Limit Distribusi

1. Limit Distribusi

2. Pendahuluan • Xpeubahacakberdistribusi b(n,p), maka n=1  X1berdistribusi b(1,p) n=2  X2berdistribusi b(2,p) dst makadikatakanpeubahacak X bergantungpada n • X peubahacakdenganp.d.f : f(x) = 1 ; 0 < x < 1 = 0 ; x lain

3. .

4. 5.1 KonvergendalamDistribusi Definisi: Misalnya Fn(y) adalahfungsidistribusidarivariabelacakYn, n=1,2,…,n. Jika F(y) adalahdistribusidanjika : maka Y1,Y2,…,Ynkonvergendalamdistribusikevariabel random Y denganfungsidistribusi F(y).

5. 5.2 Konvergendalamprobabilitas Definisi: Barisan X1, X2,X3, . . . Konvergendalam probabilitaskepeubahacak X,   > 0

6. Contoh: menyatakan mean darisampelacakukuran n daridistribusidengan mean µ danvariansi2.

7. Jika µ hingga, makacukupuntukmenjaminkonvergendalamprobabilitas. • Hasilinidisebut weak law of large numbers • Konvergendalamdistribusilebihlemahdarikonvergendalamprobabilitas, sehinggakonvergendalamdistribusiseringdisebutkonvergenlemah.

8. Teorema: • Misal Fn(y) fungsidistribusidaripeubahacakYn yang bergantungpada integer positif n. Misal c konstanta yang takbergantungpadan.BarisanYn, n=1,2,3,… konvergendalamprobabilitaske c jikka limit distribusidariYn degenerate pada y = c Bukti : 

9. Bukti distribusi limit dariYn degenerate di y = c

10. Teorema: JikaXnkonvergenke X dalamprobabilitas, makaXnkonvergenke X dalamdistribusi. Bukti : lihat 6thed • Teorema : JikaXnkonvergenkekonstanta b dalamdistribusi, makaXnkonvergendalamprobabilitaske b. • Bukti : misal  > 0, maka :

11. 5.3 Limit FungsiPembangkitMomen • MisalpeubahacakYndenganfungsidistribusi Fn(y) dan M.G.F M(t;n) adauntuk –h < t < h  n. Jikaadapeubahacak Y denganfungsidistribusi F(y) dengan M.G.F M(t) terdefinisiuntuk |t| h1 < h , demikiansehingga ,makaYnmempunyaidistribusi limit denganfungsidistribusi F(y)

12. Contoh 1: Ynberdistribusi b(n,p). µYn = npuntuksetiap n, p = µ/n dimana µ konstan.

13. Contoh 2: Znberdistribusi2(n) ,M.G.F dari Znadalah (1-2t)-n/2 , maka mean =n danvariansi = 2n. Yn=(Z-n)/√n adalahpeubahacak yang bergantung n.