Matematika II.

1. Geodézia szakmérnöki szak 2012/2013. tanév/ Műszaki térinformatika ágazat őszi félév Matematika II. 1. előadás

2. Lineáris programozás • Miért lineáris ? • Lássunk egy példát! • A feladat: • Szendvicsek gyártása egy házibulira! • Alapanyagok: • 120 dkg vaj • 100 dkg sonka • 200 dkg sajt • 20 db főtt kemény tojás

3. Lineáris programozás • A szendvicsek típusai: • A típus (x1 darab): • 3 dkg vaj • 3 dkg sonka • 2 dkg sajt • 1/4 db tojás • B típus (x2 darab): • 2 dkg vaj • 1 dkg sonka • 5 dkg sajt • 1/2 db tojás

4. Lineáris programozás • Mi a feladat? • A lehető legtöbb szendvics elkészítése az alap-anyagokból (kenyér korlátlanul rendelkezésre áll). • Matematikai modell: x1 >= 0; x2 >= 0 (negatív mennyiség ?) 3·x1 + 2·x2 <= 120 (vajas feltétel) 3·x1 + x2 <= 100 (sonkás feltétel) 2·x1 + 5·x2 <= 200 (sajtos feltétel) 1/4·x1 + 1/2·x2 <= 20 (tojásos feltétel) • Célfüggvény: z = x1 + x2 max.

5. Lineáris programozás • Grafikus megoldás: 1. lépés: a „vajas” egyenes A félterek irányítása 2. lépés: a többi egyenes A lehetséges megoldások halmaza A célfüggvény egyenesei 3. lépés: Optim. megoldás

6. Lineáris programozás • Tapasztalatok a feladat kapcsán: • A lehetséges megoldások halmaza a síknak egyenesekkel határolt tartománya • Az azonos célfüggvény-értékkel rendelkező pontok egy párhuzamos egyenes-sereg valamelyik egyenesén fekszenek • A max. célfüggvény-értéket ezen egyenesek párhuzamos eltolásával kaphatjuk meg

7. Lineáris programozás • A grafikus megoldás elemzése:

8. A Szimplex módszer • A feladat: • Adott egy m egyenlőtlenségből álló n változós lineáris egyenlőtlenségrendszer és egy n változós lineáris függvény; • Az egyenlőtlenségrendszer együtthatómátrixa legyen A; • Az egyenlőtlenségrendszer jobb oldalán álló paraméterek m dimenziós vektora legyen b; • A célfüggvény paramétereit fejezze ki a c*;n dimenziós sorvektor;

9. A Szimplex módszer • A lineáris programozás általános feladata ezek alapján a következő: Ax <= b; x >= 0 z = c* x  max.! • Észrevételek: • A feltételrendszerben lehetnek <= és >= irányú egyenlőtlenségek is. • Az esetleges egyenletek helyettesíthetők két megfelelő egyenlőtlenséggel. • A maximum-feladat helyett szerepelhet minimum-feladat is, ha a -c* vektorral dolgozunk.

10. A Szimplex módszer • A lineáris programozási feladatat kanonikus alakja a következő: Ax = b;x >= 0 z = c* x  max.! • Észrevételek: • Az általános alakkal szemben itt csak egyenletek szerepelnek; • Az általános alak mindig átalakítható kanonikusra, néhány új változó bevonásával.

11. A Szimplex módszer • Az átalakításhoz tekintsünk egy olyan általános feladatot, amelyben a következő feltételek szerepelnek: A1x = b1 A2x <= b2 A3x >= b3 x >= 0 z = c* x max.!.

12. A Szimplex módszer • Az előző feltételrendszer új változók bevezetésével átalakítható az alábbira: A1x=b1 A2x + Equ = b2 A3x - Erv = b3 x >= 0; u >= 0; v >= 0 z = c* x max.!.

13. A Szimplex módszer A Szimplex módszer induló táblája az alábbi:

14. A Szimplex módszer • Az algoritmus lépései: • A megoldás optimális, ha a c* minden együtthatója negatív; • Ha van cj > 0, akkor a legnagyobb ilyen oszlopát vizsgáljuk; • Megkeressük azt a ak,j> 0 számot, amelyre az xk/ak,j hányados minimális lesz, ez lesz a generáló elem; • Elvégezzük az elemi bázistranszformációt úgy, hogy a j. és a k. elemet cseréljük ki egymással; • Az eljárást az elejével folytatjuk.

15. A Szimplex módszer • Megállási feltétel: • Nincs cj > 0 elem, ekkor találtunk optimális megoldást; • Bár még van cj > 0, de ebben az oszlopban minden ak,j <= 0; Ebben az esetben a célfüggvény nem korlátos, tehát nincs optimális megoldás

16. Példa a Szimplex módszer alkalmazására • Egy üzemben öt különböző terméket lehet három korlátozott mennyiségben rendelkezésre álló erőforrás segítségével előállítani. Az erőforrások mennyiségét, a fajlagos ráfordításokat és az egyes termékek fajlagos hozamát a következő táblázat foglalja össze. Készítsük el az optimális termelési tervet, amely a maximális hozamot eredményezi!

17. Példa a Szimplex módszer alkalmazására • A mintapélda alapadatai:

18. Példa a Szimplex módszer alkalmazására • Az induló Szimplex tábla, amely egyben egy lehetséges megoldást is tartalmaz: Mivel van cj > 0, a megoldás még nem optimá-lis. Válasszunk generáló elemet!

19. Példa a Szimplex módszer alkalmazására • Az első transzformáció nyomán kapott Szimplex tábla: Ismét van cj > 0, a megoldás még mindig nem optimális. Válasszunk újabb generáló elemet!

20. Példa a Szimplex módszer alkalmazására • A második transzformáció nyomán kapott Szimplex tábla: Még van cj > 0, a megoldás még mindig nem optimális. Válasszunk újra generáló elemet!

21. Példa a Szimplex módszer alkalmazására • A harmadik transzformáció nyomán kapott Szimplex tábla: Itt már az összes cj < 0, a megoldás tehát opti-mális.

22. A mintapélda megoldása • Az optimális termelési stratégia az előbbiek alapján tehát az, ha a vállalat a következő-képpen jár el: • I. termék: 20 egység • II. termék: 30 egység • V. termék: 50 egység • Ekkor a tiszta hozam: • z = 230

23. Módosított mintapélda • A módosított mintapélda alapadatai (a IV. termék fajlagos tiszta hozama 1-ről 2-re nő): Állítsuk elő a megoldást!