchylka x telesa na pružine z jeho

9. rovnovážnej polohy. Pre elastickú potenciálnu energiu pružiny sme aj odvodili vzťah, ktorý spolu s rovnicou (3) dáva Kinetická energia nášho lineárneho harmo- nického oscilátora je úplne daná pohybom telesa o hmotnosti m, t.j. V poslednej rovnosti poslednej rovnice sme využili vzťah , ktorý získame tak, že do (2) dosadíme (3). Celková mechanická energia tohto oscilátora teda je Celková mechanická energia jednoduchého (netlmeného) lineárneho harmonického oscilátora je teda v každom okamihu jeho pohybu konštantná, ako aj má byť, pretože vzhľadom na podmienky, ktoré uvažujeme, ide o izolovaný systém, v ktorom pôsobia len konzervatívne sily.

10. Jednoduchý harmonický pohyb a pohyb po kružnici s konšt. Nech sa častica P pohybuje po kružnici s polomerom s konštantnou uhlovou rýchlosťou , pre uhol, ktorý zviera jej spojnica s počiatkom O s kladným smerom osi x , ako vieme, platí kde je uhol, ktorý zviera spojnica P s počiatkom O s kladným smerom osi x v ča- se a položme . Potom priemet sprievodiča častice P do osi x je daný vzťahom (1), t.j. (1)

11. Vzťah (1) v sebe zahŕňa aj orientáciu tohto priemetu, t.j. v kladnom alebo zápornom smere osi x, čo je dané veľkosťou uhla . Ak je tento uhol väčší ako 0ºa menší ako 90º, alebo väčší ako 270ºa menší ako 360º, dáva vzťah (1) kladné číslo a priemet spojnice P s počiatkom O je orientovaný v kladnom smere osi x. Naopak pre z intervalu 90º až 270ºdostaneme podľa (1) záporné číslo a tento prie- met je orientovaný v zápornom smere osi x. Môžeme teda skonštatovať, že ak sa po- hybuje častica P po kružnici s konštantnou uhlovou rýchlosťou, jej priemet do osi x, v ktorej leží priemer tejto kružnice, sa pohybuje jednoduchým harmonickým pohybom podĺž tohto priemeru s uhlovou frekvenciou , počiatočnou fázou a amplitúdou rovnou polomeru kružnice. Pre veľkosť rýchlosti častice P, ako je jasné, platí , a tak, ako ilustruje dru- hý obrázok na predchádzajúcom slide, priemet vektora do osi x je daný vzorcom Tento vzorec tiež v sebe zahŕňa okrem veľkosti tohto priemetu aj jeho orientáciu vzhľadom na os x a, ako vieme z predchádzajúceho výkladu, predstavuje rýchlosť častice konajúcej jednoduchý harmonický pohyb s uhlovou frekvenciou , po- čiatočnou fázou a amplitúdou , čo je v tomto prípade rýchlosť priemetu častice P do priemeru kružnice ležiaceho v osi x.

12. Keďže ide o pohyb po kružnici s konštantnou uhlovou rýchlosťou, má zrýchlenie častice P len normálovú zložku , ktorá je v každom okamihu pohybu orientova- ná do stredu kružnice. Situáciu ukazuje tretí obrázok na slide 10. Priemet zrýchlenia častice P do priemeru kružnice ležiaceho v osi x je daný vyjadrením v ktorom je takisto, ako v prípade výchylky a rýchlosti už zabudované aj znamienko tohto priemetu, t.j. zrýchlenia . Ako vieme, tento vzťah je vyjadre- ním zrýchlenia jednoduchého harmonického oscilátora kmitajúceho s uhlovou frek- venciou , počiatočnou fázou a amplitúdou . Ako vyplýva z nášho vý- kladu, je toto zrýchlenie zároveň aj zrýchlením priemetu častice P obiehajúcej po kružnici polomeru s konštantnou uhlovou rýchlosťou do smeru prie- meru tejto kružnice ležiaceho v osi x. Nakoniec môžeme zhrnúť, že jednoduchý harmonický pohyb častice (HB) pozdĺž priamky s danou uhlovou frekvenciou a amplitúdou súvisí s pohybom častice po kružnici polomeru rovnému amplitúde jednoduchého harmonického pohybu s kon- štantnou uhlovou rýchlosťou rovnou uhlovej frekvencii jednoduchého harmonického pohybu. Táto súvislosť je vyjadrená tým, že výchylka, rýchlosť a zrýchlenie častice konajúcej jednoduchý harmonický pohyb sú dané tými istými vzorcami, ako prieme- ty týchto veličín príslušiacich častici obiehajúcej po kružnici do smeru priemeru

13. tejto kružnice ležiacemu v osi x. Inými slovami: Bod , ktorý je priemetom čas- tice obiehajúcej po kružnici s konštantnou uhlovou rýchlosťou do zvoleného smeru, v ktorom leží priemer tejto kružnice, sa pohybuje tak, ako by sa pohybovala častica konajúca jednoduchý harmonický pohyb pozdĺž tohto priemeru s uhlovou frekven- ciou rovnou tejto uhlovej rýchlosti a s amplitúdou rovnou polomeru kružnice. Matematické kyvadlo Matematické kyvadlo je hmotný bod zavesený na nehmotnej ni- ti. Je to teda abstraktný objekt. Keď je kyvadlo v pokoji, visí vo zvislej čiare, pričom tiaž HB je vykompenzovaná napätím v zá- vese. Tomuto stavu hovoríme rovnovážna poloha kyvadla. Keď matematické kyvadlo vychýlime z jeho rovnovážnej polohy, bu- de kmitať donekonečna okolo bodu závesu s konštantnou am- plitúdou rovnou počiatočnej výchylke. Pritom ak HB práve ne- prechádza rovnovážnou polohou, môžeme tiažovú silu naňho pôsobiacu rozložiť na dve na seba kolmé zložky – zložku kolmú na záves, t.j. majúcu v každom okamihu smer dotyčnice ku kružnicovému oblúku opisovanému HB a zložku rovnobežnú, t.j. ležiacu v priamke obsahujúcej záves kyvadla. Rovnobežná zložka tiažovej sily sa vykompenzuje napätím v závese, preto

14. sa HB nepohybuje v smere závesu. Zložka kolmá, ktorú označíme , však neustále vracia kyvadlo do jeho rovnovážnej polohy a jej veľkosť je kde je veľkosť uhla zvieraného závesom kyvadla a zvislou priamkou. V poslednej rovnici vystupuje absolútna hodnota veličiny preto, lebo predstavuje zložku vektora , a môže teda nadobúdať kladné aj záporné hodnoty. Vektor je podľa definície vektor, ktorý je kolmý na rovinu, v ktorej ležia ramená uhla, ktorý reprezentuje, t. j. v našom prípade je kolmý na rovinu kmitania kyvadla a je orientovaný na tú stranu od tejto roviny, z ktorej sa stotožne- nie prvého ramena uhla s jeho druhým ramenom javí v smere proti chodu hodino- vých ručičiek. V našom prípade prvé rameno uhla leží vždy vo zvislej priamke prechádzajúcej bodom závesu. Ak teda nazveme časť pohybu kyvadla z jeho rovno- vážnej polohy doprava a späť pravá časť kmitu a druhú časť pohybu ľavá časť kmitu, je orientovaný v pravej časti kmitu pred nákresňu, t. j. , a v ľavej časti kmitu je orientovaný za nákresňu, t. j. . Ďalej zaveďme okamžitú súradnicovú sústavu xy ležiacu v rovine kmitania kyvadla tak, že jej počiatok je v HB, os x má smer dotyčnice k dráhe HB s kladným smerom doprava a os y kolmá na os x má kladný smer nahor. V tejto okamžitej súradnicovej sústave sila je orientovaná v kladnom smere osi x v ľavej časti kmitu a v zápor- nom smere osi x v pravej časti kmitu. Táto sila má teda len x-ovú zložku, ktorá je

15. Kladné číslo v ľavej časti kmitu a záporné číslo v pravej časti kmitu a ktorej veľkosť je daná prvou rovnicou na slide 14. Vzhľadom na to, čo sme povedali na predchádza- júcom slide o jedinej nenulovej zložke vektora je potom táto zložka sily da- ná jednotným zápisom Pohybovú rovnicu HB zaveseného na nehmotnej niti a kmitajúceho v rovine, t. j. pohybovú rovnicu matematického kyvadla, tak dostaneme v tvare (4) kde je okamžitá poloha HB, ktorá je evidentne záporné číslo v ľavej časti kmitu a kladné číslo v pravej časti kmitu. S touto substitúciou prejde (4) na tvar (5) Teraz ešte overíme, že znamienka veličín na pravej a ľavej strane (5) sú naozaj rovnaké.

16. Na základe definície uhlovej rýchlosti prepíšme preto dočasne rovnicu (5) v tvare (6) Vieme, že uhlová rýchlosť je tiež vektor, ktorý leží v osi otáčania, v tomto prípade v osi, okolo ktorej kyvadlo kmitá. Keď sa HB pohybuje v smere chodu hodinových ručičiek, je vektor orientovaný za nákresňu, a teda jeho jediná nenulová zložka ležiaca v osi otáčania bude záporné číslo. Naopak pri pohybe kyvadla v smere proti chodu hodinových ručičiek bude jediná nenulová zložka vektora ležiaca v osi otáčania číslo kladné, keďže bude orientovaný pred nákresňu. Keď sa teda HB pohybuje v smere zo svojej rovnovážnej polohy doprava, a teda spomaľuje,

17. t. j. klesá veľkosť jeho uhlovej rýchlosti, bude rozdiel , kde je hodnota jedinej nenulovej zložky uhlovej rýchlosti v nejakom čase a je jej hodnota v nejakom neskoršom čase , číslo záporné a pravá strana (5) je tiež v tejto situácii číslo záporné. Keď sa naopak HB vracia zo svojej krajnej polohy nachádzajúcej sa vpravo od rov- novážnej polohy do rovnovážnej polohy, zrýchľuje, t. j. čo do veľkosti sa zväčšuje jeho uhlová rýchlosť, ktorej jediná nenulová zložka nadobúda však záporné hod- noty, takže rozdiel bude opäť číslo záporné, čo je opäť konzistentné s (5). Pri stúpaní HB z rovnovážnej polohy smerom k jeho ľavej krajnej polohe veľkosť uhlovej rýchlosti opäť klesá, pričom hodnoty jej jedinej nenulovej zložky sú stále záporné čísla, lebo HB sa pohybuje v smere chodu hodinových ručičiek, preto roz- diel bude v tejto časti kmitu kyvadla číslo kladné, ako je aj ľavá strana (5). Argumentácia pre poslednú časť dráhy HB, t. j. jeho pohyb z krajnej polohy vľavo od rovnovážnej polohy do rov- novážnej polohy, by bola analogická predchádzajúcim trom a opäť by sme prišli k záveru, že znamienka oboch strán rovnice (5) sú rovnaké.

18. Riešme ďalej diferenciálnu rovnicu (5). Zaveďme však pritom predpoklad, že má veľkosť menšiu ako 5º lebo vtedy je približne rovný . S tým- to zjednodušením nadobudne rovnica (5) tvar (7) Rovnica (7) je rovnica toho istého typu ako rovnica (2) popisujúca netlmené harmo- nické kmity, a preto aj riešenie (7) bude mať tú istú formu ako riešenie (2), t.j. bude dané napr. vzorcom (8) kde je amplitúda uhlovej výchylky kyvadla, je uhlová frekvencia, s ktorou sa periodicky mení a je počiatočná fáza kmitania. Ak sa teda obmedzíme na malé uhly, uhol výchylky matematického kyvadla z jeho rovnovážnej polohy sa mení harmonicky podobne ako poloha HB kmitajúceho ako lineárny harmonický oscilátor pozdĺž priamky. Poznamenajme, že v rovnici (8) je zabudované aj zna- mienko , ktoré bude také, ako sme ho zadefinovali - je kladné v pravej časti kmitu a záporné v jeho ľavej časti.

19. Podotknime ešte, že musímerozlišovať medzi uhlovou rýchlosťou pohybu kyvadla a uhlovou frekvenciou , s ktorou sa periodicky mení , t.j. s ktorou kyvad- lo kmitá. Uhlová rýchlosť je rovná derivácii podľa času, t. j. počas pohybu ky- vadla sa jej hodnota mení, lebo kyvadlo buď zrýchľuje alebo spomaľuje. Uhlová frek- vencia kmitania kyvadla je konštantná, pretože táto veličina je konštantná pri ľubovoľnej harmonickejzmenenejakej fyzikálnej veličiny. Súvisí, ako už vieme, s  dĺžkou trvania jednej opakujúcej sa zmeny, t.j. jedného kmituT. Fyzikálne kyvadlo Fyzikálne kyvadlo je ľubovoľné teleso, ktoré vykonáva periodický kmitavý pohyb okolo osi, ktorá neprechádza jeho ťažiskom. Tu budeme študovať pohyb fyzikálne- ho kyvadla predstavovaného tenkou obdĺžnikovou doskou kmitajúcou vo zvislej ro- vine okolo osi kolmej na túto rovinu a neprechádzajúcej jej ťažiskom. Keďže fyzi- kálne kyvadlo je teleso konečných rozmerov, a nie hmotný bod konajúci translačný pohyb po oblúku kružnice, musíme na popis jeho pohybu použiť pohybovú rovnicu telesa otáčajúceho sa okolo pevnej osi, ktorú sme odvodili v kapitole “Dynamika sústavy HB a tuhého telesa.” Táto rovnica je

20. (9) kde je priemet momentu sily pôsobiacej na teleso do osi otáčania a I a sú moment zotrvačnosti a uhlové zrýchlenie určované vzhľadom na os otáčania. V tomto prípade sila, ktorá produkuje moment sily, je tiažová sila pôsobiaca v ťažisku dosky. Jej zložka kolmá na spojnicu bodu, v kto- rom os otáčania pretína dosku, a ťažiska, neustále vracia dos- ku do jej rovnovážnej polohy. Zložka ležiaca v tejto spojnici sa vykompenzuje reak- ciou britu, na ktorom je otáča- júca sa doska uložená, na váhu dosky. Veličiny a v rovnici (9) majú charakter vektorov, ktoré sú vždy kolmé na ro- vinu kyvadla a sú orientované buď pred ňu alebo za ňu. Môžu teda nadobúdať kladné aj záporné hodnoty. Ďalej

21. hodnota priemetu momentu sily do osi otáčania nezávisí od bodu na osi otáčania, vzhľadom na ktorý tento moment určujeme. Preto si môžeme vybrať na osi otáčania ľubovoľný bod a určiť priemet momentu sily určovaného vzhľadom na tento bod. Najjednoduchšou a najprirodzenejšou voľbou je bod, v ktorom os otáčania pre- tína dosku - bod O. Potom moment sily určovaný vzhľadom na tento bod bude daný vektorovým súčinom , kde je vektor s počiatkom v bode O a koncom v pôsobisku tiažovej sily. To znamená, že moment sily pôsobiaci na dosku určovaný vzhľadom na bod O bude v každej polohe dosky počas jej kmitania na ňu kolmý. Jeho veľkosť a smer budú teda totožné s veľkosťou a smerom . Z obrázku na predchádzajúcom slide je zrejmé, že v pravej časti kmitu je , resp. , orientovaný za nákresňu. Podľa pravidiel vektorového súčinu je potom hodnota , resp. jedinej nenulovej zložky , v tejto časti kmitu daná výrazom kde je jediná nenulová zložka vektora uhla zadefinovaného rovnako ako pri matematickom kyvadle. V ľavej časti kmitu je , resp. jediná nenulová zložka vyjadrená ako

22. Z toho, čo sme práve uviedli, vyplýva, že ľavá strana pohybovej rovnice fyzikálneho kyvadla, t. j. rovnice (9) má rovnakú formu v ľubovoľnej polohe kyvadla. Na pravej strane (9) je jediná nenulová zložka vektora uhlového zrýchlenia vyjadrená podľa definície v tvare Na základe posledných tvrdení má teda pohybová rovnica fyzikálneho kyvadla tvar (10) Úplne analogickým spôsobom ako pre matematické kyvadlo by sme dokázali, že ľavá a pravá strana rovnice (10) majú pre ľubovoľné rovnaké znamienka. Len si treba uvedomiť, že ako vektor uhlového zrýchlenia, tak aj vektor uhlovej rýchlosti ležia v osi otáčania.

23. Podobne ako pre matematické kyvadlo i pre fyzikálne kyvadlo zavedieme predpoklad, že absolútna hodnota má byť menšia ako 5º. Vtedy môžeme približne položiť rovné jeho sínusu a rovni- ca (10) prejde na tvar (11) Rovnica (11) je presne toho istého typu ako rovnice (2) a (7). Preto jej riešenie bude funkcia tej istej formy. Analogicky s matematickým kyvadlom môžeme teda riešenie

24. napísať v tvare (8) (8) kde význam jednotlivých premenných je ten istý ako pre prípad matematického ky- vadla. Uhol výchylky fyzikálneho kyvadla sa teda pri malých výchylkách mení tiež harmonicky, t. j. nadobúda kladné aj záporné hodnoty. Ak riešenie (8) dosadíme späť do pohybovej rovnice (11), získame vzťah pre uhlovú frekvenciu kmitov fyzikálneho kyvadla Tlmené kmity V reálnych situáciách harmonické kmity nepokračujú donekonečna, ale ich amplitú- da s časom klesá, až nakoniec teleso, ktoré kmity koná, úplne zastane. Napr. pre tele- so kmitajúce na pružine v horizontálnej rovine je príčinou utlmovania harmonických kmitov trenie medzi dotykovými plochami telesa a podložky, odpor vzduchu, ako aj vnútorné trenie v materiáli pružiny, na prekonanie ktorého treba energiu, o ktorú sa postupne zmenšuje energia kmitajúceho telesa.

25. V prípade, že sú harmonické kmity utlmované odporom prostredia, možno silu, rep- rezentujúcu tento odpor napísať takto (12) kde r je koeficient odporu. Podobne ako pri harmonických kmitoch uvažujeme jed- norozmerné kmity, a teda nepíšeme príslušné veličiny ako vektory, avšak dávame pozor na ich znamienka, ktoré určujú ich orientáciu. Ak teda pripočítame silu (12) k pravej strane rovnice (2), dostaneme pohybovú rov- nicu tlmených kmitov Keď zavedieme označenia prejde posledná rovnica na tvar

26. (13) kde je uhlová frekvencia netlmených kmitov, ktorú voláme aj vlastná uhlová frekvencia a b je koeficient útlmu. Rovnicu (13) riešime pomocou substitúcie (14) kde je nejaká funkcia času. Potom môžeme derivácie v (13) vyjadriť takto Po dosadení týchto vyjadrení do rovnice (13) dostaneme rovnicu (15) kde

27. Pri riešení rovnice (13) budeme rozlišovať tri prípady: 1. Periodický pohyb, , t.j. V tomto prípade je rovnica (15) rovnakého typu, ako rovnica netlmeného harmonic- kého pohybu, takže jej riešenie bude mať formu Po dosadení tohto vyjadrenia do (14) získame hľadané riešenie rovnice (13) (za pod- mienky, že ) Ako vidíme a ako ilustruje aj obrázok, toto riešenie predstavuje harmonické kmity, ktorých amplitúda s časom ex- ponenciálne klesá. Táto amplitúda je teda daná výrazom Pre periódu T tlmených harmonic- kých kmitov môžeme napísať vyjad-

28. renie Táto perióda je teda väčšia ako perióda odpovedajúcich netlmených harmonických kmitov . 2. Aperiodický pohyb, , t.j. V tomto prípade má rovnica (13) riešenie kde a sú integračné konštanty závislé od počiatočných podmienok. Keďže i sú kladné čísla, predstavuje toto riešenie dve exponenciálne krivky, kto- rých súčet sa pre blíži k nule. Ako teda ukazuje aj obrázok na nasledujú- com slide – krivka 2, HB nebude za týchto podmienok kmitať, ale bude sa po vychý- lení z rovnovážnej polohy pozvoľna do nej vracať, pričom sa nevychýli na opačnú stranu od nej. Krivka 2 odpovedá aperiodickému pohybu pre počiatočné podmienky

29. 3. Hraničný pohyb, , t.j. Tento pohyb predstavuje rozhranie medzi periodickým a aperiodickým pohybom. Riešením rovnice (13) pre tento prípad je funkcia kde a sú integračné konštanty. Pre počiatočné podmienky sú integračné konštanty v poslednej rovnici a , a teda táto rovni- ca má za týchto podmienok tvar Priebeh tejto funkcie je reprezentovaný krivkou 1 na obrázku.

30. Vynútené kmity Nech na kmitajúci HB pôsobí okrem elastickej väzby a odporu prostredia aj časovo premenná vonkajšia sila – vynucujúca sila , kde H je jej amplitúda a je jej uhlová frekvencia. Keďže predpokladáme, že táto sila leží v priamke, poz- dĺž ktorej HB kmitá, pohybová rovnica popisujúca pohyb HB za týchto podmienok bude opäť jednorozmerná a bude mať tvar Po zavedení označení nadobudne táto rovnica formu (16) Všeobecným riešením (16) pre je takáto funkcia času

31. (17) kde (18) Prvý člen v (17) s časom veľmi rýchlo prakticky vymizne, takže v ustálenom stave je pohyb HB daný rovnicou kde A je amplitúda vynútených kmitov a je fázová konštanta. Vynútené kmitanie nie je vo všeobecnosti vo fáze s vynucujúcou silou, t.j. HB nemu- sí dosahovať maximálnu výchylku, keď je sila najväčšia. Toto nastane iba pri absen- cii tlmenia, t.j. keď , kedy , ako vyplýva z (18). Amplitúda A je pri konšt. maximálna pre také , ktoré minimalizuje výraz v prvej rovnici v (18) pod odmocninou. Toto nájdeme, keď tento výraz zderivujeme podľa , výsledok položíme rovný nule a vyriešime takto získanú rovnicu vzhľadom na . Táto rovnica je

32. Riešením poslednej rovnice je (19) Túto frekvenciu nazývame rezonančná uhlová frekvencia a stav, kedy je amplitúda vynútených kmitov maximálna, nazývame rezonancia. Po dosadení (19) do prvej rov- nice v (18) dostaneme teda vyjadrenie pre rezonančnú amplitúdu (20) Ako vyplýva z prvej rovnice v (18), pri absen- cii tlmenia, t.j. keď by rezonancia na- stala pre a amplitúda vynútených kmitov by bola nekonečne veľká. Tieto fakty rovnako vyplývajú aj z rovníc (19) a (20). Pre je však rezonančná amplitúda vždy konečná a z (19) plynie, že rezonancia nastane pri . Obrázok potvrdzuje, čo hovorí prvá rovnica v (18) – čím je väčšie tlmenie, tým je menšia amplitúda vynútených kmitov. Ďalej rovnica (19) hovorí, že čím je

33. menšie tlmenie, tým je hodnota rezonančnej frekvencie bližšie k , a teda tým viac sa veľkosť rezonančnej amplitúdy blíži k nekonečnej hodnote, ako vyplý- va z rovnice (20). Skladanie kmitavých pohybov Na obrázku je dvojité kyvadlo. Kyvadlo predstavované dlhšou šípkou kmitá pri malých výchylkách harmonicky okolo osi a celá sústava kmitá okolo osi . Výs- ledný pohyb je zaznamenaný na papieri, ktorý sa pohybu- je v smere menšej šípky. Kmitavý pohyb HB môže byť výsledkom niekoľkých dielčích kmitavých pohybov. Skladanie kmitov znamená teda skladanie dvoch a viacerých pohybov, pričom platí princíp superpozície: Ak majú byť výchylky HB v danom okamihu vektory , je jeho skutočná výchylka daná vektorom , ktorý ktorý je vektorovým súčtom . Pri skladaní kmitov teda musíme uvažo- vať výchylky jednotlivých dielčích kmitov ako vektory, pretože môžu navzájom zvie- rať uhly, ktoré nie sú rovné nule, resp. 180º.

34. 1. Skladanie rovnobežných kmitov • Skladanie dvoch rovnobežných netlmených harmonických kmitavých pohybov • s rovnakou periódou T, t.j. rovnakou uhlovou frekvenciou , ale s rôznymi • amplitúdami a počiatočnými fázami Nech sú teda tieto dva kmitavé pohyby popísané výrazmi (21) Keďže tieto kmity sú rovnobežné, výchylka výsledného kmitavého pohybu bude daná algebraickým súčtom ich výchyliek, t.j. S použitím známych vzorcov platiacich pre goniometrické funkcie prejde tento výraz na tvar (22) kde sme položili (23)

35. Umocnením oboch rovníc v (23) na druhú a následným sčítaním získame pre ampli- túdu výsledného pohybu A vzťah (24) Vzťah pre fázovú konštantu je evidentný Na základe (22) výsledný pohyb, ktorý vznikne zložením kmitov (21), je harmonický pohyb prebiehajúci v tej istej priamke ako kmity (21) a s tou istou periódou. Z rovni- ce (24) plynie, že amplitúda A výsledného kmitania závisí od rozdielu počiatočných fáz skladaných kmitov . Keďže , platí pre A na základe (24) Ďalej z (24) vyplýva pre celočíselné hodnoty k: Skladané kmitania majú rovnakú fázu, a teda Skladané kmitania majú opačnú fázu, a teda V ostatných prípadoch A leží medzi týmito dvoma medznými hodnotami.

36. b) Skladanie dvoch rovnobežných netlmených harmonických kmitavých pohybov s rovnakými amplitúdami a počiatočnými fázami, ale rôznymi uhlovými frekven- ciami Skladajme dva knitavé pohyby dané vyjadreniami (25) Keďže ide o rovnobežné kmitavé pohyby, výsledný kmitavý pohyb bude daný algeb- raickým súčtom výchyliek (25) (26) kde sme použili známe vzorce pre súčet goniometrických funkcií. Predpokladajme, že uhlové frekvencie a sa len málo líšia. Potom rozdiel je veľ- mi malý v porovnaní so súčtom . To znamená, že na kmitavý pohyb (26) sa môžeme pozerať ako na harmonický pohyb s počiatočnou fázou a frekven- ciou a amplitúdou , ktoré sú dané vzťahmi

37. Ako teda vyplýva z poslednej rovnice, am- plitúda výsledného pohybu sa periodicky mení s malou uhlovou frekvenciou Takýto pohyb nazývame rázy a je ukázaný na obrázku. Perióda výsledného kmitania je Keďže perióda absolútnej hodnoty funkcie kosínus je , je perióda zmeny ampli- túdy, t.j. perióda rázov daná výrazom

38. 2. Skladanie kmitov na seba kolmých Nech má HB súčasne konať dva kmitavé pohyby v na seba kolmých priamkach, kto- ré stotožníme so súradnicovými osami x, y, pričom oba pohyby majú rovnaké uhlové frekvencie, t.j. rovnaké periódy. Rovnice vyjadrujúce tieto kmitania teda sú (27) Vyjadrenia (27) sú rovnicami dráhy výsledného pohybu v parametrickom tvare. Rov- nicu dráhy v analytickom tvare dostaneme, keď z týchto rovníc vylúčime čas, a to tým- to postupom: Najskôr rovnice (27) prepíšeme s použitím známych vzorcov platiacich pre gonio- metrické funkcie do tvaru (28) (29) Ďalej vynásobme rovnicu (28) funkciou a rovnicu (29) funkciou a takto vzniknuté rovnice navzájom odčítajme. Dostaneme opäť s použitím vzorcov platiacich pre goniometrické funkcie

39. (30) Teraz vynásobme (28) funkciou a (29) funkciou a takto vzniknuté rovnice od seba opäť odčítajme. Získame tak ďalšiu rovnicu (31) Rovnice (30) a (31) umocníme na druhú a sčítame. Tak dostaneme rovnicu výsledné- ho pohybu vzniknutého skladaním navzájom kolmých kmitov (27) v analytickom tva- re (32) Rovnica (32) je všeobecnou rovnicou elipsy, ktorej vlastnosti, ako vidno, závisia od hodnoty rozdielu počiatočných fáz . Študujme teraz rovnicu (32) pre rôzne hodnoty tohto parametra. a) , t.j.

40. Z poslednej rovnice je evidentné, že HB sa bude pohybovať po priamke prechádza- júcej počiatkom SS so smernicou . Poloha HB na tejto priamke je daná bod- mi, pre ktoré platí (33) HB teda bude konať po tejto priamke harmonické kmity s amplitúdou a tou istou uhlovou frekvenciou, akú majú skladané kmity (27). b) Posledný výraz predstavuje priamky prechádzajúcu počiatkom SS so smernicou . Poloha HB na tejto priamke je opäť daná bodmi (33), t.j. HB koná pozdĺž tejto priamky harmonický pohyb s rovnakou amplitúdou a uhlovou frekven- ciou ako v prípade a). c) alebo (34)

41. Rovnica (34) je rovnica elipsy s hlavnými osami spadajúcimi do smeru súradnico- vých osí x, y. Pre je výsledný pohyb HB po elipse orientovaný v smere chodu hodinových ručičiek. To ukážeme jednoducho. Rovnice (27) v tomto prípade sú (35) Keď do posledných rovníc dosadíme , dostaneme , . V ďalšom okamihu je a , t.j. ide naozaj o pohyb v smere chodu hodinových ručičiek. Pre sa HB pohybuje po elipse v smere proti chodu hodinových ruči- čiek, čo by sme ľahko overili podobne ako v predchádzajúcom prípade. Pri zmene znamienka sa zmení smer pohybu po elipse na opačný. Ak , z rovnice (34) dostaneme Je evidentné, že v tomto prípade sa HB bude pohybovať po kružnici s polomerom rovným amplitúdam skladaných kmitov. Ak opäť uvažujeme najskôr z rovníc (35) dostaneme

42. (36) V tomto prípade sa teda dve navzájom kolmé harmonické kmitania skladajú v rovno- merný pohyb po kružnici s polomerom rovným ich amplitúdam a uhlovou rýchlos- ťou rovnou ich uhlovej frekvencii , pričom orientácia pohybu bude v smere chodu hodinových ručičiek. Z uvedených faktov vyplýva, že pohyb po kružnici o po- lomere A s konštantnou uhlovou rýchlosťou možno rozložiť na dve navzájom kolmé harmonické kmitania dané rovnicami (36). Pre rozdiel počiatočných fáz a rovnosť amplitúd skladaných kmitov dostaneme analogicky z predchádzajúcimi úvahami tiež pohyb po kružnici, len v smere proti chodu hodinových ručičiek. Pre všetky ostatné hodnoty okrem hodnôt , , 0 a sú dráhy výsledného pohybu HB elipsy, ktorých hlavné osi neležia v súradnicových osiach x, y. Na základe uvedeného rozboru môžeme urobiť záver, že pohyb HB po elipse môže- me rozložiť na dve navzájom kolmé harmonické kmitania po priamke, ktorých fázo- vý rozdiel je daný tvarom elipsy a smerom pohybu HB po nej.

43. Ak sa skladajú kmitania s rôznymi uhlovými frekvenciami a amplitúdami, je dráha výsledného pohybu zložitejšia. Avšak v prípade, že frekvencie skladaných kmitov sú v pomere malých celých čísel, výsledný pohyb prebieha po symetrických uzavre- tých krivkách, ktoré nazývame Lissajousove krivky.