1 / 29

GRUP FAKTOR

GRUP FAKTOR. Koset aS dapat digunakan untuk membentuk sistem aljabar yang baru . Misalkan S grup bagian dari grup G . Dapat dibentuk himpunan semua koset kiri dari S yaitu { aS | a dalam G }.

grace
Download Presentation

GRUP FAKTOR

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. GRUP FAKTOR

  2. KosetaSdapatdigunakanuntukmembentuksistemaljabar yang baru. • MisalkanSgrupbagiandarigrupG. DapatdibentukhimpunansemuakosetkiridariSyaitu { aS | adalamG }. • AnggotaG yang berbedadapatsajamembentukkoset yang sama. Untukitudiperlukancarauntukmengujikesamaandariduakoset.

  3. Teorema IX.1 • KosetaSdanbSsamajikadanhanyajikab –1aS. • aS = SjikahanyajikaaS. Bukti : • JikadiketahuiaS = bSmakaa = ae = bsuntuksuatusdalamS. • Dengankeduaruasdenganb –1makadapatb –1a = s yang beradadalamS.

  4. Diketahuib –1adalamS. Tulisb –1a = S. Didapata = bsataub = as –1 Hal iniberarti, sebarangpergandaanasharuslahsamadengan ( bs)s = b(ss)dansebarangpergandaanbs = (as-1 )s = a(s-1 s). • OlehkarenaitudengansifatketertutupanS, sebarangassamadenganbdigandakandengansuatuelemenSdansebarangbssamadenganadigandakandengansebaranganggotaS. • AkibatnyaaSbSdanbSaS. • BerartiaS = bS.

  5. KarenaeS = Smakadenganmenggunakansifat (1) diatasdidapatbahwaeS = SjikahanyajikaadalamS. Definisi IX.1 • Aturan * dikatakanterdefinisikandenganbaik (well-defined) jikaa = adanb = bmakaberakibata*b = a*b.

  6. Contoh IX.1 • Diketahuihimpunanbilanganrasional Q dandidefinisikanaturanpada Q dengan a/b c/d = (a+c) / (b+d) a/b, c/ddalamQ. • Karenapadasatusisi 1/2 = 3/6 danpadasisi lain (1/2)  ( 1/3 ) = (1+1) / (2+3) = 2/5 (3/6)  (1/3) = (3+1) / (6+3) = 4/9 makatidakterdefinisikandenganbaik.■

  7. Teorema IX.2 • PergandaankosetaS . bS = abSterdefinisikandenganbaikjikadanhanyajikaSgrupbagian normal darigrupG. Definisi IX.2 • MisalkanSgrupbagian normal darigrupG. • HimpunanG/S yang dibaca “GdanS” didefinisikandengan : G/S = { a S | aG } DenganoperasinyamempunyaiaturanaSbS = ab S.

  8. Teorema IX.3 • SistemG/S yang merupakangrup. KarenaG/SmerupakangrupmakagrupG/Sseringdinamakangrupfaktor (factor group). Jika G grupterhadappenjumlahanmakakosetnyaditulisdengan a + S, b + S,…danoperasidalamG/Sadalah (a + S) + (b + S) = (a + S) + S. • DalamgrupG/Sanggotaidentitasnyaadalah 0 + Sdaninversdaria + Sadalah –a + S.

  9. Contoh IX.2 : • DiketahuihimpunanbilanganbulatZgrupdan (6) = {…, -12, -6, 0, 6, 12,…} grupbagiandariZ. • AkanditunjukkanbahwabZ6isomorfisdenganZ/(6). • GrupfaktorZ/(6) = {0 + (6), 1 + (6), 2 +(6), 3 +(6), 4 +(6), 5 +(6) }. • Didefinisikanfungsif : G Z/(6) denganf(a + (6)) = adengan 0 a < 5. • Dapatdibuktikanbahwafungsifmerupakanisomorfisma. ■

  10. Contoh IX.3 : • DiketahuiZ8* = { 1, 3, 5, 7 }. Didefinisikanpemetaanf : Z8* Z8* denganf(x) = x2. Berartif(1) = f(3) = f(5) = f(7) = 1. Mudahdibuktikanbahwafautomorfisma. Pemetaanftidakinjektifdantidaksurjektif. Im(f) = { 1 } dan Ker(f) = Z8*. • GrupfaktorZ8*/K = { aK | aZ8* } = { K} = { Z8* } = { {1, 3, 5, 7} } sehinggagrupfaktortersebuthanyamempunyai 1 elemenataumempunyai order 1.

  11. Contoh IX.4 : • DiketahuiZ10* = { 1, 3, 7, 9 }. Didefinisikanpemetaanf : Z10* Z10* denganf(x) = x2. Berartif(1) = f(9) = 1, f(7) = 9 = f(3). Mudahdibuktikanbahwafautomorfisma. Pemetaanftidakinjektifdantidaksurjektif. Im(f) = { 1, 9 } dan K = Ker(f) = { 1, 9}. • GrupfaktorZ10*/K = { aK | aZ10* } = { 1K, 3K } = { {1, 9}, { 3, 7} }. Dalamgrupfaktorinimempunyai order 2 dan K berfungsisebagaielemenidentitassedangkanelemenlainnyaadalah 3K yang mempunyai order 2 sehinggamerupakangrupsiklik.

  12. Contoh IX.5 : • DiketahuiZ10* = { 1, 3, 7, 9 }. Didefinisikanpemetaanf : Z10* Z10* denganf(x) = x3. Berartif(1) = 1, f(3) = 7, f(7) = 3, f(9) = 9. Mudahdibuktikanbahwa f automorfisma. Pemetaanfbijektif . Im(f) = { 1, 3, 7, 9 } = Z10* dan K = Ker(f) = { 1}. • GrupfaktorZ10*/K = { aK | aZ10* } = { 1K, 3K, 7K, 9K} = { {1}, {3}, {7}, {9} }. Dalamgrupfaktorinimempunyai order 4, K berfungsisebagaielemenidentitas. Elemen 9K mempunyai order 2. Elemen 3K dan 7K mempunyai order 4 sehinggamerupakanZ10*/K grupsiklik.

  13. Teorema IX.4 • Untuksebarang integer positifnberlaku (aS)n = an S. Bukti : • Akandibuktikandenganprinsipinduksi. • Untukn = 1 , berlaku (aS)1 = a1S. • Berartiteoremabenaruntukn = 1. • Dianggapbahwateoremabenaruntukn = k. Berarti (aS)k = ak S. • Untukn = k + 1, berlaku (aS)k+1 = (aS) (aS)k = (aS) (akS) = (a . ak)S = ak+1S. • Terbuktibahwateoremabenaruntuksemuabilanganbulatpositifn.■

  14. Teorema IX.5 • MisalkanG/Ssebaranggrupfaktor. • Jika G berhinggamakaordeG/Ssamadengan |G| / |S|. • JikaGsiklikmakaG/Ssiklik. • JikaamempunyaiordeberhinggamakaordedariaSdalamG/Smembagiordedaria. • JikaGAbelianmakaG/SAbelian.

  15. Teorema IX.6 • MisalkanG/Ssebaranggrupfaktor. Fungsif : GG/S yang didefinisikandenganaturanf(x) = xSmerupakanhomomorfismasurjektifdariGkeG/SdenganintinyaS. • PemetaanS yang didefinisikandalamteoremadiatasseringdikenaldengannamahomomorfismaalam (natural homorphism) atauhomomorfismakannonik (canonical homomorphism).

  16. Teorema IX.7 • JikaG/SsiklikdansetiapanggotaSkomutatifdengansemuaanggotaGmakaGAbelian.

  17. Teorema IX.8 (Teorema Fundamental dariHomomorfismaGrup). • Jikaf : GHhomomorfismagrupdenganintiKdanpetaf(G) makaG/Sisomorfisdenganf(G). Bukti: • Definisikanfungsig : G/Kf(G) dengang(aK) = f(a). • Telahdibuktikanbahwagbijektifsehinggatinggalmembuktikanbahwaghomomorfisma. Padasatusisi, g(aKbK) = g(abK) = f (ab) = f(a) f(b) danpadasisi lain, g(aK) g(bK) = f(a) . f(b) sehinggag(aKbK) = g(aK) g(bK) untuksemuakosetaKdanbK. ■

  18. Contoh IX.6 : • MisalkanT = { xdalamC* | Abs(x) = 1 }. • Mudahdibuktikanbahwafungsi Abs : C* R* merupakanhomomorfisma. • Karena 1 identitasdalamR* danT = Ker(Abs) makadenganmenggunakanteorema fundamental homorfismadiperolehbahwaC*/Tisomorfisdenganpetadarifungsi Abs yaituR+. • OlehkarenaituC*/TsehinggaC*/Tjugamempunyaisifat-sifat yang dimilikiR+. • JadiR+grupabeliantidaksiklik, ordenyatakhinggadanmempunyaianggotadenganorde 1 atau .■

  19. Isomorfisma • Suatugrup yang nampaknyaberbedasecaraesensidapatsama. Secaraintuisiidebahwaduagrupsecaraesensisamaakanmenujupadapemikirantentangkonsepisomorfisma. Definisi IX.3 • Misalkan < G, * > dan < H, . > grup. GrupG isomorfisdenganHjikaterdapatfungsi f : GHsehingga • finjektif, • fsurjektif, • fhomomorfisma • makafdikatakanisomorfisma.

  20. Teorema IX.9 • MisalkangrupGdanHisomorfis. Sifat-sifatberikutiniberlaku : • GrupGdanHmempunyaiorde yang sama. • GrupGdanHkeduanyaabelianatautidakabelian. • GrupGdanHkeduanyasiklikatautidaksiklik.

  21. Contoh IX.7 : • DiketahuiGrupZ4danZ8*. • Keduagrupmempunyaiorde 4 danabeliantetapiZ4 = (1) sikliksedangkanZ8* tidaksiklikkarenatidakadaanggotanya yang mempunyaiorde 4. • OlehkarenaituZ4tidakisomorfisdenganZ8*.

  22. Teorema IX.10 • SebaranggrupsikliktakberhinggaisomorfisdenganZ. • SebaranggrupsiklikberhinggaordenisomorfisdenganZn.

  23. LATIHAN • MisalkanS = { (1), (2) } dananggapbahwasemuakosetaSuntukadalamZ4. • BerikancontohkhususuntukmenunjukkanbahwapergandaankosetaS . bS = ab Stidakterdefinisikandenganbaik. • Tunjukanbahwatidakadaduadarihimpunan-himpunanini yang isomorfis : R*, R+danC*. • Buktibahwafungsi-fungsiberikutsuatuisomorfisma. • f : Z100Z100denganf(x) = 3x. • h : Z10* Z10* denganh(x) = x3.

  24. Tunjukkanbahwafungsiberikutmengawetkanoperasitetapitidaksurjektifmaupuninjektif.Tunjukkanbahwafungsiberikutmengawetkanoperasitetapitidaksurjektifmaupuninjektif. • f : Z100Z100denganf(x) = 2x. • h : Z10* Z10* denganh(x) = x2. • Didefinisikanf : RRdenganf(x) = -3x. BuktikanbahwafsuatuautomorfismaRyaituisomorfismadariRkeR. • MisalkanGsebaranggrupdanbanggotaG. • Didefinisikanfb : GGdenganaturanfb(x) = b-1xb. • TunjukkanbahwafbsuatuautomorfismadariG.

  25. DiketahuigrupfaktorZ6/S dengan S = { 0,3 }. Tentukan order darigrupfaktordan order darielemen-elemendalamZ6/S. ApakahZ6/S siklik ? • Diketahuigrupfaktorf : Z7* Z7* dengan f(x) = x2. TentukanIm(f) dan K=Ker(f). ApakahZ7*/K isomorfisdenganf(Z7*) = Im(f) ? • MisalkanS = { AM22* | det(A) = 1 }. BuktikanbahwaSgrupbagian normal dariM22*.

  26. TERIMA KASIH

More Related