1 / 17

GRUP FAKTOR ( LANJUTAN)

GRUP FAKTOR ( LANJUTAN). Teorema IX.4 Untuk sebarang integer positif n berlaku ( aS ) n = a n S . Bukti : Akan dibuktikan dengan prinsip induksi . Untuk n = 1 , berlaku ( aS ) 1 = a 1 S . Berarti teorema benar untuk n = 1.

amena-dorsey
Download Presentation

GRUP FAKTOR ( LANJUTAN)

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. GRUP FAKTOR ( LANJUTAN)

  2. Teorema IX.4 • Untuksebarang integer positifnberlaku (aS)n = an S. Bukti : • Akandibuktikandenganprinsipinduksi. • Untukn = 1 , berlaku (aS)1 = a1S. • Berartiteoremabenaruntukn = 1. • Dianggapbahwateoremabenaruntukn = k. Berarti (aS)k = ak S. • Untukn = k + 1, berlaku (aS)k+1 = (aS) (aS)k = (aS) (akS) = (a . ak)S = ak+1S. • Terbuktibahwateoremabenaruntuksemuabilanganbulatpositifn.■

  3. Teorema IX.5 • MisalkanG/Ssebaranggrupfaktor. • Jika G berhinggamakaordeG/Ssamadengan |G| / |S|. • JikaGsiklikmakaG/Ssiklik. • JikaamempunyaiordeberhinggamakaordedariaSdalamG/Smembagiordedaria. • JikaGAbelianmakaG/SAbelian.

  4. Teorema IX.6 • MisalkanG/Ssebaranggrupfaktor. Fungsif : GG/S yang didefinisikandenganaturanf(x) = xSmerupakanhomomorfismasurjektifdariGkeG/SdenganintinyaS. • PemetaanS yang didefinisikandalamteoremadiatasseringdikenaldengannamahomomorfismaalam (natural homorphism) atauhomomorfismakannonik (canonical homomorphism).

  5. Teorema IX.7 • JikaG/SsiklikdansetiapanggotaSkomutatifdengansemuaanggotaGmakaGAbelian.

  6. Teorema IX.8 (Teorema Fundamental dariHomomorfismaGrup). • Jikaf : GHhomomorfismagrupdenganintiKdanpetaf(G) makaG/Sisomorfisdenganf(G). Bukti: • Definisikanfungsig : G/Kf(G) dengang(aK) = f(a). • Telahdibuktikanbahwagbijektifsehinggatinggalmembuktikanbahwaghomomorfisma. Padasatusisi, g(aKbK) = g(abK) = f (ab) = f(a) f(b) danpadasisi lain, g(aK) g(bK) = f(a) . f(b) sehinggag(aKbK) = g(aK) g(bK) untuksemuakosetaKdanbK. ■

  7. Contoh IX.6 : • MisalkanT = { xdalamC* | Abs(x) = 1 }. • Mudahdibuktikanbahwafungsi Abs : C* R* merupakanhomomorfisma. • Karena 1 identitasdalamR* danT = Ker(Abs) makadenganmenggunakanteorema fundamental homorfismadiperolehbahwaC*/Tisomorfisdenganpetadarifungsi Abs yaituR+. • OlehkarenaituC*/TsehinggaC*/Tjugamempunyaisifat-sifat yang dimilikiR+. • JadiR+grupabeliantidaksiklik, ordenyatakhinggadanmempunyaianggotadenganorde 1 atau .■

  8. Isomorfisma • Suatugrup yang nampaknyaberbedasecaraesensidapatsama. Secaraintuisiidebahwaduagrupsecaraesensisamaakanmenujupadapemikirantentangkonsepisomorfisma. Definisi IX.3 • Misalkan < G, * > dan < H, . > grup. GrupG isomorfisdenganHjikaterdapatfungsi f : GHsehingga • finjektif, • fsurjektif, • fhomomorfisma • makafdikatakanisomorfisma.

  9. Teorema IX.9 • MisalkangrupGdanHisomorfis. Sifat-sifatberikutiniberlaku : • GrupGdanHmempunyaiorde yang sama. • GrupGdanHkeduanyaabelianatautidakabelian. • GrupGdanHkeduanyasiklikatautidaksiklik.

  10. Contoh IX.7 : • DiketahuiGrupZ4danZ8*. • Keduagrupmempunyaiorde 4 danabeliantetapiZ4 = (1) sikliksedangkanZ8* tidaksiklikkarenatidakadaanggotanya yang mempunyaiorde 4. • OlehkarenaituZ4tidakisomorfisdenganZ8*.

  11. Teorema IX.10 • SebaranggrupsikliktakberhinggaisomorfisdenganZ. • SebaranggrupsiklikberhinggaordenisomorfisdenganZn.

  12. LATIHAN • MisalkanS = { (1), (2) } dananggapbahwasemuakosetaSuntukadalamZ4. • BerikancontohkhususuntukmenunjukkanbahwapergandaankosetaS . bS = ab Stidakterdefinisikandenganbaik. • Tunjukanbahwatidakadaduadarihimpunan-himpunanini yang isomorfis : R*, R+danC*. • Buktibahwafungsi-fungsiberikutsuatuisomorfisma. • f : Z100Z100denganf(x) = 3x. • h : Z10* Z10* denganh(x) = x3.

  13. Tunjukkanbahwafungsiberikutmengawetkanoperasitetapitidaksurjektifmaupuninjektif.Tunjukkanbahwafungsiberikutmengawetkanoperasitetapitidaksurjektifmaupuninjektif. • f : Z100Z100denganf(x) = 2x. • h : Z10* Z10* denganh(x) = x2. • Didefinisikanf : RRdenganf(x) = -3x. BuktikanbahwafsuatuautomorfismaRyaituisomorfismadariRkeR. • MisalkanGsebaranggrupdanbanggotaG. • Didefinisikanfb : GGdenganaturanfb(x) = b-1xb. • TunjukkanbahwafbsuatuautomorfismadariG.

  14. DiketahuigrupfaktorZ6/S dengan S = { 0,3 }. Tentukan order darigrupfaktordan order darielemen-elemendalamZ6/S. ApakahZ6/S siklik ? • Diketahuigrupfaktorf : Z7* Z7* dengan f(x) = x2. TentukanIm(f) dan K=Ker(f). ApakahZ7*/K isomorfisdenganf(Z7*) = Im(f) ? • MisalkanS = { AM22* | det(A) = 1 }. BuktikanbahwaSgrupbagian normal dariM22*.

  15. TERIMA KASIH

More Related