LIMIT

1. FITRI UTAMININGRUM, ST, MT LIMIT PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS BRAWIJAYA 2010

2. DAFTAR SLIDE DEFINISI LIMIT TEOREMA LIMIT LIMIT FUNGSI LIMIT TAK HINGGA 2

3. TUJUAN Apakah Tujuan Pertemuan ini ? • Mahasiswa diharapkan mampu : • Memahami definisi limit • Mengetahui teorema-teorema limit • Menyelesaikan contoh-contoh soal yang diberikan 3

4. DEFINISI LIMIT • Perhatikan fungsi di bawah ini : • Misalkan fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = x+2. Jika x mendekati 1 maka nilai-nilai f(x) dapat dilihat pada tabel berikut : • Dari tabel di atas terlihat bahwa jika x mendekati 1, tetapi x kurang dari 1, maka nilai f(x) mendekati 3. demikian juga apabila x mendekati 1, tetapi x lebih besar dari 1, maka f(x) juga mendekati 3. 4

5. DEFINISI LIMIT • Jika nilai-nilai x dan f(x) pada tabel di atas digambarkan sebagai titik pada sistem koordinat kemudian dihubungkan, maka akan diperoleh gambar di bawah ini : 5

6. DEFINISI LIMIT Misalkanterdapat suatu fungsi y=f(x)dimanaadanLmerupakan bilanganriilsedemikianhingga: • Bilaxdekatdenga n atetapitidaksama dengan a(xa),f(x)dekatkeL • Bilaxmendekatiatetapixa, makaf(x)akan mendekatiL • Misalkanf(x)dapatdibuatsedekatmungkinkeL denganmembuatxcukupdekat denganatetapi tidak sama dengana (xa) • Makadapatdikatakan bahwa limit f(x) apabila x mendekati a adalah L 6

7. DEFINISI LIMIT • Pengertian limit secara intuisi : • Berarti bahwa bilamana x dekat tetapi berlainan dari c maka f(x) dekat ke L. 7

8. LIMIT – LIMIT SEPIHAK • Limit kiri (limit f(x) bila x menuju a dari kiri) Limit kanan (limit f(x) bila x menuju a dari kanan) jika dan hanya jika 8

9. LIMIT-LIMIT SEPIHAK • Contoh : • f(x) = x + 2 9

10. LIMIT-LIMIT SEPIHAK • Contoh : • Diketahui f(x) = 10

11. TEOREMA 1 • Contoh : 11

12. TEOREMA 2 Jika f suatufungsipolinomataufungsirasional, maka asalkandalamkasusrasionalnilaipenyebutnyatidaknoldic. Contoh :c 12

13. TEOREMA 3 13

14. CONTOH SOAL • Gunakan teorema 2 untuk menyelesaikan persoalan berikut : 14

15. CONTOH SOAL 15

16. LATIHAN SOAL • Gunakan teorema 2 untuk menyelesaikan persoalan berikut : 16

17. LIMIT FUNGSI 17

18. LIMIT FUNGSI • Apabila hasil substitusi langsung merupakan bentuk tak tentu dapat dilakukan dengan memfaktorkannya. • Contoh Soal : • Berapahasilnilai limit berikut? 18

19. JAWAB CONTOH SOAL LIMIT

20. JAWAB CONTOH SOAL 20

21. LATIHAN SOAL 21

22. LIMIT FUNGSI • Cara kedua yang dapat dilakukan apabila hasil substitusi berbentuk adalah mengalikan fungsi tersebut dengan sekawan pembilang atau penyebut baru kemudian disubstitusi kan lagi. • Contoh Soal : 22

23. JAWAB

24. CONTOH SOAL

25. CONTOH SOAL 25

26. LIMIT TAK HINGGA • Limit tak berhingga adalh konsep limit yang melibatkan lambang ∞ dan -∞. Konsep pertama adalah tentang limit fungsi f di titik c untuk fungsi f yang terbatas pada selang yang memuat c. • Konsep kedua adalah tentang limit fungsi f untuk peubah x yang membesar tanpa batas (x ∞) atau peubah x yang mengecil tanpa batas (x-∞) yang dikenal sebagai limit di tak hingga. 26

27. LIMIT TAK HINGGA • Perhatikan limit berikut : • Untuk nilai-nilai x yang cukup dekat dengan 0, maka nilai-nilai diberikan pada tabel di bawah ini : • Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin dekat dengan 0, maka nilai menjadi semakin besar. 27

28. LIMIT TAK HINGGA • Grafik fungsi dapat dilihat pada gambar di bawah ini : • nilai akan menjadi besar tak terbatas apabila x mendekati 0, baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan. 28

29. LIMIT TAK HINGGA • Dalam hal ini, dikatakan bahwa limit f(x) dimana x menuju nol sama dengan tak hingga, ditulis: Definisi (i). jika untuk setiap x cukup dekat denganc, tetapi x ≠ c, maka f(x) menjadi besar tak terbatas arah positif. • (ii). jika untuk setiap x cukup dekat denganc, tetapi x ≠ c, maka f(x) • menjadi besar tak terbatas arah negatif. 29

30. LIMIT TAK HINGGA • Contoh : • Dari tabel di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin dekat dengan -1, maka nilai menjadi semakin besar. • Jadi 30

31. LIMIT TAK HINGGA 31

32. LIMIT TAK HINGGA • Tabel di bawah ini memperlihatkan nilai untuk berbagai nilai x. Dari tabel terlihat semakin besar nilai x (arah positif), nilai f(x) semakin kecil mendekati nol. Sedangkan apabila nilai x semakin besar (arah negatif) maka f(x) juga akan mendekati nol . • dalam hal ini dikatakan : 32

33. LIMIT TAK HINGGA • Contoh Soal : 33

34. LIMIT TAK HINGGA • Karena hasil limit berupa maka dapat diselesaikan dengan : • Membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi penyebut. • CONTOH 34

35. JAWAB LATIHAN SOAL

36. CONTOH SOAL 36

37. JAWAB LIMIT TAK HINGGA

38. CONTOH SOAL 38

39. JAWAB LIMIT TAK HINGGA

40. LATIHAN SOAL • Hitunglah : 40