Inleiding Adaptieve Systemen

Inleiding Adaptieve Systemen Populatiedynamiek en Chaos Inleiding adaptieve systemen

Inhoud • Opkomst van non-determinisme en chaos in de natuurwetenschappen • Definities, voorbeelden en eigenschappen: • Determinisme, non-determinisme • Semi-periodiciteit, chaos • De logistieke vergelijking • De logistieke vergelijking voor meerdere groepen • Lotka-Volterra systemen • Chaos in Lotka-Volterra systemen • H13 Flake: “controlling chaos” Inleiding adaptieve systemen

Opkomst van noties als“non-determinisme” en “chaos”in de natuurwetenschappen Inleiding adaptieve systemen

Ontwikkeling van dehemelmechanica op één slide • Aristoteles (–384, –322) nam aan dat zware objecten sneller vallen dan lichte objecten. • Ptolemaeus (87-150) onderhield een geocentrisch beeld van ons zonnestelsel. • Copernicus (1473-1543) beredeneerde (op grond van epicycli en parallax) het omgekeerde. • Galileikeek naar Jupiter’s manen en concludeerde dat de aarde rond de zon draait (niet andersom, ). • Kepler (1571-1630) benaderde banen van planeten met ellipsen i.p.v. de gebruikelijke cirkels (“perkenwet”). • Huygens (1629-1695) kon betere klokken, lenzen, en telescopen maken zodat men beter kon meten in experimenten. • Newton (1642-1727) ontdekte de mechanica en gravitatie, om zo te kunnen uitrekenen dat planeetbanen ellipsen zijn. Hanteren van ongetoetste aannamen Logica, deductie, en redeneren Observatie Observatie + modelleren Observatie + modelleren + meten Observatie + modelleren + meten + rekenen → verklaren en voorspellen Inleiding adaptieve systemen

Voorspelling komeet Halley • In 1700: Halley maakt lijst van kometen. • Eén komeet: 1531, 1607, 1682 • In 1758: sterrenkundige Clairaut en wiskundige Mme Lepauteberekenen baan van komeet (moeilijk! – zon, Jupiter, Saturnus) • Voorspelling: april 1759 ± één maand • Het werd maart 1759 Inleiding adaptieve systemen

“Een intelligentie die, op een zeker moment, alle krachten die in de natuur werken, en de toestanden van alle elementen waaruit deze is opgebouwd, zou kennen, zou, als ze overigens groot genoeg was om al deze gegevens te kunnen analyseren, in een enkele formule de beweging van de grootste lichamen in het heelal en die van het kleinste atoom beschrijven: niets zou hiervoor onzeker zijn, en de toekomst, net zoals het verleden, zou tegenwoordig zijn in haar ogen. De menselijke geest, die de sterrenkunde zo volmaakt heeft leren beschrijven, vormt een flauwe afspiegeling van zo'n intelligentie.” Oeuvres Vol 7: Introduction à la théorie des probabilités (1812-1820) Mechanistisch-deterministisch wereldbeeld • Na deze succesen dachten natuurwetenschappers dat het universum werkte als een klok en dat alles te voorspellen was. • Pierre Simon Laplace (1749-1827) las op 10 Feb 1773 voor de Franse Academie van Wetenschappen een paper voor. Hij beargumenteerde dat als een super-genie (“Intelligence”) op een zeker moment alle posities en snelheden zou kennen, en die gegevens aan de hemelmechanica zou onderwerpen, hij toekomst en verleden op slag voor ogen zou hebben. Hier moet onmiddellijk aan toegevoegd worden dat Laplace’s argument niet principieel maar instrumenteel was. Hij beargumenteerde dat mensen kansrekening nodig hebben, juist omdát het geen genieën zijn. Inleiding adaptieve systemen

Omkeerbare Systemen • De nieuwe wetenschap leidde tot de gedachte dat het universum voorspelbaar is (Genius van Laplace) • De mechanische wetten van Newton beschrijven een omkeerbaar systeem. Dit houdt in dat als we de richting van de tijd veranderen, we het verleden en de toekomst omdraaien. • Omkeerbare systemen behouden hun energie en daarom kunnen ze doorgaan met hun beweging. • Voorbeelden hiervan: • Een slingerklok als we wrijving verwaarlozen. • Modellering van gas in een discrete CA volgens Navier-Stokes Inleiding adaptieve systemen

Fase-diagram van pendule Klik op plaatje voor applet Inleiding adaptieve systemen

Poincaré (1854-1912) Het N-lichamen probleem: geef een wiskundig voorschrift dat beschrijft hoe N hemellichamen om elkaar heen cirkelen. Voor N = 2: Voor N = 3: Animaties: Twee vaste zonnen en één planeet (Harrison) Opmerkelijke drie-lichaams bewegingen (Butikov) chaos Het N-lichamen probleem Gemeen-schappelijk zwaartepunt Netlogo: N-Bodies Inleiding adaptieve systemen

Chaotisch gedrag in populatiegroei met één soort en begrensde reserves Inleiding adaptieve systemen

Populatiedynamiek Idee: • Modelleer de grootte en groei van een populatie • Probeer, op basis van dat model, te voorspellen hoe de populatie van moment tot moment groeit of afneemt Inleiding adaptieve systemen

Voorbeeld: groei wereldbevolking Inleiding adaptieve systemen

Onbegrense lineaire groei Onbegrensde exponentiële groei Begrensde groei (S-curve) Cyclisch (goede tijden, slechte tijden) Soorten groei Inleiding adaptieve systemen

Wat oorspronkelijk werd gedacht (volgens Flake) In een deterministisch model van populatie-dynamiek, belandt het systeem uiteindelijk in één van de volgende drie (meta-) toestanden: • Stabiele toestand • Cyclus • Quasi-periodische cyclus Inleiding adaptieve systemen

Omvang convergeert naar vaste waarde. Hangt niet af van initiële omvang. Omvang convergeert naar een zg. quasi-periodische cyclus. (Vgl. planeetbanen: geen enkele planeet keert gegarandeerd terug naar dezelfde plek) Omvang convergeert naar een cyclus. Ook weer onafhankelijk van beginwaarden. Drie eindtoestanden Inleiding adaptieve systemen

} dus quasi-periodiek Quasi-periodiek De functie f(x) = (x + q) mod 2π, met q een rationaal getal (breuk) • Continu op de eenheidscirkel (= [0, 2π] met2π≡ 0) • Niet stabiel • Niet periodiek (immers, dan zou kq = mq + n2π, voor zekere n, wat zou impliceren dat q irrationaal is) • Niet gevoelig voor minimale wijzigingen in startcondities (dus niet chaotisch) + q Inleiding adaptieve systemen

Naar een model vanpopulatie-dynamiek Aannames: • Begrensde omgeving. Er zijn eindig veel reserves (voedsel, lucht, ruimte) • Welzijn individu huidige generatie bepaalt kans op terugkomst in volgende generatie Inleiding adaptieve systemen

Voorbeelden van dynamiek in een begrensde omgeving • Aantal bacteriën op een kweekschaaltje; peil dagelijks • Aantal vissen die zwemmen in een vijver; peil maandelijks • Aantal bezoekers van een attractiepark; peil maandelijks Inleiding adaptieve systemen

Kenmerken van dynamiek in eenbegrensde omgeving Kenmerken: • Er zijn eindig veel reserves (voedsel, ruimte, attracties) • Welzijn individu huidige generatie bepaalt kans op terugkomst in volgende generatie Voorbeelden: • Hoeveelheid voedsel voor bacteriën • Ruimte voor vissen in een vijver • Wachtrij-lengte voor bezoekers in een attractiepark Inleiding adaptieve systemen

Richtings-coëfficient a Richtings-coëfficient a Model voor populatie-dynamiek Randvoorwaarden: • Bij bijna geen bezoekers neem het bezoekersaantal lineair toe: Xt+1 = aXt • Als het bezoekersaantal dicht tegen het maximum M aanligt, neemt het bezoekersaantal lineair af: Xt+1 = aXt  aM 0 M Probleem: twee verschillende en onverenigbare modellen voor één fenomeen Inleiding adaptieve systemen

Model voor populatie-dynamiek Nieuw model: parabool met nulpunten (0,0) en (M,0): Xt+1 =  (Xt  ½M)2 + (½M)2 • Bij bijna geen bezoekers neem het bezoekersaantal ~ lineair toe • Als het bezoekersaantal dicht tegen het maximum M aanligt, neemt het bezoekersaantal ~ lineair af • Daartussen loopt de ene dynamiek (groei) vloeiend over in de andere (afname) • Wiskunde: “continu differentieerbaar” 0 M ½M Inleiding adaptieve systemen

Geschaalde groeivergelijking Dezelfde vergelijking, maar dan geschaald: Xt+1 = 4r Xt (1 Xt ) • Populatie-grootte (variabel): 0  Xt  1 • Groeifactorr (constant): 0  r 1 1 r  1 r  0 0 1 ½ Inleiding adaptieve systemen

Opgave management • Voorspel het aantal bezoekers in de komende jaren, als het aantal bezoekers in jaar t+1 gegeven wordt door de vergelijking Xt+1 =  (Xt  ½M )2 + (½M)2 • Dezelfde vergelijking, maar dan geschaald: Xt+1 = 4 r Xt (1 Xt ) • Populatiegrootte Xt variabel: 0  Xt  1 • Groeifactor r constant: 0  r 1 Inleiding adaptieve systemen

Groeifactor 0.25 Convergeert naar nul bezoekers  park failliet Inleiding adaptieve systemen

Groeifactor 0.3 Inleiding adaptieve systemen

Groeifactor 0.25 (spinneweb) Inleiding adaptieve systemen

• In bijna alle literatuur: r: 1  4• Flake: r: 1/4  1 Inleiding adaptieve systemen

Inleiding Adaptieve Systemen