Tratamiento de Discontinuidades II

1. En esa presentación trataremos otra vez con el modelado de sistemas discontinuos. Empezamos introduciendo otro método para su descripción matemática. Ese método está usando una descripción parametrizada de la curva. En seguida trataremos con el problema de la causalidad variable. Acabamos con la presentación de un método que permite resolver problemas de la causalidad de forma elegante. Tratamiento de Discontinuidades II

2. Descripciones parametrizadas de curvas La causalidad de la ecuación de conmutación Diodos rezumantes La singularidad de la ecuación de conmutación La integración “inline” La causalidad de la integración inline Contenido

3. Siempre es posible describir funciones discontinuos por medio de curvas parametrizadas. Se ilustrará esa técnica usando el ejemplo de la característica del diodo. i Domain: Condition: Equations: blocking:s < 0 u = s; i = 0 conducting:s > 0 u = 0; i = s s   conducting blocking u   s s = 0 Domain = ifs < 0 then blocking else conducting; u = if Domain == blocking then s else0 ; i = if Domain == blocking then 0 elses; Descripciones Parametrizadasde Curvas

4. Consideramos una vez más la ecuación de conmutación en su forma algebraica: Podemos resolver esa ecuación o por u o por i: 0 = s · i + ( 1 – s ) · u s – 1 i = · u s u = · i s Conmutador abierto:¡División por 0!i = 0Conmutador cerrado: u = 0 ¡División por 0! s – 1 Causalidad de la Ecuación de Conmutación I Conmutador abierto:s = 1Conmutador cerrado:s = 0

5. Ninguna de las dos ecuaciones causales puede usarse an las dos posiciones del conmutador. Una o otra de las dos posiciones produce una división por 0. Es exactamente lo que pasa en la simulación si la causalidad de la ecuación de conmutación es fija.  La causalidad de la ecuación de conmutación siempre tiene que estar libre.  La ecuación de conmutación siempre tiene que incluirse en un bucle algebraico. Causalidad de la Ecuación de Conmutación II

6. Ri D + U0 ~ C Un Ejemplo I RL

7. Ri D + U0 ~ C Las dos causalidades son posibles. Entonces no hay problemas con la simulación. Un Ejemplo II RL

8. Un Ejemplo III

9. D L + U0 RL ~ C La causalidad es fija. Pues hay problemas con la simulación. Un Segundo Ejemplo

10. Una posibilidad para evitar problemas con la causalidad consiste en añadir una resistenciade derrame Ron al conmutador cerrado y una conductanciade derrame Goff al conmutador abierto. Domain: Condition: Equations: blocking: s < 0 u = s; i = Goff · s conducting: s > 0 u = Ron · s; i = s i s   conducting blocking u s = 0   s Domain = ifs < 0then blocking else conducting; u = s*(if Domain == blocking then 1 else Ron); i = s*(if Domain == blocking then Goffelse 1); Un Diodo Menos Ideal I

11. Es la solución que se implementó en la biblioteca estándar de Modelica. La misma solución se ofrece también en la biblioteca BondLib en la forma de un modelo de un diodo rezumante. Un Diodo Menos Ideal II

12. Un Diodo Menos Ideal III

13. Para aplicacioneseléctricas, la solución usando un diodo rezumante es frecuentemente aceptable. Un problema tiene que ver con el comportamiento numérico. Si el circuito usando un diodo ideal resulta en una división por cero, el circuito usando un diodo rezumante resulta en un modelo rígido. Modelos rígidos pueden simularse en Modelica usando el algoritmo de integración estándar (DASSL). Sin embargo, la simulación puede resultar ineficiente y inútil, al menos para aplicaciones en tiempo real. Problemas I

14. En el caso de aplicacionesmecánicos, el método es menos útil, porque las características de rozamiento tienen que simularse con mucha precisión y además, en aplicaciones mecánicas, las causalidades de los elementos son casi siempre fijas. Las masas (y inercias) deciden sobre las velocidades, y las fuerzas (y pares de torsión) de elementos de rozamiento y muelles deben determinarse usando los elementos R y C en una causalidad predefinida. Por consecuencia se debe buscar otra solución para estas aplicaciones. Problemas II

15. Usando un método de integracióninline, el algoritmo de la integración se inserta directamente en el modelo (o alternativamente: las ecuaciones del modelo se insertan en el algoritmo de la integración). Consideramos una inductancia integrada usando el algoritmo deEulerimplícito. uL = L · diL /dt iL(t) = iL(t-h) + h · diL(t) /dt  iL(t) = iL(t-h) + (h/L) · uL(t) El Algoritmo de la Integración “Inline”

16. iL(t) = iL(t-h) + (h/L) · uL(t) Conocido porque calculado en el pasado. Constituye una relaciónalgebraica entre i y u. La ecuación se comporta como un resistor. Entonces se liberó la causalidad. La Causalidad de la Integración Inline Si se usa un algoritmo de integración inline, las causalidades de los elementos de almacenaje se liberan. Por consecuencia desaparece el problema de la división por cero.

17. Diodo Ideal con Integración Inline I

18. Diodo Ideal con Integración Inline II

19. Elmqvist, H., M. Otter, and F.E. Cellier (1995), “Inline integration: A new mixed symbolic/numeric approach for solving differential-algebraic equation systems,” Proc. ESM’95, European Simulation Multi-conference, Prague, Czech Republic, pp. xxiii – xxxiv. Otter, M., H. Elmqvist, and S.E. Mattsson (1999), “Hybrid modeling in Modelica based on the synchronous data flow principle,” Proc. CACSD’99, Computer-Aided Control System Design, Hawaii. Referencias I

20. Krebs, M. (1997), Modeling of Conditional Index Changes, MS Thesis, Dept. of Electr. & Comp. Engr., University of Arizona, Tucson, AZ. Cellier, F.E. and M. Krebs (2007), “Analysis and simulation of variable structure systems using bond graphs and inline integration,” Proc. ICBGM’07, 8th Intl. Conf. Bond Graph Modeling and Simulation, San Diego, CA, pp. 29-34. Referencias II