Wykład 3. Elementy teorii zniekszta ł ce ń odwzorowa ń kartograficznych

1. Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań kartograficznych Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań kartograficznych • I forma kwadratowa powierzchni • skala poszczególna, skala główna i elementarna skala zniekształceń odwzorowawczych • elementarna skala zniekształceń długości • skale parametryczne • elementarna skala zniekształceń długości jako funkcja kąta kierunkowego

2. Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań kartograficznych I forma kwadratowa powierzchni Różniczka funkcji wektorowej ma następującą postać Element łuku na powierzchniopisanej równaniem ma postać

3. Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań kartograficznych Elementarny łuk na powierzchni kuli Na powierzchni kuli opisanej równaniem obliczamy współczynniki I formy kwadratowej Elementarnyłuk na powierzchni kuli ma postać

4. Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań kartograficznych Elementarny łuk na powierzchni elipsoidy Na powierzchni elipsoidy opisanej równaniem obliczamy współczynniki I formy kwadratowej Elementarnyłuk na powierzchni elipsoidy ma postać

5. Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań kartograficznych Skala poszczególna, skala główna ielementarna skala zniekształceń odwzorowawczych

6. Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań kartograficznych Skala poszczególna, skala główna ielementarna skala zniekształceń odwzorowawczych Związek pomiędzy skalą poszczególną mp, skalą główną m0 i elementarną skalą zniekształceń odwzorowawczychm 0 - skala główna odwzorowania, wyraża stosunek zmniejszenia wymiarów liniowych, pomniejszenie powierzchni oryginału (odwzorowanie przez podobieństwo), skala główna jest liczbą rzeczywistą przedstawianą w postaci

7. Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań kartograficznych Elementarna skala zniekształceń długości Elementarna skala zniekształceń długości jest to stosunek odpowiadających sobie elementarnych łuków na powierzchni obrazu i na powierzchni oryginału gdzie: ds – element łuku na powierzchni oryginału ds’ – element łuku na powierzchni obrazu Elementarna skala zniekształceń długości jest funkcją trzech zmiennych: współrzędnych (u,v) wyznaczających położenie punktu na powierzchni oryginału oraz kąta kierunkowego A elementu łuku ds na powierzchni oryginału

8. Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań kartograficznych Elementarna skala zniekształceń długości w postaci wektorowej oraz elementarne zniekształcenie długości Elementarną skalę zniekształceń długości można przedstawić w postaci wektorowej gdzie jest różniczką funkcji opisującej powierzchnię oryginału w odwzorowaniu kartograficznym oraz jest różniczką funkcji opisującej powierzchnię obrazu w odwzorowaniu kartograficznym Elementarne zniekształcenie długości jest to odchylenie elementarnej skali zniekształceń długości od jedności

9. Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań kartograficznych Elementarna skala zniekształceń długości w kierunku linii parametrycznych Podstawiając do wzoru na skalę elementarne łuki na powierzchni oryginału i powierzchni obrazu otrzymujemy wzór na skalę w postaci

10. Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań kartograficznych Elementarna skala zniekształceń długości w kierunku linii parametrycznych Obliczając skalę w kierunku południka v = const podstawiamy dv =0 otrzymujemy Obliczając skalę w kierunku równoleżnika u = const podstawiamy du =0 otrzymujemy Skale w kierunku linii parametrycznych noszą nazwę skal parametrycznych.

11. Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań kartograficznych Elementarna skala zniekształceń długości w kierunku linii parametrycznych Dla powierzchni kuli skale parametryczne mają postać Dla elipsoidy skale parametryczne mają postać

12. Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań kartograficznych Elementarna skala zniekształceń długości jako funkcja kąta kierunkowego Elementarną skalę zniekształceń długości ma postać Różniczki oraz funkcji opisującej powierzchnię oryginału oraz funkcji opisującej powierzchnię obrazu można przedstawić w postaci

13. Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań kartograficznych Elementarna skala zniekształceń długości jako funkcja kąta kierunkowego Kąt kierunkowy A definiujemy następująco

14. Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań kartograficznych Elementarna skala zniekształceń długości jako funkcja kąta kierunkowego Tangens kąta kierunkowego A ma postać stąd wyznaczamy zastosowanie powyższego wzoru prowadzi do następujących postaci różniczek

15. Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań kartograficznych Elementarna skala zniekształceń długości jako funkcja kąta kierunkowego stąd wyznaczamy moduł Uwzględniając powyższe rozważania otrzymujemy następującą postać elementarnej skali długości gdzie

16. Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań kartograficznych Elementarna skala zniekształceń długości jako funkcja kąta kierunkowego Jeżeli na powierzchni oryginału mamy parametryzację ortogonalną(F=0) wektory 1 oraz 2 przyjmą postać są to wówczas skale parametryczne

17. Wykład 3. Elementy teorii zniekształceń odwzorowań kartograficznych Elementarna skala zniekształceń długości jako funkcja kąta kierunkowego Kwadrat elementarnej skali zniekształceń długości można przedstawić w postaci gdzie W przypadku parametryzacji ortogonalnej na powierzchni obrazu(F=0) otrzymujemy