Cálculo de Variaciones

1. Cálculo de Variaciones René J. Meziat y Jorge Villalobos Departamento de Matemáticas Universidad de los Andes

2. Problemas Geométricos • Braquistocrona: encontrar la curva que se recorre en el menor tiempo posible por una partícula que parte del reposo bajo la acción de la gravedad • Catenaria: encontrar la curva (fija en dos extremos) que da la mínima superficie de revolución

3. Métodos del Cálculo de Variaciones (1) • En su forma unidimensional el problema se puede ver como: • Se tiene una función • Definida en un camino y = y(t) entre dos valores t1 y t2 • Se quiere encontrar un camino y(t) tal que la integral de línea I de f entre t1 y t2 tenga un valor estacionario • Se consideran, solamente, variaciones entre caminos para los que y(t1) = y1 y y(t2) = y2

4. Métodos del Cálculo de Variaciones (2) • f debe ser estacionario para el camino correcto relativo a cualquier camino vecino • Tomamos un conjunto de caminos vecinos identificados por un parámetro infinitesimal a: {y(x,a)} con y(x,0) el camino correcto, y se utiliza una función h(x) llamada variación, que toma el valor 0 en x = x1 y x = x2 • Ahora I es un funcional de a

5. Métodos del Cálculo de Variaciones (3) • La condición para obtener un punto estacionario es • Que nos lleva a la siguiente ecuación diferencial para y

6. Deducción de las ecuaciones de Euler-Lagrange (1) • La variación de I con respecto a a se puede escribir como:

7. Deducción de las ecuaciones de Euler-Lagrange (2) • Por lo tanto la variación de I con respecto a a es • Puesto que h(x) es arbitrario obtenemos las ecuaciones diferenciales de Euler- Lagrange

8. Métodos del Cálculo de VariacionesSistemas de Varias Variables • f puede depender de varias variables independientes yi y sus derivadas • Para este caso se debe cumplir el sistema de las ecuaciones diferenciales de Euler-Lagrange • Las soluciones de éstas ecuaciones representan curvas para las que la variación del integrando I es cero

9. Solución de Problemas GeométricosBraquistocrona (1) • Si v es la velocidad de la partícula, el tiempo que le toma caer una longitud ds es ds/v • El problema es, entonces, encontrar el mínimo de • Si se mide x hacia abajo desde 1 podemos escribir • Además

10. Solución de Problemas GeométricosBraquistocrona (2) • Identificamos f como • La ecuación de Euler-Lagrange es • Que tiene como solución (parametrizada) la cicloide

11. Solución de Problemas GeométricosCatenaria (1) • Tenemos una curva fija en dos extremos (x1,y1) y (x2,y2) queremos que el área que se genera al dar una revolución alrededor del eje y sea mínima • El área del segmento sombreado de la figura es 2pxds = • El área total está dada por la integral de la derecha, este es el integrando del problema variacional

12. Solución de Problemas GeométricosCatenaria (2) • Las ecuaciones de Euler-Lagrange nos dan la ecuación diferencial • Que tiene solución • Esta es la ecuación de una catenaria • La gráfica de la curva es (en el plano xy)

13. Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica (1) • Principio de Hamilton: • Describe el movimiento de un sistema mecánico • Para sistemas monogénicos (toda fuerza es derivable a partir de un potencial escalar): El movimiento de un sistema del tiempo t1 al tiempo t2 es tal que la integral de línea donde L = T – V, tiene un valor estacionario para el camino corrrecto del movimiento. T es la energía cinética del sistema y V el potencial al que este está sujeto • I se conoce como la acción o integral de acción

14. Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica(2) • El principio de Hamilton se puede expresar diciendo que el movimiento es tal que la variación de la integral de línea I es cero para t1 y t2 fijos • qi se llaman coordenadas generalizadas y sus derivadas son las velocidades generalizadas • Siempre y cuando las restricciones del sistema sean holonómicas • Este es un problema variacional

15. Formalismo Variacional de la Mecánica Teórica(3) • En mecánica las ecuaciones de Euler- Lagrange son • Cada coordenada genera-lizada representa un grado de libertad • Se debe resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden • Los momentos generali-zados se definen como

16. Ventajas de la Formulación Variacional • Involucra cantidades físicas (energía cinética y potencial) independientes de las coordenadas con que se especifique el sistema. Esto hace que la formulación sea invariante con respecto a los sistemas de coordenadas. • El Lagrangiano es indeterminado a una derivada total temporal de cualquier función de coordenadas y tiempo. • Se puede extender a sistemas que no se consideran en la dinámica de partículas • La imposición de la conservación de la energía lleva a la formulación Hamiltoniana de la mecánica

17. Consecuencias Inmediatas de la Formulación Variacional • Teoremas de Conservación • Si el Lagrangiano de un sistema es independiente de una coordenada qj pero sí depende de la velocidad correspondiente, entonces el momento correspondiente es independiente del tiempo (se conserva) • Propiedades de Simetría • La simetría del sistema con respecto a sus coordenadas generalizadas está íntimamente ligada con la conservación de los momentos con respecto a los ejes de simetría

18. Ejemplos FísicosOscilador Armónico (1) • Masa m conectada a un resorte de constante k. • La coordenada generalizada es el desplazamiento x de m con res-pecto a la posición de equilibrio del resorte • La energía cinética T y la energía potencial U son • El Lagrangiano del sistema es • La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada x es

19. Ejemplos FísicosOscilador Armónico (2) • La solución de la ecuación de movimiento para la posición de la masa es • La amplitud A del movimiento y la fase f dependen de las con-diciones iniciales del sistema • Para w = 1/s, A = 1m yf = p/2 (posición inicial = 1m, velocidad inicial = 0 m/s) el movimiento es oscilatorio con periodo T = 2p s

20. Ejemplos FísicosPéndulo Simple • Masa m colgada del techo de una cuerda de longitud l, restringida a moverse en el plano xy • La coordenada generalizada es el ángulo q de l con respecto al eje y • La energía cinética T y la energía potencial U son • El Lagrangiano del sistema es • La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada q es • Para ángulos q pequeños la solución es idéntica a la del oscilador armónico

21. Ejemplos FísicosMovimiento Dentro de un Cono (1) • Masa m restringida a moverse en la superficie interior de un cono de ángulo medio a. La partícula está sujeta a una fuerza gravitacional. • Las coordenadas generalizadas son: la distancia r al eje z y el ángulo q con el eje x. La altura z = r cota • La energía cinética T y la energía potencial U son • El Lagrangiano del sistema es

22. Ejemplos FísicosMovimiento Dentro de un Cono (2) • Para la coordenada q tenemos • q es una coordenada cíclica • mr2w es el momentum angular del sistema que debe conservarse • Para la coordenada r tenemos • La gráfica es para • r2w=1 • r(0)=1

23. Ejemplos FísicosPéndulo Soportado en un Aro (1) • El punto de soporte de un péndulo simple de longitud b se mueve sobre un aro (sin masa) de radio a que rota con velocidad angular constante w. • La coordenada generalizada es el ángulo q que hace el péndulo con el eje y • La energía cinética T y la potencial U son (tomando U=0 en el centro del círculo) • El Lagrangiano del sistema

24. Ejemplos FísicosPéndulo Soportado en un Aro (2) • La ecuación de Euler-Lagrange para la coordenada q es • Que se reduce a la ecuación del péndulo simple si tomamos w= 0 • Tomando w= 1/s, b= 2a = 1m y g=10 m/s2, q(0) = 0, • q Vs. t • x(t), y(t) (paramétrico)

25. Ejemplos FísicosPéndulos Acoplados (1) • Dos masas iguales se ponen en una cuerda, una a a, la otra a 2a. El extremo O de la cuerda está fijo • Las coordenadas generalizadas son los ángulos q y j de la figura • La energía cinética y potencial del sistema son • El Lagrangiano del sistema a q a j

26. Ejemplos FísicosPéndulos Acoplados (2) • Las ecuaciones de Euler-Lagrange para q y j son • Tomando: • a = 0.5 m, • g = 10 m/s2, • q(0) = 0, q’(0) = 0, • j(0) = 0.5 rad yj’(0) = 0 • q Vs. t • j Vs. t

27. Otras Áreas de la FísicaTeoría de Campos • La formulación Lagrangiana de partículas se puede extender a la descripción de campos. • Se trabaja con la densidad Lagrangiana del sistema • Las ecuaciones de campo que se deducen de esta formulación son • Esta formulación tiene aplicaciones en electromagnetismo, relatividad, mecánica cuántica, etc…

28. Principio Variacional en Elasticidad • En elasticidad se puede aplicar un principio variacional sobre el siguiente planteamiento • La energía de carga es, en general, un término no convexo que favorece la formación de microestructuras en el material • Microestructura: estructura observada en un espécimen con una magnificación óptica ~ x25 a x1500 • La energía de superficie es una función que penaliza cambios fuertes en la función que minimiza la energía total

29. Dificultad y Motivación de Problemas No Convexos (1) • ¿Qué características debe tener el integrando (Lagrangiano) para que existan minimizadores para I en un espacio de funciones? D. Hilbert, 1900 • I debe ser débil inferiormente semicontinuo • Requisito: convexidad de f en la derivada de y(x). Tonelli, 1930. • Si el integrando f no es convexo en la derivada no se puede garantizar la existencia de minimizadores de I. Dacorogna, 1980 • Las ecuaciones de Euler-Lagrange no son un método efectivo para buscar estos minimizadores

30. Dificultad y Motivación de Problemas No Convexos (2) • El principio variacional para la elasticidad es no convexo, el término de la energía de superficie hace que el problema tenga solución • La no convexidad de la energía de carga es la responsable de la formación de la microestructura en el material • Se presenta a continuación el método de los momentos • Permite encontrar la solución de algunos problemas variacionales no convexos • En caso que el problema no tenga solución, da información sobre el comportamiento de las sucesiones minimizantes

31. Problema de BolzaBalance de Energía Para una Barra • Simplificación de un problema de balance energético para una barra unidimensional de longitud 1 • Energía de superficie = 0 • La barra está bajo el efecto de algunas cargas externas • u(x) es la deformación que experimenta el punto x sobre la barra • u’(x) la deformación unitaria

32. Problema de BolzaDificultad y Motivación • El balance energético que propone el problema de Bolza impone condiciones difíciles de cumplir • I(u) ³ 0 • u(x) » 0 • u’(x) ±1 • Estas condiciones no son compatibles • La ecuación de Euler-Lagrange para u presenta soluciones inestables al utilizar los métodos numéricos convencionales • Además esta ecuación no caracteriza el minimizador

33. Problema de BolzaRelajación • Encuentra la solución o, en caso que esta no exista, da información sobre las sucesiones minimizantes de problemas no convexos • Problema variacional ® problema de optimización • No convexidad en la derivada ®se remplaza el integrando por su envolvente convexa • Los minimizadores de esta relajación convexa son los límites débiles de las sucesiones minimizantes del problema original Relajación

34. Problemas Variacionales No ConvexosRelajación Convexa • La relación entre el problema original y el relajado es • Sea un una sucesión minimizante de I, entonces ella converge débilmente a un minimizador de • Teorema de Caratheodory: Dada una función f coerciva y continua f: Rn ® R su envolvente convexa está definida como el óptimo se obtendrá en una combinación convexa de n+1 puntos a lo sumo.

35. Problemas Variacionales No Convexos Relajación en Medidas (1) • Para lograr la relajación convexa del funcional I se introduce un nuevo funcional Ĩ en medidas • n es una familia de medidas de probabilidad mx parametrizada por los puntos x del dominio del problema (medida de Young) • Cada medida parametrizada debe cumplir

36. Problemas Variacionales No Convexos Resultados de Relajación (Pedregal) • El teorema de Caratedory implica que el mínimo de Ĩ se obtiene en las medidas óptimas mx* que determi-nan la envolvente convexa de f(y*,y’*;x) respecto a l • y*(x)es minimizador de Ī • Además se tiene que: • Notación: * solución buscada

37. Problemas Variacionales No Convexos Relajación en Medidas (Pedregal) • La medida de Young óptima n* contiene la información sobre el comportamiento límite de las sucesiones minimizantes de I • Si todos los miembros mx* de n* están soportados en un único punto, I tiene minimizador en el espacio de funciones correspondientes y • Si alguna de las medidas óptimas parametrizadas mx* tiene soporte en dos o más puntos, I no tiene solución. Pero el soporte de cada mx* nos indica los valores que puede tomar el gradiente y’*(x) en cada x ÎW y para cualquier sucesión minimizante unde I

38. Problemas Variacionales No ConvexosRelajación Semidefinida (Meziat) • Problema variacional generalizado: • f puede ser no convexo sobre l pero debe tener estructura polinomial • Si f tiene esta estructura su envoltura convexa está dada por :

39. Problemas Variacionales No ConvexosRelajación Semidefinida (Meziat) (2) • Con m*(x) la solución al programa matemático: • Las nuevas variables de diseño deben formar una matriz de Hankel, ya que mk(x) representa el momento de orden k de la medida parametrizada • La matriz H(x) es cuadrada (n+1)´(n+1), simétrica y los elementos sobre las diagonales secundarias coinciden

40. Problemas Variacionales No ConvexosRelajación Semidefinida (Meziat) (3) • El problema variacional original se transforma en un problema de optimización (se ha discretizado x) • Este problema se resuelve con métodos de optimización numérica • De los momentos algebraicos mk(xi) se puede extraer la información sobre el soporte y los pesos en los que está soportada la medida en cada xi. • Soporte unitario (l1 = 1 para todo x) implica que el problema original tiene solución • Soporte doble (l1 < 1 para algún x) implica que el problema original no tiene solución

41. Problemas Variacionales No ConvexosRelajación Semidefinida (Meziat) (4) • Los puntos de soporte de la medida t1 y t2 se encuentran a partir de los tres primeros momentos; son las raíces del polinomio P(x) • Soporte unitario (t1 = t2 para todo xi): el problema tiene solución • Soporte doble: el problema no tiene solución • Los pesos l1,2(xi) se encuentran con

42. Problemas Variacionales No ConvexosComportamiento de las Sucesiones Minimizantes • Soporte unitario: Las sucesiones minimizantes {un} para I no presentan alternancia en la derivada • Si esto se presenta para todo punto de la malla, I tiene minimizador yi* = u’*(xi) • Soporte doble: Las sucesiones minimizantes presentan alternancia en la derivada entre los valores t1 y t2. El problema I carece de solución. • La alternancia entre los valores t1 y t2 está regida por los pesos l1yl2 respectivamente

43. Problema de BolzaSolución con Medidas (1) • Problema de Bolza: • No convexo en u’(x) • Tiene forma polinomial en la variable derivada • El problema relajado en momentos es

44. Problema de BolzaSolución con Medidas (2) m1 • Los momentos que se encuentran son • Que llevan a • La sucesión minimizante tiene la forma m2 m3 m4

45. Envolvente Convexa de una Función • Una función es convexa si cumple la desigualdad de Jensen • La envoltura convexa es la máxima función convexa que acota inferiormente a la función • En la gráfica se ve, en rojo, la envoltura convexa de (1-u’(x)2)2. La línea azul muestra una violación de la desigualdad de Jensen