GEOMETRIA DESCRITIVA A

GEOMETRIA DESCRITIVA A 10.º Ano Intersecções – Dois Planos II ©antónio de campos, 2010

xz F’2 F1 F2 H’2 H2 x I2 x H1 xy H’1 I1 INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS DE RAMPA Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos de rampa, ρ e σ. A recta comum aos dois planos tem que ser uma recta fronto-horizontal, sendo assim já se conhece a orientação da recta i. Para obter a localização da recta, são necessárias duas rectas complanares auxiliares contidos num plano projectante auxiliar. fα a2 fρ fα b2 fρ fσ α F i2 fσ F’ a ≡ F’1 b i ρ I σ i1 H hρ H’ hρ hα hσ hσ ≡ a1 hα ≡ b1

F2 H’1 I2 H2 F1 x F’2 I1 F’1 H1 Um plano de rampa ρ tem o traço horizontal com 6 cm de afastamento, e o traço frontal com 2 cm de cota. Um plano de rampa σ tem os traços simétricos em relação ao eixo x, e o seu traço frontal tem 4 cm de cota. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. ≡ a2 ≡ b2 fα fσ A recta comum aos dois planos tem que ser uma recta fronto-horizontal, sendo assim já se conhece a orientação da recta i. Para obter a localização da recta, são necessárias duas rectas complanares auxiliares contidos num plano projectante auxiliar. fρ i2 ≡ H’2 i1 hσ b1 a1 hρ hα

F’2 I2 H2 H’2 F1 x F2 H1 I1 H’1 Um plano de rampa α tem os traços coincidentes, e o seu traço horizontal tem 2 cm de afastamento. Um plano de rampa θ tem os seus traços simétricos em relação ao eixo x, e o seu traço frontal tem 4 cm de cota. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. fγ A recta comum aos dois planos tem que ser uma recta fronto-horizontal, sendo assim já se conhece a orientação da recta i. Para obter a localização da recta, são necessárias duas rectas complanares auxiliares contidos num plano projectante auxiliar. fθ b2 a2 i2 ≡ F’1 fα ≡ hα i1 hθ hγ ≡ a1 ≡ b1

F’2 H’2 H2 x F1 F2 I2 H1 I1 H’1 Um plano de rampa ρ tem o traço horizontal com 3 cm de afastamento, e o traço frontal com 6 cm de cota. Um plano de rampa σ tem o traço horizontal com 8 cm de afastamento, e o traço frontal com -4 cm de cota. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. fρ fα a2 A recta comum aos dois planos tem que ser uma recta fronto-horizontal, sendo assim já se conhece a orientação da recta i. Para obter a localização da recta, são necessárias duas rectas complanares auxiliares contidos num plano projectante auxiliar. b2 ≡ F’1 i2 hρ ≡ i1 fσ hα ≡ a1 ≡ b1 hσ

xz I2 F’2 F2 x F’1 F1 x xy I1 INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS OBLÍQUOS COM UM PONTO COMUM SOBRE O EIXO X Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos oblíquos, α e δ, cujos traços são concorrentes entre si num ponto do eixo x, o ponto A. Sendo o traço frontal e horizontal o mesmo ponto, o ponto A, é necessário obter um outro ponto comum aos dois planos para definir a recta i. Um plano horizontal auxiliar ν permite obter as rectas de intersecção do plano νcom os planos α e δ. fα fδ i2 fδ fα α (fν) ≡ a2≡ b2 F’ F (fν) b i a A1 ≡ A2 I A i1 hα hα a1 b1 hδ hδ

I2 x F2 F’2 M1 ≡ M2 F’1 F1 I1 Um plano oblíquo α corta o eixo x num ponto M. O traço horizontal do plano α faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x, e o traço frontal do plano α faz um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. Um plano oblíquo θ corta também o eixo x no ponto M. O traço horizontal do plano θ faz um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x, e o traço frontal do plano θ faz um ângulo de 30º (a.d.) com o eixo x. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. fα Sendo o traço frontal e horizontal o mesmo ponto, o ponto M, é necessário obter um outro ponto comum aos dois planos para definir a recta i. Um plano horizontal auxiliar ν permite obter as rectas de intersecção do plano νcom os planos α e θ. i2 fθ ≡ a2≡ b2 (fν) i1 hα a1 b1 hθ

x I2 T1 ≡ T2 H’2 H2 I1 H1 H’1 Um plano oblíquo γ corta o eixo x num ponto T, e os traços do plano são simétricos em relação ao eixo x. O traço horizontal do plano γ faz um ângulo de 60º (a.e.) com o eixo x. Um plano oblíquo δ corta também o eixo x no ponto T, e os seus traços são coincidentes. O traço horizontal do plano δ faz um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. fγ a2 Sendo o traço frontal e horizontal o mesmo ponto, o ponto T, é necessário obter um outro ponto comum aos dois planos para definir a recta i. Um plano frontal auxiliar φ permite obter as rectas de intersecção do plano φ com os planos γ e δ. i2 b2 fδ ≡ hδ ≡ a1≡ b1 (hφ) hγ i1

I2 F’2 F2 x T1 ≡ T2 F1 F’1 I1 Um plano oblíquo γ corta o eixo x num ponto T, e os traços do plano são simétricos em relação ao eixo x. O traço horizontal do plano γ faz um ângulo de 60º (a.e.) com o eixo x. Um plano oblíquo δ corta também o eixo x no ponto T, e os seus traços são coincidentes. O traço horizontal do plano δ faz um ângulo de 30º (a.e.) com o eixo x. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. fγ Sendo o traço frontal e horizontal o mesmo ponto, o ponto T, é necessário obter um outro ponto comum aos dois planos para definir a recta i. Um plano horizontal auxiliar ν permite obter as rectas de intersecção do plano νcom os planos γ e δ. i2 fδ ≡ hδ ≡ a2≡ b2 (fν) hγ a1 b1 i1

xz I2 P2 x A1≡ A 2 I1 x P1 xy INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano vertical α, concorrentes num ponto A. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P. A recta comum aos dois planos tem a sua projecção horizontal coincidente com o traço horizontal do plano vertical α (projectante horizontal). fα i2 α r2 fα ρ i r I P ≡ fρ ≡ hρ A r1 Através de uma recta auxiliar fronto-horizontal r, que pertence ao plano ρ, obtem-se o ponto de intersecção com a recta i, o ponto I. Como o ponto A pertence aos dois planos, a recta de intersecção está definida pelos pontos A e I. ≡ fρ ≡ hρ hα hα ≡ i1

P2 I2 x A1≡ A 2 I1 P1 É dado um plano horizontal υ com 2 cm de cota. Um plano passante ρ está definido pelo eixo x e o ponto P (4; 3). Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. A recta comum aos dois planos tem a sua projecção frontal coincidente com o traço frontal do plano horizontal ν(projectante frontal). r2 (fν) ≡ i2 Através de uma recta auxiliar passante r, que pertence ao plano ρ (definida pelos pontos P e de intersecção com o eixo x), obtem-se o ponto de intersecção com a recta i, o ponto I. A recta de intersecção passa pelo ponto A e só pode ser fronto-horizontal, pois o único tipo de rectas comum a planos passante e horizontal. ≡ fρ ≡ hρ i1 r1

xz P2 x A1≡ A 2 P1 x xy INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO PROJECTANTE COM PONTO COMUM Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano vertical α, concorrentes num ponto A. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P. O ponto P está contido no plano α. Nesta situação, a determinação da recta comum aos dois planos, a recta de intersecção, é imediata, pois o ponto P é um ponto comum aos dois planos. fα i2 α fα ρ i P A ≡fρ ≡ hρ ≡ fρ ≡ hρ hα hα ≡ i1

P2 x P1 Um plano de topo θ contém o ponto P (4; 3) e faz um diedro de 45º (a.d.) com o Plano Horizontal de Projecção. Um plano passante ρ está definido pelo eixo x e o ponto P. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. fθ ≡ i2 Nesta situação, a determinação da recta comum aos dois planos, a recta de intersecção, é imediata, pois o ponto P é um ponto comum aos dois planos. ≡ fρ ≡ hρ hθ i1

xz P2 I2 x P1 H2 x I1 H1 xy INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO NÃO PROJECTANTE Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano oblíquo α, concorrentes num ponto A. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P. É necessário utilizar um plano auxiliar frontal φ passando pelo ponto P, para determinar as rectas de intersecção entre os planos. A recta de intersecção entre o plano φ e o plano ρ é uma recta fronto-horizontal. A recta de intersecção entre o plano φ e o plano α é uma recta frontal. φ fα i2 b2 ρ b fα i a2 α P I a A1≡ A 2 A ≡fρ ≡ hρ ≡ fρ ≡ hρ H (hφ) ≡ a1 ≡ b1 hα i1 A intersecção das rectas a e b vão definir o ponto I, que juntamente com o outro ponto comum aos dois planos ρ e α,permitem a definição da recta de intersecção i. hα

y≡ z F2 I2 P2 x F1 T1≡ T 2 I1 P1 Um plano passante ρ está definido pelo eixo x e o ponto P (-2; 2; 5). Um plano oblíquo α corta o eixo x num ponto T com 4 cm de abcissa. O traço horizontal do plano α faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. O traço frontal do plano α faz um ângulo de 60º (a.d.) com o eixo x. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. i2 È necessário utilizar um plano auxiliar horizontal νpassando pelo ponto P, para determinar as rectas de intersecção entre os planos. A recta de intersecção entre o plano νe o plano ρ é uma recta frontal. A recta de intersecção entre o plano νe o plano α é uma recta fronto-horizontal. fα (fν) ≡ a2 ≡ b2 ≡ fρ ≡ hρ A intersecção das rectas a e b vão definir o ponto I, que juntamente com o outro ponto comum aos dois planos ρ e α,permitem a definição da recta de intersecção i. b1 i1 a1 hα

xz F2 x I2 F1 H2 x I1 xy H1 INTERSECÇÃO ENTRE UM PLANO PASSANTE E UM PLANO DE RAMPA Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre um plano passante ρ e um plano de rampa σ. O plano ρ está definido pelo eixo x e o ponto P. É necessário utilizar um plano auxiliar vertical α passando pelo ponto P, para determinar as rectas de intersecção entre os planos. A recta de intersecção i entre o plano ρ e o plano σ é uma recta fronto-horizontal. A intersecção das rectas a e b vão definir o ponto I, que permite a definição da recta de intersecção i. fα fα fσ σ fσ α F a2 b2 b P2 i2 i ≡ fρ ≡ hρ ρ a I P ≡ fρ ≡ hρ i1 hσ H hσ hα P1 hα ≡ a1 ≡ b1

y≡ z P2 F2 I2 x H2 F1 I1 P1 H1 Um plano passante ρ está definido pelo eixo x e o ponto P (-2; 2; 5). Um plano de rampa σ tem o traço horizontal com 3 cm de afastamento, e o traço frontal com 4 cm de cota. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. fα ≡ a2 ≡ b2 É necessário utilizar um plano auxiliar de topo α passando pelo ponto P, para determinar as rectas de intersecção entre os planos. A recta de intersecção i entre o plano ρ e o plano σ é uma recta fronto-horizontal, A intersecção das rectas a e b vão definir o ponto I, que permite a definição da recta de intersecção i. fσ i2 ≡ fρ ≡ hρ i1 a1 b1 hσ hα

B2 R2 S2 I2 A2 P2 A’2 R’2 I’2 x I’1 R’1 P1 I1 A1 R1 A’1 B1 S1 INTERSECÇÃO ENTRE PLANOS NÃO DEFINIDOS PELOS SEUS TRAÇOS Pretendem-se as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre dois planos α e δ. O plano α está definido pelas rectas paralelas a e b. O plano δ está definido pelas rectas concorrentes r e s, concorrentes no ponto P. i2 É necessário utilizar um plano auxiliar horizontal νe determinar as rectas de intersecção entre os planos. A intersecção das rectas m e n vão definir o ponto I. A recta m é a recta de intersecção entre o plano ν e o plano α. A recta n é a recta de intersecção entre o plano ν e o plano δ. Para a definição da recta de intersecção i, será necessário um outro ponto I’, obtido utilizando outro plano auxiliar horizontal ν1e outras rectas de intersecção de planos. A recta m’ é a recta de intersecção entre o plano ν1 e o plano α. A recta n’ é a recta de intersecção entre o plano ν1 e o plano δ. a2 r2 s2 b2 ≡ m2 ≡ n2 (fν) ≡ m’2 ≡ n’2 (fν1) n’1 b1 m’1 i1 n1 a1 r1 s1 m1

y≡ z I’2 M2 A2 I2 N2 B2 x H2 H’2 H’1 M1 I’1 N1 A1 H1 B1 I1 Um plano α está definido pelos seus traços simétricos em relação ao eixo x e concorrentes com o eixo x num ponto com 3 cm de abcissa. O traço frontal do plano α faz um ângulo de 45º (a.d.) com o eixo x. Um plano δ está definido por duas rectas horizontais paralelas h e h’. A recta h contém o ponto A (-2; 3; 3) e faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção. A recta h’ contém o ponto B (-4; 3; 1). Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. d2 c2 i2 a2 b2 É necessário utilizar um plano auxiliar frontal φ e determinar as rectas de intersecção entre os planos, passando pelos pontos A e B. A intersecção das rectas a e b vão definir o ponto I. A recta a é a recta de intersecção entre o plano φ e o plano α. A recta b é a recta de intersecção entre o plano φ e o plano δ. Para a definição da recta de intersecção i, será necessário um outro ponto I’, obtido utilizando outro plano auxiliar frontal φ1e outras rectas de intersecção de planos. A recta c é a recta de intersecção entre o plano φ1 e o plano α. A recta d é a recta de intersecção entre o plano φ1 e o plano δ. fα h2 h’2 (hφ1) ≡ c1 ≡ d1 (hφ) ≡ a1 ≡ b1 h1 h’1 i1 hα

y≡ z B2 D2 M2 A2 N2 I2 I’2 C2 x E2 B1 M1 A1 D1 E1 N1 C1 I1 I’1 Um plano θ está definido por duas rectas oblíquas paralelas, r e s. A recta r contém os pontos A (4; 2; 2) e B (2; 1; 4). A recta s contém o ponto C (3; 4; 1). Um plano γ está definido por duas rectas, h e f, concorrentes no ponto D (-4; 2; 3). A recta h é horizontal e faz um ângulo de 40º (a.e.) com o Plano Frontal de Projecção. A recta f é frontal e faz um ângulo de 45º (a.e.) com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções da recta de intersecção i, recta de intersecção entre os dois planos. É necessário utilizar um plano auxiliar horizontal νe determinar as rectas de intersecção entre os planos. A intersecção das rectas n e h vão definir o ponto I. A recta n é a recta de intersecção entre o plano υ e o plano θ. A recta h é a recta de intersecção entre o plano ν e o plano γ. Para a definição da recta de intersecção i, será necessário um outro ponto I’, obtido utilizando outro plano auxiliar horizontal ν1e outras rectas de intersecção de planos. A recta a é a recta de intersecção entre o plano ν1 e o plano θ. A recta b é a recta de intersecção entre o plano ν1 e o plano γ. r2 f2 i2 h2 ≡ n2 ≡ (fν) s2 (fν1) ≡ a2 ≡ b2 f1 r1 b1 n1 i1 s1 a1 h1

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