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ALGUMAS MEDIDAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS.
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ALGUMAS MEDIDAS ASSOCIADAS A VARIÁVEIS QUANTITATIVAS No item anterior vimos uma forma de organizar e representar uma massa de dados. No entanto, muitas vezes deseja-se resumir ainda mais os dados, apresentando um ou mais valores da série toda. Estas medidas podem ser divididas em: medidas deposição e de dispersão.
MÉDIA MEDIANA MODA QUARTIS, DESCIS, PERCENTIS. VARIÂNCIA DESVIO PADRÃO COEFICIENTE DE VARIAÇÃO MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE DISPERSÃO
MEDIDAS DE POSIÇÃO MÉDIA ARITMÉTRICA –Dados Não Agrupados A média aritmética, conceito familiar ao leitor, é a soma das observações dividida pelo número delas. A média aritmética é representada através de dois símbolos: para população e Y para a amostra. É importante esta distinção pois a média da população () possui valor fixo, não sujeito à variação, enquanto que a média da amostra (Y) é uma variável dependente de quantas diferentes amostras foram retiradas da população. Cada amostragem tende a ter diferentes valores de média. A média tem a mesma unidade dos dados avaliados. Medidas como a média, mediana e moda são denominadas parâmetros quando estas caracterizam populações e estatísticas no caso de amostras.
MEDIDAS DE POSIÇÃO MÉDIA ARITMÉTRICA –Dados Agrupados Quando os dados estiverem agrupados numa distribuição de freqüência usa-se a média aritmética dos valores ponderados pelas respectivas freqüências absolutas. Onde: Χi é o centro da classe n número total de dados
MEDIDAS DE POSIÇÃO MÉDIA GERAL Sejam 1, 2, 3, as médias aritméticas de k séries de dados e n1, n2, n3 os números de termos das k series, respectivamente. A média aritmética da série será:
MÉDIA GEOMÉTRICA Usada principalmente para variáveis que crescem em progressão geométrica como por exemplo, o número de bactérias em um colônia. Sejam x1, x2, x3, valores de Xi, associados às freqüências absolutas F1, F2, F3, respectivamente. A Média Geométrica (Mg) é definida por:
MÉDIA HARMÔNICA Sejam x1, x2, x3, valores de Xi, associados às freqüências absolutas F1, F2, F3, respectivamente. A média harmônica (Mh) será: Mh =
MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIANA Uma alternativa como medida de tendência central é a mediana. A mediana é a realização que ocupa a posição central da série de observações quando estas estão ordenadas segundo suas grandezas (crescente ou decrescente). Geometricamente, a mediana é o valor de X (abscissa) correspondente à vertical que divide o histograma em duas partes de áreas iguais. É mais usada quando os dados apresentam distribuição assimétrica
MEDIANA A mediana é denominada resistente de posição de uma distribuição. Para ilustrar esta resistência, observemos os dados a seguir: 5, 7, 8, 10, 12, 15 Dos quais obtemos média 9,5 e mediana 9,0. Suponha, agora, que modifiquemos o valor 15, que passa a ser 150. Obtemos, então, média 32 enquanto a mediana não se altera.
Mediana para variáveis discretas Assim, se as cinco observações de uma variável discreta forem 3, 4, 7, 8 e 8, a mediana é o valor 7, correspondente à terceira observação. Quando o número de observações é par, usa-se como mediana a média aritmética das duas observações centrais. Assim, se as observações de uma variável são 3, 4, 7, 8, 8 e 9, a mediana é: Md= 7,5
Xi Fi Fac 1 1 1 2 3 4 3 5 9 4 2 11 11 - Mediana variável discreta Exemplo somatório de dados impar N=11, logo: a mediana será o valor 11+1/2 = 6 elemento. Contêm o sexto elemento Valor 3
Xi Fi Fac 82 5 5 85 10 15 87 15 30 89 8 38 90 4 42 42 - Mediana variável discreta • Exemplo somatório de dados par N=42, logo: a mediana será o valor entre 42/2 e (42/2)+1 = valor médio entre as ocorrências 21 e 22 Contem os elementos 21 e 22 Valor médio é 87
Mediana variável contínua • 1 passo – calcula-se a ordem n/2 (independe se n é par ou impar); • 2 passo- Pela freqüência acumulada identifica-se a classe que contém a mediana (classe Md); • 3 passo – utiliza-se a fórmula Mediana = Onde: - limite inferior da classe da mediana; n - tamanho da amostra; - soma das freqüências; h – amplitude da classe da mediana; - freqüência da classe mediana
Classe Fi Fac 35-45 5 5 45-55 12 17 55-65 18 35 65-75 14 49 75-85 6 55 85-95 3 58 58 - Mediana variável contínua Passo 1 – 58/2 = 29 Passo 2 – Identifica-se a classe da Mediana ( 55-65) Passo 3 – aplicação da formula Classe do 29 elemento Mediana =
QUARTIS, DESCIS E PERCENTIS Quartis, descis e percentis são uma extensão do conceito de mediana. • QUARTIS: são os valores que dividem o conjunto em quatro partes iguais. Estes valores, representados por Q1, Q2 e Q3 denominam-se primeiro, segundo e terceiro quartis, respectivamente, sendo o valor Q2 igual a mediana. • DESCIS: são os valores que dividem os dados em dez partes iguais e são representados por D1, D2,.......D9. O quinto decil equivale à mediana. • PERCENTIS: são os valores que dividem os dados em 100 partes iguais e são representados por P1, P2, ......P99. O qüinquagésimo percentil corresponde à mediana.
MODA A Moda é definida como a realização mais freqüente do conjunto de valores observados, isto é, o valor mais comum. A moda pode não existir, e mesmo que exista, pode não ser única (bimodal, trimodal, multimodal), de acordo com os exemplos a seguir: 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18 moda 9 3, 5, 8, 10, 12, 15, 16 Não tem moda 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 7, 7, 9 Tem duas modas, 4 e 7 (bimodal)
Cálculo da moda para dados agrupados • Passo 1: Identifica-se a classe modal (aquela que possuir maior freqüência) • Passo 2: Aplica-se a fórmula Moda = Onde: - Limite inferior da classe modal; - diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente anterior; - diferença entre a freqüência da classe modal e a imediatamente posterior; h – amplitude da classe
Cálculo da moda (dados agrupados) Passo 1: identificação da classe modal. No caso, trata-se da classe (2-3). Passo 2: aplicação da formula. Moda =
33 35 35 39 41 41 42 45 47 48 50 52 53 54 55 55 57 59 60 60 61 64 65 65 65 66 66 66 67 68 69 71 73 73 74 74 76 77 77 78 80 81 84 85 85 88 89 91 94 97 EXERCÍCIOS De acordo com os dados da tabela, pede-se: Média Mediana Moda
