Tableau de bord

2. Tableau de bord

3. QCM personnalisés

4. Cette semaineune enquête Pour mieux connaître votre équipement informatique, et votre utilisation du site web MathSV

5. 1 seule fois, svp

6. Primitives – Intégrationun dernier exemple La probabilité de rencontre entre deux individus d’une même espèce

7. Probabilité de se rencontrer au temps t

8. Probabilité de se rencontrer entre t1 et t2 t1 t2

11. La modélisation L’exemple des tourterelles en Grande Bretagne

12. Croissance d’une population de tourterelles Au début du 20ème siècle, les populations de tourterelles turques ont envahi l’Europe d’Est en Ouest et arrivent en Grande Bretagne : 1 lieu recensé en 1955… 501 en 1964 ! On s’intéresse à l’accrois- sement de la population de ces tourterelles en GB.

13. Données de recensement

14. Un autre regard Variation du nombre de lieux : DN = a NDt

15. Un autre regard • L’accroissement du nombre de lieux : DN = a N Dt

16. Un autre regard • L’accroissement du nombre de lieux : DN = a N Dt • D’autres hypothèses : • Les individus sont isolés les uns des autres • Pas de compétition intra-spécifique • Ils sont bien représentés par leur moyenne • Pas de variabilité individuelle

17. Solution Accroissement Accroissement relatif Équation différentielle

18. Retour sur un autre exemple Lors de l’administration d’un médicament par injection intraveineuse, la quantité de médicament dans le sang (QMS) est instantanément maximale, puis décroît… pourquoi ?

19. Solution Exemple en pharmacocinétique A chaque instant t, la variation de la quantité de médicament dans le sang est proportionnelle à la quantité de médicament dans le sang à l’instant t : Équation différentielle

20. Les équations différentielles

21. Un peu d’histoire • La notion d'équation différentielle apparaît chez les mathématiciens à la fin du XVIIème siècle. • Leibniz sera l'inventeur en 1686, en même temps que Newton, du calcul différentiel et intégral. • A cette époque, les équations différentielles s'introduisent en mathématique par le biais de problèmes d'origine mécanique ou géométrique. • Ce n’est qu’au XXème siècle que les équations différentielles trouvent de nombreuses applications dans les Sciences de la Vie

22. Définition On appelle équation différentielle une relation entre les valeurs de la variable x et les valeurs y, y’, y’’, …, y(n) d’une fonction inconnue y(x) et de ses dérivées au point x.

23. Lexique général • Dérivée première • Dérivée n ième

24. Lexique général • Résoudre (intégrer) • Conditions initiales • Solution particulière • Courbe intégrale

25. Une infinité de solutions • y’y(x) : notion de primitive • Si y(x), alors y(x) + Cste est aussi solution

26. Un exemple trivial • On cherche y(x) telle que y’ (x) = x • On cherche la primitive de y(x) :

27. Pour aller plus loin  Quelques méthodes types

28. Équations Différentielles d’ordre 1 • À variables séparables • Homogènes • Linéaires • Sans second membre (SSM) • Avec second membre (ASM) • À coefficients constants • Condition initiale :

29. Prochain RDVVendredi 01/10 à 8h15 Équations Différentielles Suite et fin ATTENTION, vendredi EVALUATION TD