TEMA 9

1. TEMA 9 Traslaciones, giros y simetrías en el plano. 3º A Curso 09-10

2. 1. VECTORES EN EL PLANO. Vector: es todo segmento orientado en el espacio. Características: Módulo: es la longitud o tamaño del vector. Dirección: viene dada por la recta sobre la cuál está situado el vector. Sentido: se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia que lado se dirige el vector. Queda determinado por unos ejes de coordenadas. • Los componentes o coordenadas de un vector se averiguan con la fórmula: AB= B – A= (x‘-x, y‘-y).

3. VECTORES EQUIPOLENTES. Los vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido. SUMA DE VECTORES • La suma de los vectores AB (x, y) y BC (x‘, y‘) es el vector AC (x + x‘, y + y‘).

4. 2. Traslaciones en el plano La traslación es una transformación puntual por la cual a todo punto A del plano le corresponde otro punto A' también del plano de forma que A´= A + u . Siendo u el vector guía que define la traslación. Traslaciones de circunferencias: La homóloga de una circunferencia mediante una traslación es otra circunferencia de igual radio que tiene como centro el punto homólogo del centro de la circunferencia original. Traslaciones de polígonos La traslación es un movimiento, conserva las distancias y consiste en trasladar los vértices de dicho polígono.

5. Ejemplos En el dibujo, la figura de la izquierda (fig 1) se transforma en la figura de la derecha (fig 2).  Como puedes observar, los vectores que unen cada punto de la figura 1 con sus transformados de la figura 2 (AA', BB', CC') tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Además, la figura 2 tiene la misma forma y el mismo tamaño que la figura 1.

6. Una traslación tiene el vector guía (3,-3); hallar la figura transformada cuyos vértices son: A (0,0) B(5,7) C (8,4) Resolución: A´=(0,0) +(3,-3)=(3,-3) B´=(5,7)+(3,-3)=(8,4) C´=(8,4)+(3,-3)=(11,1)

7. 3.Giros en el Plano Definición Un giro de centro 0 y ángulo α transforma un punto P del plano en otro del mismo plano tal que: OP = OP’ y α = POP’ Ejemplo: Gira 30º el punto P con centro de giro en O. Con centro en O y radio OP trazamos un arco. Con centro en O marcamos un arco de 30º. La recta r corta al arco en el punto girado P’.

8. GIROS SUCESIVOS. Al aplicarsucesivamente dos giros de igualcentro O y amplitudes α y β se obtiene un giro de igualcentro O y amplitudigual a la suma de las amplitudes α+β. Ejemplo: Dado un punto A, calculamos su transformado, A′, mediante un giro de centro O y ángulo 30°. Después, hallamos el transformado de A′ mediante otro giro con el mismo centro y ángulo 60°. 1. Aplicamos el primer giro para obtener A′. 2. Aplicamos el segundo giro sobre A′.

9. 4. Simetrías. Axial: Esta simetría se halla a través de un eje representado por una recta. Dicho eje es la mediatriz de los segmentos determinados por los pares de los puntos que resultan simétricos.

10. Simetría central. a) El punto y su imagen están a igual distancia de un punto llamado centro de simetría. b) El punto, su imagen y el centro de simetría pertenecen a una misma recta. Una simetría central, de centro el punto O, es un movimiento del plano con el que a cada punto P del plano le hace corresponder otro punto P', siendo O el punto medio del segmento de extremos P y P'.

11. SIMETRÍAS Y COORDENADAS • Dos puntos son simétricos respecto del eje OY si sus abscisas son opuestas y sus ordenadas son iguales • Dos puntos son simétricos respecto del eje OX si sus abscisas son iguales y sus ordenadas son opuestas

12. Dos puntos son simétricos respecto del origen si sus abscisas y sus ordenadas son opuestas