Inleiding Adaptieve Systemen

Inleiding Adaptieve Systemen De Mandelbrot Fractal Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Youtube movie: zoom Mandelbrot

eenheidscirkel cardioïde Mandelbrot verzameling Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inzoomen op een rond uitsteeksel en schuiven naar links. Het display centrum uitpannen van (-1, 0) naar (-1.31, 0). Onderwijl (volgens Feigenbaum verhouding δ) vergroten van 0,5 × 0,5 naar 0.12 × 0.12. Mandelbrot en zelf-gelijkvormigheid De constatering van gelijkvormigheid is (vooralsnog en voor ons) empirisch! Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Quasi-zelfgelijkvormigheid • In het algemeen niet strikt zelf-gelijkvormig, maar quasi zelf-gelijkvormig. Kleinere varianten kunnen gevonden worden op willekeurig kleine schalen. • Waarom niet strikt zelf-gelijkvormig? (Denk aan samenhang.) Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk Mandelbrot zoom avi

Spoedcursus complexe getallen • i = √-1. Dus i2 = -1. • (a + bi) + (c + di) = (a+b) + (c+d)i • (a + bi) ∙ (c + di) = a∙c + a∙di + bi∙c + bi ∙ di = (ac – bd) + (ad + bc)i • Complexe getallen kunnen we zien (en behandelen) als vectoren in R2. • Alternatieve notatie: z = r ∙ ( cos(φ) + cos(φ) i ) Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Bekijk de functie fop de complexe getallen f : z → z2 + c Deze functie kun je itereren, met als startwaarde nul. Zo krijg je een rij: 0, c, c2 + c, (c2+c)2 + c, … Voor c = 0: 0, 0, 0, … constante rij, dus convergeert, dus begrenst. Voor c = 1: 1, 2, 5, 26, … : niet begrenst. Voor c = -1: 0, -1, 0, -1, 0, … alterneert, dus begrenst. Voor c = i: i, -1+i, -i, -1+i alterneert, dus begrenst Definitie Mandelbrot verzameling Voor welke waarden van c blijft deze rij begrenst? Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Feiten over de Mandelbrot verzameling • Is volledig bevat in de 2-schijf. • Oppervlakte 1.50659177 (zowel analytisch als door pixel count.) • Is samenhangend (of Mandelbrot set weg-samenhangend is, is een open probleem). Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Hoe maak je de Mandelbrot verzameling? Engels: The Escape Time Algorithm Voor elke pixel (p1, p2) doe: • Vertaal (p1, p2) naar corresponderend punt c = (c1, c2) in complexe vlak. • Test of c vanaf 0 een begrensde rij oplevert door 50 iteraties te doen. • Lig je er op de Ne iteratie met modulus >2 uit, dan ligt c zeker buiten de Mandelbrot set. Kleur het pixel wit. • Ben je na 50 iteraties nog steeds binnen de 2-cirkel, neem dan aan dat c binnen de Mandelbrot set ligt, en kleur het pixel zwart. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Escape Time Algoritme Voorbereiding: definieer een spectrum van 50 kleuren: K[1] = wit, K[2] = geel, …, k[50] = donkerblauw. • Test of c vanaf 0 een begrensde rij oplevert door 50 iteraties te doen: • Lig je er op de Ne iteratie met modulus >2 uit, dan ligt c zeker buiten de Mandelbrot set. Geef het pixel de kleur K[N]. • Blijf je 50 iteraties binnen de 2-cirkel, neem dan aan dat c binnen de Mandelbrot set ligt, en kleur het pixel zwart. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Escape Time Algoritme Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Genormaliseerd aantal iteraties Idee: betrek de modulus van zN in de kleurindex, om stappen tussen discrete kleurindices te egaliseren. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

De Julia Set • Bij de Mandelbrot fractal: • Je varieert de constantec • Vast startpunt voor iteratie (0, 0) • Bij de Julia fractal: • Je varieert het startpunt voor iteratie • Vaste constante c Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Samenvatting fractals • Turtles klonen: elke gekloonde turtle tekent dezelfde structuur, maar dan kleiner. • Eén turtle een recursieve tekenopdracht geven: je krijgt een fractal bestaande uit één lijn. • MRCM / IFS: pas twee of meer lineaire contracties toe. • “Adaptieve” fractals. • Mandelbrot: bekijk één familie van complexe functies. Teken gebied waarvoor iteratie begrensd is. Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Tot ziens! Inleiding Adaptieve Systemen, Opleiding CKI, Utrecht. Auteur: Gerard Vreeswijk

Inleiding Adaptieve Systemen