la relatività generale

1. la relatività generale per molti la più “bella” ed “elegante” teoria fisica mai prodotta dall’uomo e fra le massime “vette” in assoluto della “creatività” umana

2. Principio di equivalenza • La teoria della relatività ristretta si occupa dei sistemi di riferimento inerziali (SDRI) e di come in essi si propagano le radiazioni elettromagnetiche (d’ora in poi diremo semplicemente la luce) • La teoria della relatività generale si occupa dei sistemi di riferimento non inerziali (SDRNI) (accelerati, ruotanti ecc.) ed in particolare della forza di gravità • La forza di gravità ha la peculiarità che corpi di massa diversa (in assenza di attrito) cadono con la stessa accelerazione (g = 9,8 m/s² circa sulla superficie terrestre) • D’altra parte, rispetto ad un SDRNI, i corpi hanno una accelerazione indipendente dalla loro massa dovuta al moto accelerato del sistema di riferimento stesso rispetto ad un SDRI (per esempio una giostra ed il seguente caso) • Immaginiamo una astronave sufficientemente lontana da ogni corpo celeste che viaggi per inerzia a razzi spenti (moto rettilineo uniforme rispetto alle stelle fisse). Tale astronave è con ottima approssimazione un SDRI. Immaginiamo che in un certo istante vengano accesi i razzi in modo che la navicella presenti una accelerazione costante pari a g = 9,8 m/s² rispetto alle stelle fisse. Cosa sperimenteranno gli astronauti all’interno della navicella ? Essi vedranno “cadere” i corpi, che prima fluttuavano liberamente, tutti in una stessa direzione con accelerazione uguale a g. Gli astronauti non potranno in nessun modo rilevare una differenza rispetto a ciò che accade sulla superficie terrestre • Il principio di equivalenza afferma appunto che un campo gravitazionale è equivalente ad un SDRNI

3. Spazio-tempo curvo • Un campo gravitazionale è quindi descrivibile da un SDRNI costituito da quattro coordinate (x,y,z,t), le prime tre spaziali, la quarta temporale • Un campo gravitazionale è quindi equivalente ad uno spazio-tempo quadridimensionale che può essere euclideo (piatto) o non euclideo (curvo) • Lo spazio euclideo è quello in cui valgono per esempio il teorema di Pitagora, il teorema che afferma che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° , il teorema che afferma che il rapporto fra circonferenza e diametro vale ¶ ecc. • Uno spazio non euclideo è quello in cui non valgono (anche uno solo !) i teoremi della geometria euclidea • Un esempio di spazio non euclideo a due dimensioni è la superficie della sfera. In essa, per esempio, la somma degli angoli interni di un triangolo può essere 270° ! • Si dice che, in generale, un campo gravitazionale incurva lo spazio-tempo • Per capire il perché la gravitazione incurva lo spazio-tempo consideriamo un sistema di riferimento K “fisso” ed una circonferenza solidale con esso. Consideriamo anche un sistema K’ ruotante (che è equivalente ad un campo gravitazionale). Rispetto a K’ un segmento di circonferenza l viene visto più corto a causa della contrazione di Lorentz. Per questo motivo il rapporto fra circonferenza e diametro, per K’, non vale più ¶ per cui, per K’, non vale più la geometria euclidea (quindi lo spazio, per il SDRNI K’, è curvo) • La fisica dei campi gravitazionali si riduce allora ad un “problema di geometria” in generale non euclidea (questo fatto è di fondamentale importanza e distingue la gravità dalle altre interazioni fondamentali : la elettromagnetica e la nucleare debole e forte) • La matematica che descrive le proprietà degli spazi curvi è il cosiddetto calcolo tensoriale. Esso è dovuto principalmente ai grandi matematici Gauss (1777 - 1855), Riemann (1826 - 1866), Ricci-Curbastro (romagnolo di Lugo, 1853 - 1925), Levi-Civita (1873 – 1941) (Einstein deve a questi ultimi due matematici alcune definizioni e teoremi senza i quali la teoria della relatività generale non avrebbe potuto essere scritta)

4. Principio di relatività generale • Il principio di relatività ristretta afferma che le leggi della fisica (includendo il campo elettromagnetico ma escludendo il campo gravitazionale) sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali (SDRI) • Il principio di relatività generale afferma che le leggi della fisica (includendo il campo elettromagnetico ed il campo gravitazionale) sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento, anche non inerziali (SDRNI) (Einstein, 1916) • In questo modo, le “descrizioni del mondo” fatte rispetto a sistemi di riferimento qualunque, non necessariamente inerziali, sono del tutto equivalenti • Rimangono escluse le forze nucleari scoperte successivamente al 1916 per cui oggi si sta tentando una unificazione della visione della natura che conglobi e spieghi tutte le forze conosciute (forza gravitazionale, forza elettromagnetica, forza nucleare). Tale ipotesi di unificazione, che avviò lo stesso Einstein, è tentata oggi sulla base della teoria delle stringhe

5. Equazione gravitazionale di Einstein • Le masse creano un campo gravitazionale che incurva lo spazio-tempo • I corpi che si muovono in un tale spazio-tempo incurvato seguono traiettorie che sono linee geodetiche ovvero linee di minima distanza (vedi pag. seguente) • Il legame matematico fra le masse generatrici del campo gravitazionale e la curvatura dello spazio-tempo è data dall’equazione di Einstein. Esprimiamola in forma sintetica e concettuale (in realtà si tratta di una equazione molto complessa) : curvatura dello spazio-tempo = distribuzione della masse • Si tratta di una equazione in grado di descrivere in modo completo un sistemadi masse in interazione gravitazionale : le masse si muovono seguendo linee geodetiche in uno spazio-tempo la cui curvatura è definita dalle masse stesse in movimento

6. Esempi di geodetiche su spazi bidimensionali curvi Il concetto di geodetica è la generalizzazione negli spazi curvi del concetto di retta dello spazio euclideo

7. Conseguenze della teoria della relatività generale • La teoria della relatività generale prevede che lo spazio-tempo non sia in generale euclideo (piatto) ma sia curvo. Ciò comporta delle conseguenzenon prevedibili né descrivibili nell’ambito della meccanica classica. Queste conseguenze” aprono” nuovi ed affascinanti capitoli nella fisica moderna. Le principali conseguenze della non “piattezza” dello spazio-tempo sono : spostamento del perielio di Mercurio deviazione dei raggi di luce da parte delle masse red-shift (spostamento verso i rosso) gravitazionale buchi neri onde gravitazionali ipotesi cosmologiche

8. Spostamento del perielio di Mercurio • Il perielio di Mercurio (punto dell’orbita più vicina al Sole) si sposta molto lentamente in modo che l’orbita del pianeta non sia una ellisse chiusa. Questo fenomeno era noto già da molto tempo prima di Einstein e non è spiegabile nell’ambito della meccanica classica. D’altra parte non vi sono pianeti o altri corpi celesti che “disturbano” l’orbita di Mercurio, né altre cause tipo la non perfetta sfericità del Sole • Il fenomeno si spiega considerando che lo spazio nelle vicinanze del Sole (in cui si trova ad orbitare Mercurio) è sufficientemente incurvato (secondo la relatività generale) da disturbare esso stesso l’orbita di Mercurio • I calcoli teorici dell’incurvamento tramite l’equazione gravitazionale di Einstein confermano i dati sperimentali

9. Deviazione dei raggi di luce da parte delle masse • Un campo gravitazionale produce un incurvamento dello spazio tale per cui la luce non segue più un cammino rettilineo • Per questo motivo, durante una eclissi totale di sole, le stelle in prossimità prospettica con la superficie del Sole, vengono viste in posizioni apparenti diverse da quelle in assenza del Sole • Poco dopo la pubblicazione della teoria della relatività generale il fenomeno fu verificato sperimentalmente corrispondere alla previsione teorica • A livello astronomico più ampio, sono state scoperte recentemente delle vere e proprie lenti gravitazionali costituite da intere galassie

10. Red-shift gravitazionale • Un orologio posto in un campo gravitazionale intenso, siccome lo spazi-tempo ne è fortemente incurvato, viene visto rallentare rispetto ad un orologio posto lontano dal campo. Il tempo in un campo gravitazionale scorre (rispetto ad un punto lontano) tanto più lentamente quanto è maggiore è l’intensità del campo. • La luce proveniente da una stella massiccia (che genera un forte campo gravitazionale) sarà vista con frequenza minore, quindi più rossa • Questo fenomeno si chiama red-shift (spostamento verso il rosso) gravitazionale (da non confondersi con il red-shift cosmologico (vedi più avanti))

11. Buchi neri • Una stella, quando le reazioni nucleari che la tengono in equilibrio si esauriscono, inizia un processo di collasso gravitazionale • Se la massa della stella è sufficientemente grande si produce un buco nero • Un buco nero possiede una concentrazione di massa tale da incurvare lo spazio attorno a sé in modo che la luce (come ogni altro corpo) non ne può più uscire • Un buco nero, quindi, è in grado di assorbire massa ed energia dall’esterno ma non è più in grado di emetterne (si suppone avvenga in effetti una lenta “evaporazione” a causa di effetti quantistici) • Un buco nero è circondato da una superficie immaginaria, detta orizzonte degli eventi. Se qualcosa (massa o energia) entra all’interno di tale superficie non ne può più uscire

12. Onde gravitazionali • Se una grande quantità di materia subisce una rapida accelerazione (per esempio in un collasso gravitazionale di una stella) la curvatura dello spazio-tempo subisce una “increspatura”, vengono cioè generate onde gravitazionali • Tali onde furono previste teoricamente da Einstein ed hanno la caratteristica di viaggiare alla velocità della luce c ed essere onde trasversali (come la luce) • Le onde gravitazionali, data la loro estrema debolezza, non sono state ancora verificate sperimentalmente nonostante i diversi esperimenti in atto. Quando saranno verificate, esse apriranno una nuova proficua “finestra” per studiare il cosmo

13. Cosmologia • L’equazionegravitazionaledi Einstein permette di descrivere l’universo nel suo insieme • Con la teoria della relatività generale la cosmologia diventa una scienza dagli incredibili ed enormi sviluppi • Ponendo alcune condizioni aprioristiche derivanti da considerazioni generali sulla struttura dell’universo, l’equazione gravitazionale di Einstein fornisce diverse soluzioni corrispondenti a diversi modelli di universo • Essenzialmente si hanno due classi di modelli : i modelli stazionari ed i modellinon stazionari (evolutivi) • I modelli stazionari possono essere (paradossalmente) non espansivi o espansivi • La condizione principale che di solito si pone alla struttura su larga scala dell’universo è che lo spazio sia omogeneo ed isotropo, ovvero che l’universo sia mediamente lo stesso (in termini di densità) in ogni suo punto. Questa ipotesi è accettata in generale da tutti i modelli • Per quanto riguarda l’omogeneitàed isotropia del tempo, le cose sono più complicate. Ammettendo questa ipotesi, si presuppone che l’universo sia sempre lo stesso nel passato e nel futuro. In generale i modelli stazionari la ammettono, gli altri (ovviamente) no • L’accettabilità fisica di un modello cosmologico teorico dipende se il modello è in accordo con le osservazioni astronomiche che via via vengono fatte • Le osservazioni mostrano i seguenti fondamentalifenomeni di rilevanza cosmologica : red-shift cosmologico delle galassie (rilevato da Hubble negli anni ‘20, interpretabile immaginando che l’universo sia in espansione per cui le galassie sembrano allontanarsi producendo effetto Doppler (lo stesso fenomeno per cui il fischio del treno viene udito più basso in frequenza quando il treno si allontana)) radiazione fossiledi fondo (rilevato da Penzias e Wilson negli anni ‘60, spiegabile immaginando che questa radiazione nelle microonde (circa 4 K di temperatura) sia la luce rimasta dell’ipotetica esplosione (il big bang) che ha dato “origine” all’universo)

14. Modelli cosmologici stazionari non espansivi • Spazioomogeneo ed isotropo • Tempoomogeneo ed isotropo • Curvaturadello spaziocostante e positiva • Nel caso esemplificativo bidimensionale un tale modello corrisponde ad una sfera • Il modello risulta instabile, una piccola disomogeneità locale può innescare una contrazione od una espansione • Se si aggiunge al secondo membro dell’equazione gravitazionale di Einstein la cosiddetta costantecosmologica , sono possibili modelli stazionari non espansivi stabili • Il modello (proposto inizialmente dallo stesso Einstein) non spiega il red-shift cosmologico né la radiazione fossile

15. Modelli cosmologici stazionari espansivi • Modello stazionario nella densità di materia ma in espansione nel tempo con creazione spontanea e continua di un atomo di idrogeno ogni 10.000.000.000 m³ ogni anno • Il modello risulta omogeneo nello spazio e nel tempo ed allo stesso tempo risulta espansivo. La creazione spontanea di atomi di idrogeno mantiene costante la densità della materia • Il modello spiega il red shift cosmologico ma non la radiazione fossile • Il modello presenta il problema “filosofico” di ammettere la “creazione continua” (nulla si crea, nulla si distrugge, ma tutto si trasforma …)

16. Modelli cosmologici non stazionari • Spazio omogeneo ed isotropo • Tempo non omogeneo e non isotropo • Ipotesi del big bang (circa 15 miliardi di anni fa tutto l’universo era concentrato in una regione di spazio teoricamente puntiforme, detta singolarità). Dal big bang trae origine, espandendosi, l’universo come lo conosciamo oggi • Si hanno modelli chiusi, aperti, piatti e con espansione a velocità crescente • L’ipotesi del big bang è coerente con il red-shift cosmologico e con l’esistenza della radiazione fossile • Il problema fondamentale dell’ipotesi del big bang è l’evoluzionefutura dell’universo (se continuerà ad espandersi ed in che modo oppure inizierà a contrarsi)

17. Modello cosmologico non stazionario chiuso In un certo istante • Curvatura costante positiva • Modello bidimensionale : superficie sferica • Densità maggiore della massa critica • Espansione + contrazione (big bang + big crunch) anche in sequenza

18. Modello cosmologico non stazionario aperto In un certo istante • Curvatura costante negativa • Modello bidimensionale : sella • Densità minore della massa critica • Velocità di espansione decrescente tendente ad un valore positivo

19. Modello cosmologico non stazionario piatto • Curvatura costante nulla • Modello bidimensionale : piano • Densità uguale alla massa critica • Velocità di espansione decrescente tendente a 0 • Geometria euclidea

20. Modello cosmologico non stazionario a velocità crescente • Le ultime recenti osservazioni indicherebbero che l’universo sarebbe costituito al 95 % di materia oscura (in piccola misura)e di energia oscura (in misura molto maggiore). Il rimanente 5 % formerebbe l’universo usuale che vediamo e misuriamo con i nostri strumenti (perché emette radiazione elettromagnetica) • Sarebbe inoltre in atto una espansione accelerata (big rip) dell’universo in antitesi col carattere attrattivo della forza gravitazionale • L’espansione accelerata sarebbe causata dall’energiaoscura ed è descrivibilematematicamente con l’aggiuntaall’equazione gravitazionale di Einstein della costante cosmologica • L’energiaoscura potrebbe essere spiegabile fisicamente mettendola in relazione con l’esistenza della ZPE (zero point energy, energia quantistica di punto zero), energia intrinseca del vuoto che riempirebbeil cosmo)