210 likes | 333 Views
Műszaki térinformatikai 2014/2015. tanév szakirányú továbbképzési szak őszi félév. Matematika II. 4. előadás. A 4. előadás vázlata. A féléves feladat kiadása Gráfelméleti alapismeretek Legrövidebb útvonal keresése a gráfban. Gráfok. Mi a gráf?
E N D
Műszaki térinformatikai 2014/2015. tanév szakirányú továbbképzési szak őszi félév Matematika II. 4. előadás
A 4. előadás vázlata • A féléves feladat kiadása • Gráfelméleti alapismeretek • Legrövidebb útvonal keresése a gráfban
Gráfok • Mi a gráf? • Adott n pont a síkban (P = {P1, P2, P3, …, Pn), a P halmazt nevezzük a gráf csúcspontjainak. • Élnek nevezzük a gráf két tetszőleges csúcspontját összekötő vonalat (nem feltétlenül egyenes!). • Jelölje eij azt az élt, amely az i. és a j. csúcspontot köti össze. • Legyen E = {eij, 1 i, j n} az élek halmaza. • Az él irányított, ha a csúcsok sorrendje egyben haladási irányt is jelent.
Gráfok • Mi a gráf? • A G = {P, E} halmazt gráfnak nevezzük. • Példa gráfra:
Gráfok • Példa irányított gráfra:
Gráfok • Útvonal két pont, P1 és P7 között (irányítás nélküli gráfban):
Gráfok • Útvonal két pont, P1 és P7 között (irányított gráfban):
Gráfok • Impedancia (súly) hozzárendelése a gráf éleihez:
Gráfok • Legkisebb súlyú (impedanciájú) útvonal keresése a gráfban a P1 és a P7 csúcsok között:
Útvonalkeresés a gráfban I. • A legrövidebb útvonal kikeresésének algoritmusa: • A kezdőponthoz 0-t, a többi ponthoz végtelent rendelünk hozzá. • A kezdőpontból kiinduló élek súlyát rendre hozzá-adjuk a kezdőpont súlyához, és ha ez kisebb, mint a végpont aktuális súlya, akkor kicseréljük. • Megjegyezzük, melyik él mentén értük el ezt a legkisebb értéket. • Az eljárást a többi csúcspontra is elvégezzük, amiből eddig még nem indultunk el.
Útvonalkeresés a gráfban II. • A legrövidebb útvonal kikeresésének algoritmusa (folytatás): • Az eljárás akkor ér véget, ha az összes csúcspontból elvégeztük az előzőeket és mindegyik csúcsponthoz végtelentől különböző értéket rendeltünk már hozzá. • Ekkor a legrövidebb út összesített súlya a végpontban álló szám, az útvonal pedig innen visszafelé haladva, a jelölt élek mentén járható be.
Mintapélda az útvonalkeresésre • 1. lépés: induló állapot előállítása
Mintapélda az útvonalkeresésre • 2. lépés: a P1-ből kiinduló élek végpontjaiban az összegzett súly és irány beírása
Mintapélda az útvonalkeresésre • 3. lépés: a P2-ből kiinduló élek végpontjaiban az összegzett súly és irány beírása
Mintapélda az útvonalkeresésre • 4. lépés: a P3-ból kiinduló élek végpontjaiban az összegzett súly és irány beírása
Mintapélda az útvonalkeresésre • 5. lépés: a P4-ből kiinduló élek végpontjaiban az összegzett súly és irány beírása
Mintapélda az útvonalkeresésre • 6-8. lépés: a P5-ből, a P6-ból és a P8-ból kiin-duló élek végpontjaiban az összegzés elvégzése
Mintapélda az útvonalkeresésre • 9. lépés: Miután az összes éllel kiszámoltuk az összegzett súlyt, kapjuk az optimális út súlyára a P7-es csúcsban a 14 értéket, és az útvonalat a nyilak mentén visszafejtve kapjuk a P1 - P2 - P4 - P6 -P7 végeredményt.
A gyakorló feladat megoldása • Az optimális út súlyára a jobb szélső csúcsban leolvashatjuk a 16 értéket, az optimális útvonalat pedig a piros vonalak mentén járhatjuk be.