Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

1. SAYISAL YÖNTEMLER SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 9.HAFTA İÇERİĞİ -

2. Doğrusal Cebirsel Denklemlerin Çözümü SAYISAL YÖNTEMLER Denklem takımını eş zamanlı olarak sağlayan x1, x2,…xm değerlerinin bulunması doğrusal (lineer) cebirsel denklemlerinin çözümü olarak adlandırılır. . . . Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Bu denklemler: ??? b3 şeklinde ifade edilebilirler. Burada a’lar katsayı, b’ler sabitler, mbilinmeyen sayısı, n de denklem sayısıdır. . . .

3. Doğrusal Cebirsel Denklemlerin Çözümü . . . . . . . . . . . . SAYISAL YÖNTEMLER Çözüm için gereken şartn=m olmalıdır. Bu durumda çözüm matrisi[A], boyutu n kareye eşit bir katsayılar matrisidir. A12 ve an2???? Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü sabitlerden oluşan boyutu (n,1) olan bir sütun vektör ise bilinmeyenlerden oluşan (n,1) bir sütun vektördür.

4. Doğrusal Cebirsel Denklemlerin Çözümü SAYISAL YÖNTEMLER Bu durumda Burada çözüm elde etmek için denklemin her iki tarafı ile çarpılırsa; Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Birim matris olduğundan eşitlik: Böylece denklem x için çözülmüş olur. NOT: Matrislerde değişme özelliği yok.

5. Doğrusal Cebirsel Denklemlerin Çözümü SAYISAL YÖNTEMLER Çözüm üretmenin diğer bir yolu ise; Katsayılar matrisi A’nın boyutunu B matrisi ile büyütmektir. Bu durumda: Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü elde edilir. Bu sayede; çözüm aranırken katsayılardan oluşan bir satır ile ona karşılık gelen sağ taraftaki sabit (b) üzerinde aynı işlemler uygulanır.

6. Gauss Eleme Yöntemi SAYISAL YÖNTEMLER Eş zamanlı denklemlerin çözülmesi için kullanılan en eski yöntemdir. Bilinmeyenleri elemek için denklemler birleştirilir. Eleme yönteminde öncelikle denk.ler üzerinde işlem yapılarak bilinmeyenlerden biri elenir. Bu işleme sırası ile 1 bilinmeyenli tek denklem kalana kadar devam edilir. Sonuçta tek denklem çözülerek sonuç bulunur. Elde edilen sonuç orijinal denklemlerden birinde geriye doğru yerine yazılarak kalan bilinmeyenler çözülebilir. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

7. SAYISAL YÖNTEMLER İki bilinmeyenli bir denklem takımı için örnek verecek olursak; Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 1. denklem -a21 ile 2. denklem ise a11 ile çarpılır. x2 için denklem düzenlenirse;

8. SAYISAL YÖNTEMLER daha sonra bu ifade 1. denklemde yerine yazılırsa Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü elde edilir. Bu temel yaklaşım daha fazla denklem içeren sistemlere genişletilerek; Bilinmeyenleri elemek ve geriye doğru yerine koymak için bir plan ya da algoritma geliştirilebilir. Bu planlardan en temeli gauss elemedir.

9. SAYISAL YÖNTEMLER Gauss eleme yöntemi n tane denklemden oluşan genel sistemi çözmek için tasarlanmıştır. İki denklem için uygulanan yöntemde olduğu gibi 2 aşamalıdır. 1. aşamada bilinmeyenler elenir. 2. aşamada geriye doğru yerine konulur. . . . Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü İlk denklem a21/a11ile çarpılır Bu ifade diğer tüm denklemlerden çıkartılırsa

10. SAYISAL YÖNTEMLER Bu ifade diğer tüm denklemlerden çıkartılırsa Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Renkli kısımlar üslü biçimde kullanılarak orijinal değerin değiştirildiği gösterilirse şeklinde yazılabilir

11. SAYISAL YÖNTEMLER Bu işlemde ilk denkleme pivot denklem denir. a11’e pivot katsayı denir. Yukarıdaki işlemler 2. bilinmeyi (x2) yok etmek için tekrarlanır. . . . Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Bunun için 2. denk a’32 / a’22 ile çarpılır. Diğer denklemlerden çıkartılır Burada (’’) işareti elemanların 2 defa değiştirildiğini göstermektedir. Eleme işlemi (n-1). denklem kullanılarak n . dereceden xn-1. denklem yok edilinceye kadar devam edilir. Burada sistem üst üçgen sisteme dönüşür.

12. SAYISAL YÖNTEMLER Geriye doğru yerine koymada sırası ile xm bilinmeyenden başlayarak değerler hesaplanır ve bir önceki değiştirilmiş denklemde yerine yazılır Bu sonuç (n-1). Denklemde yerine yazılarak bilinmeyenler çözülür Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Denklem genelleştirirsek; i= n-1 , n-2 , … , 1

13. ÖRNEK SAYISAL YÖNTEMLER Denklem sistemini Gauss eleme yöntemi ile çözünüz. Pivot denklem Pivot katsayı Pivot denklemi 0.1/3 ile çarpıyoruz. ???? Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü İkinci denk.den çıkartıyoruz. İkinci Pivot denklem bu oldu işleme devam ediyoruz 1.Pivot denklemi 0.3/3 ile çarpıyoruz. Üçüncü denk.den çıkartıyoruz.

14. SAYISAL YÖNTEMLER 2. pivot denklemi -0.19/7.003333 ile çarpıyoruz. ??? Üçüncü denk.den çıkartıyoruz. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Bu ifade değiştirilmiş denklemde (2. pivot) yerine koyulursa ; 1.Pivot denklemde yerine yazarsak ;

15. Gauss Jordan Yöntemi SAYISAL YÖNTEMLER Gauss eleme yönteminin bir başka şeklidir. Temel fark 1. bilinmeyen elendiğinde sadece o satırdan sonraki satırlarda değil tüm denklemlerde elenir. Bu sayede eleme aşaması sonrasında üçgen matris yerine birim matris elde edilir. Katsayılar matrisini boyutu büyütülmüş matris olarak ifade edersek; Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 1. Satırı pivot seçerek 3’e bölelim

16. SAYISAL YÖNTEMLER 1. Satırı 0.1 ile çarpıp 2.satırdan çıkartırsak, 0.3 çarpıp 3. satırdan çıkartırsak 1. Satırı 0.1 ile çarpıp 2.satırdan çıkartırsak, 0.3 ile çarpıp 3. satırdan çıkartırsak Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 2.Satırı 7.0003 bölersek 2.Satırı 0.033333 ile çarpıyoruz 1. satıra ekliyoruz. 0.19 ile çarpıp 3. satıra ekliyoruz.

17. SAYISAL YÖNTEMLER 3. Satırı 10.012’ye bölüyoruz. Son olarak 3. satırı -0.0680629 ile çarpıp 1. satırdan, ve (-0.0418848) ile çarpıp 2. satırdan çıkartıyoruz. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x1 x2 x3 x1 = 3 x2 = -2.5001 x3 = 7.0003

18. ÖDEV SAYISAL YÖNTEMLER Lineer denklem takımını basit Gauss eleme yöntemi ile çözünüz Lineer denklem takımını Gauss Jordon eleme yöntemi ile çözünüz Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü