GEOMETRIA DESCRITIVA A

1. GEOMETRIA DESCRITIVA A 11.º Ano Métodos Geométricos Auxiliares II Rotações ©antónio de campos, 2009

2. ROTAÇÕES A rotação tem como objectivo permitir obter uma representação mais conviniente de um determinado objecto, para assim poder resolver problemas e situações que a representação inicial não nos permite. A rotação consiste em rodar um objecto em torno de um eixo (ou charneira), para colocar o objecto numa nova e mais favorável posição em relação aos planos de projecção.

3. ELEMENTOS BÁSICOS DAS ROTAÇÕES A – ponto a rodar. e – recta em torno da qual o ponto A roda (eixo de rotação). AA’ – arco de circunferência que corresponde à rotação do ponto A. A’ – posição final do ponto A, após a sua rotação. θ – plano ortogonal a e (eixo de rotação), no qual existe o arco da rotação de A. O – centro do arco da rotação do ponto A. αº - amplitude do arco da rotação do ponto A. e θ A’ O αº A

4. A2 O2 ≡P’2 P2 B’2 B2 A’1 x P’1 B’1 B1 P1 A1 (e1) ≡ O1 Transformação de um Segmento de Recta Oblíquo num Segmento de Recta Vertical via Rotação Pretende-se transformar um segmento de recta oblíquo [AB] num segmento de recta vertical, com o recurso à rotação do segmento. São utilizados um eixo de rotação vertival qualquer (e) e um ponto P, para efectuar a rotação (com o ponto O como centro da rotação de P). Primeiro é necessário transformar o segmento de recta [AB] num segmento de recta frontal, com alterações nos afastamentos, mantendo-se as cotas. Os arcos de rotação estão contidos em planos horizontais (ν para o ponto P, ν1 para o ponto A e ν2 para o ponto B), e o eixo da rotação será uma recta vertical, ortogonal aos planos que contém os arcos de rotação. e2 (fν1) A’2 (fν) (fν2) A recta paralela ao eixo x é uma recta de suporte para localizar A’1 e B’1 para que o segmento de recta fique com os afastamentos iguais, dando origem a um segmento de recta frontal.

5. B’’2 T’2 A2 A’’2 O2 ≡P’2 P2 T2 B’2 B2 T1 A’1 x P’1 T’1 B’1 B1 P1 A1 (e1) ≡ O1 (e’2) ≡ Q2 Q1 A seguir, é necessário rodar o novo segmento de recta frontal [A’B’], até ficar ortogonal ao Plano Horizontal de Projecção, para obter o segmento de recta vertical. As alterações serão agora em relação às cotas, mantendo-se os afastamentos. e2 (fν1) A’2 (fν) (fν2) (hφ) ≡ A’’1 ≡ B’’1 O plano frontal φ contém o arco da rotação do ponto T. e’1

6. Transformação de uma Recta Oblíqua numa Recta de Topo via Rotação

7. Uma recta oblíqua r é paralela ao β1,3, contém o ponto A (2; 4) e a sua projecção frontal faz um ângulo de 60º (a.e.) com o eixo x. Recorrendo ao processo das rotações, transforma a recta r numa recta de topo. (e2) A2 A’2 F’2 A’’2 ≡ r’’2 F2 x F’1 F1 A1 A’1 (e’1) A’’1 r2 e’2 r’2 Primeiro é necessário transformar a recta r numa recta horizontal, com alterações nas cotas, mantendo-se os afastamentos. O ponto F vai permitir a existência de dois pontos para poder definir por completo a recta horizontal r’. A seguir, é necessário rodar a recta horizontal r’, até ficar ortogonal ao Plano Frontal de Projecção, para obter a recta de topo. As alterações serão agora em relação aos afastamentos, mantendo-se as cotas. r’1 r1 e1 r’’1

8. Transformação de uma Recta Oblíqua numa Recta Fronto-horizontal via Rotação

9. Pretende-se transformar uma recta oblíqua numa recta fronto-horizontal. (e’1) ≡ Z1 (e2) ≡ O2 N2 M2 M’2 Z2 N’2 T2 T’1 T1 Q1 x N’1 N1 M1 O1 A seguir, é necessário rodar a projecção horizontal da recta r, até ficar paralela ao eixo x e ao Plano Frontal de Projecção. Para tal, é necessário outro ponto qualquer para além de M’, para que r’ seja definida antes de ser rodada. Primeiro é necessário transformar a recta r numa recta paralela a um dos Planos de Projecção, que neste caso será o o Plano Horizontal de Projecção, com alterações nas cotas, mantendo-se os afastamentos. O ponto M é o ponto a rodar e O o centro da rotação de M. O plano frontal φ contém o arco da rotação do ponto M. e’2 r2 ≡ Q2 Depois, será utilizado um segundo eixo para rodar a r’1, a partir do ponto T. r’2 ≡ (fυ ) ≡ r’’2 ≡ T’2 (hφ’) r’’1 (hφ) ≡ M’1 r’1 r1 O resultado final é a recta r’’, que é a recta r na sua nova posição paralela a ambos os planos de projecção e portanto uma recta fronto-horizontal. e1 O resultado é a projecção frontal r’2 paralela ao eixo x, após a rotação.

10. Uma recta oblíqua r é paralela ao β1,3, contém o ponto A (2; 3) e a sua projecção frontal faz um ângulo de 40º (a.e.) com o eixo x. Recorrendo ao processo das rotações, transforma a recta r numa recta vertical. (e’2) ≡ Q2 A2 A’’2 A’2≡ O2 F2 F’2 F1 F’1 x Q1 A’1 A1 A’’1≡ (r’’1) (e1) ≡ O1 A seguir, é necessário rodar a nova posição da recta r, a recta frontal r’, até ficar ortogonal ao Plano Horizontal de Projecção, para obter o segmento de recta vertical. As alterações serão agora em relação às cotas, mantendo-se os afastamentos. O novo eixo (e’’) será uma recta de topo qualquer, para se rodar A’. Depois de desenhar as projecções da recta r, é necessário transformar a recta r numa recta frontal, com alterações nos afastamentos, mantendo-se as cotas. O eixo da rotação será uma recta vertical qualquer (e). r2 r’2 e2 r’’2 Um outro ponto (F) da recta r é necessário para definir r2. r’1 O resultado final é a recta r’’, que é a recta r na sua nova posição de recta vertical, passando pelo ponto A. r1 e’1

11. Transformação de uma Plano Oblíquo num Plano Horizontal via Rotação

12. Pretende-se determinar a V.G. do triângulo [ABC] , recorrendo a rotações. A’2 ≡ B’2 M’2 M2 O2 M’1 x B’1 M1 A’1 Para determinar a V.G., o plano δ será transformado em plano horizontal. Primeira rotação será determinada por um eixo vertical (e) para rodar o plano transformando as suas rectas horizontais em rectas de topo. As alterações vão ser realizadas ao nível dos afastamentos. e2 fδ f’δ C2 ≡ C’2 A2 B2 C1 ≡ O1 ≡ C’1 ≡ (e1) A1 O ponto M é o ponto do plano δ a rodar. O plano δ rodado é um plano de topo. O traço frontal rodado do plano δ (f’δ)é concorrente com h’δ no eixo x e contém C’2. A seguir se rodão os pontos A, B e C. A’2 e B’2 estão sobre f’δ. hδ B1 h’δ

13. (e’2) ≡ Q2 A’’2 ≡ B’’2 P2 P’2 A’2 ≡ B’2 M’2 M2 O2 Q1 P1 C’’1 C’’2 M’1 x B’’1 B’1 M1 A’’1 A’1 e2 Segunda rotação será determinada por um eixo (e’), recta de topo, com o ponto P utilizado para a rotação, resultando num plano horizontal. fδ f’δ C2 ≡ C’2 A2 (f’’δ) B2 ≡ P’1 No fim a V.G. é conseguida no triângulo [A’’B’’C’’]. C1 ≡ O1 ≡ C’1 ≡ (e1) A1 hδ B1 h’δ e’1

14. Um triângulo oblíquo [ABC] é contido num plano oblíquo α. O plano α é ortogonal ao β1,3 e o seu traço frontal faz um ângulo de 45º (a.e.) com o eixo x.Os vértices do triângulo são A (4; 3), B (2; 2) e C (1; 5). Determina a V.G. Do triângulo, transformando o plano α num plano frontal, por meio de rotações. C’2 P2 C2 P’2 A2 B’2 B2 P’1 P1 O1 C’1 C1 B’1 B1 x A1 Primeiro, há que desenhar o triângulo, pertencente ao plano, via os traços horizontais. f’α fα ≡(e2) ≡ O2 ≡A’2 A seguir Primeiro, há que realizar a primeira rotação determinada por um eixo de topo (e) para rodar o plano transformando as suas rectas frontais em rectas verticais, obtendo um plano vertical. Para economizar traços, o eixo passa pelo ponto A. As alterações vão ser realizadas ao nível das cotas. O ponto P é o ponto do plano α a rodar. ≡A’1 hα e1 h’α

15. B’’2 C’2 P2 C2 Q2 P’2 A2 C’’2 B’2 B2 P’1 P1 O1 C’1 C1 C’’1 A’’1 B’’1 B’1 B1 x A1 (e’1) ≡ Q1 Segunda rotação será determinada por um eixo (e’), vertical, com o ponto A utilizado para a rotação, resultando num plano frontal. As alterações agora serão ao nível dos afastamentos. e’2 f’α fα ≡ A’’2 ≡(e2) ≡ O2 ≡A’2 (h’’α) ≡A’1 hα e1 No fim a V.G. é conseguida no triângulo [A’’B’’C’’]. h’α