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第二章 群. 第一节 群的定义和初步性质 第二节 群中元素的阶 第三节 子群 第四节 循环群 第五节 变换群 第六节 置换群 第七节 陪集、指数和Lagrange定理. 群论有着悠久的历史，现在已发展成为一门范围广泛和内容十分丰富的数学分支，在近世代数和整个数学中占有重要地位。
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第二章 群 第一节 群的定义和初步性质 第二节 群中元素的阶 第三节 子群 第四节 循环群 第五节 变换群 第六节 置换群 第七节 陪集、指数和Lagrange定理
群论有着悠久的历史，现在已发展成为一门范围广泛和内容十分丰富的数学分支，在近世代数和整个数学中占有重要地位。群论有着悠久的历史，现在已发展成为一门范围广泛和内容十分丰富的数学分支，在近世代数和整个数学中占有重要地位。 在19世纪初，数学中一个长达三世纪之久而未能解决的难题，即五次和五次以上代数方程的根式解问题，被挪威青年数学家阿贝尔( N.H. Abel，1802～1829 )和法国青年数学家伽罗瓦( E. Galois，1811～1832 )所彻底解决。从而推动了数学的发展, 其重要意义是不言而喻的。但更重要的是, 他们在解决这一问题时引入了一种新概念和新思想, 即置换群的理论, 它对今后数学的发展, 特别是代数学的发展起着巨大的关键性的作用。因此可以说, 阿贝尔和伽罗瓦是群论和近世代数的真正创始人。
在阿贝尔和伽罗瓦之后, 人们逐渐发现, 对于这一理论中大多数的本质问题来说, 用以构成群的特殊材料——置换——并不重要, 重要的只是在于对任意集合里所规定的代数性质的研究，即对于我们上一章所说的代数系统的研究。这样一个现在看起来似乎很平凡的发现, 实际上是一个很大的突破, 它的重要意义在于把置换群的研究推进到了更一般的抽象群的研究上去。这样便把群的研究建立在公理化的基础上, 使它的理论变得更加严谨和清晰, 从而为这一理论的进一步蓬勃发展开辟了广阔的前景。
在群的抽象化理论中做出贡献的数学家, 主要有凯莱 (A. Cayley，1821～1895)、弗罗宾纽斯( F.G. Frobenius，1849～1917)以及柯西(A.L. Cauchy，1785～1857)、若尔当(C. Jordan, 1838～1922 )和西罗( L. Sylow，1832～1918 )等人。 这一章主要介绍群的定义、例子、基本性质和一些特殊群类。
第一节 群的定义和简单性质 主要内容： 1. 群的定义与举例 2. 群的初步性质
第二节 群的元素的阶 主要内容： 1.元素的阶的定义 2.元素的阶的性质
一、元素的阶的定义 设G是一个群。由于G对乘法满足结合律，因此由第一章可知，在G中任意取定n 个元素a1,a2,…,an后，不管怎样加括号，其结果都是相等的，所以a1a2…an总有意义，它是G中一个确定的元素。 下面我们对群中元素引入指数的概念。
任取a∈G，n是一个正整数，规定 由此不难推出通常熟知的指数运算规则在群中也成立： 其中m，n为任意整数。
定义1设G为群，而 。如果有整数k，使ak=e，那么使这个等式成立的最小正整数m叫做a的阶，记为 。如果这样的m不存在，则称a的阶是无限的（或称零），记为 。 由此可知，群中单位元的阶是1，而其他任何元素的阶都大于1。
例1 G={1,-1,i,-i} (i是虚单位)关于数的普通乘法作成一个群，即 4 次单位根群。其中1的阶是1, -1的阶是2，i 与- i的阶都是4。 例2在正有理数乘群Q+中, 除单位元的阶是1外，其余元素的阶均无限。 例3在非零有理数乘群Q*中，1的阶是1，-1的阶是2，其余元素的阶均无限。
二、元素的阶的性质 定理1 有限群中每个元素的阶均有限。 证 设G为 n 阶有限群，任取a∈G，则 中必有相等的。设则 从而a的阶有限。 应注意，无限群中元素的阶可能无限，也可能有限，甚至可能都有限。
例4 设Ui (i是正整数)是全体i次单位根对普通乘法作成的群，即i次单位根群。现在令 则由于一个m次单位根与一个n次单位根的乘积必是一个mn 次单位根，故U对普通乘法作成一个群，而且是一个无限交换群。 这个无限群中每个元素的阶都有限。
定义2若群G中每个元素的阶都有限，则称G为周期群；若G中除e外，其余元素的阶均无限，则称G为无扭群；既不是周期群又不是无扭群的群称为混合群。 由定理1知，有限群都是周期群。又例4中的群U是无限周期群；例2中的正有理数乘群Q+为无扭群；例3中的非零有理数乘群Q*为混合群。 定理2 设群 G中元素a 的阶是n，则 。
证 设 并令 （1） 则由于 故 但| a | = n，且0 ≤r < n，故必 r = 0。从而由(1 )知，n | m。 反之，设 n | m，且令m = nq，则因a的阶是n，故
第三节 子群 子群的概念是群论中一个基本概念, 群论的全部内容都在不同程度上和子群有联系。特别地，有时要根据子群的各种特征来对群进行分类，即根据子群来研究群，这也是研究群的重要方法之一。
本节主要内容： 一、子群的定义 二、子群的判定条件
