Czas i przestrzeń EiNsteiNa

Czas i przestrzeń EiNsteiNa Szczególna teoria względności (Materiały na spotkanie 28 lutego 2013) „Klub dyskusyjny fizyków”

Przedział czasoprzestrzenny pomiędzy zdarzeniami Odległość w czasie i przestrzeni pomiędzy zdarzeniami

CHWILAOBECNA PRZESZŁOŚĆ PRZYSZŁOŚĆ

Transformacja Galileusza K K’ v

Tak więc w fizyce klasycznej:

Klasycznie K K’ D D L L v x’ x

c = const Z doświadczenia więc wynika, że (1) Prędkość światła w próżni ma zawsze stałą wartość, która nie zależy od ruchu ani źródła, ani odbiornika światła. (2) W dwóch układach odniesienia poruszających się względemsiebie ruchem jednostajnym wszystkie prawa przyrody sąściśle takie same i nie ma sposobu wyróżnienia bezwzględnego ruchu jednostajnego. Uogólnienia zasady Galileusza na wszystkie zjawiska w przyrodzie Ale: (3)Położenia i prędkości zmieniają sięprzy przejściu od jednego układuinercjalnego do drugiego zgodnie ztransformacją klasyczną. Mamy więc jawną sprzeczność. Nie możnapogodzić z sobą (1), (2) i (3). 1) oraz 2) wyklucza transformacje Galileusza, a 3) ja akceptuje

Relatywistycznie K K’ L D D L v x’ x W układzie K’ W układzie K

Odległość czasoprzestrzenna pomiędzy zdarzeniami jest identyczna w każdym układzie odniesienia

Jak zmienić transformacje Galileusza aby w każdym układzie odniesienia prędkość światła była taka sama? „Trzeba podejrzewać czas” mówił Einstein. Zakładamy więc, że zachodzi: Gdy x=0 oraz t=0, to także x’=0 oraz t’=0 i postaramy się znaleźć parametry . Mogą one zależeć jedynie od względnej szybkości dwóch układów odniesienia, v.

K K’ v W układzie K początek układu K’ (x’= 0) porusza się z szybkością v: czyli W układzie K’ początek układu K (x=0) porusza się z szybkością –v: czyli

Skorzystamy z równości przedziałów czasoprzestrzennych w obydwu układach: czyli

Aby to równanie było spełnione muszą być spełnione relacje: Z relacji 1) Ze związku 2) Relacja 3) jest wtedy spełniona automatycznie

Transformacja Galileusza Transformacja Lorentza Transformacje odwrotne otrzymamy, zamieniając prędkość v na -v Gdy wzajemna prędkość układów v jest mała w porównaniu z prędkością światła, wtedy transformacja Lorentza przechodzi w transformację Galileusza:

Dla dwóch układów poruszających się wzdłuż osi x otrzymaliśmy: Hendrik Lorentz (1853 – 1928) • Związki te nazywają się transformacją Lorentza, wynikają z nich: • Transformacja prędkości pomiędzy układami • Skrócenie długości, • Wydłużenia czasu, • Względność równoczesności zdarzeń.

Transformacja prędkości Dla prędkości wzdłuż osi x: Związek odwrotny: v  - v Widać, że spełniony jest pierwszy postulat Einsteina, prędkość światła jest zawsze równa c.

Wzory do wyprowadzenie relacji na skrócenie długości i wydłużenie (dylatację) czasu i badania zjawiska równoczesności zdarzeń: W dalszym ciągu będziemy powoływać się na wzory 1), 2), 3), 4).

Te same relacje w fizyce klasycznej mają zupełnie inną postać:

Transformacja Lorentza Transformacja Galileusza

Dylatacja czasu Nieruchomy zegar w układzie K’ K’ K x’ v Z układu K mierzymy czas upływający w K’ Z relacji 4) gdzie wstawiamy: Otrzymamy: Obserwując ruchomy zegar, widzę, że na nim czas płynie wolniej

I odwrotnie, z układu K’ obserwuje nieruchomy zegar w układzie K. Zegar spoczywa w układzie K a więc: Musimy skorzystać z relacji 2), otrzymamy: I ponownie wniosek jest ten sam, jeżeli względem mnie zegar się porusza to widzę, że czas na nim płynie wolniej.

Skrócenie długości Lorentza (kontrakcja długości) K’ K v Z układu Kdokonujemy pomiaru długości pręta w układzie K’ Korzystamy z relacji 3) gdzie wstawiamy: i otrzymujemy: Mierząc z układu K pręt spoczywający w K’, widzę że jest on krótszy

I odwrotnie, z układu K’ dokonujemy pomiaru pręta spoczywającego w układzie K. Tym razem musimy w tym samym czasie w układzie Kzmierzyć położenie końców, czyli musimy przyjąć: Wtedy należy wykorzystać równanie 1) i otrzymamy: A więc zupełnie symetrycznie otrzymamy, iż pręt mierzony w układzie ruchomym jest krótszy od pręta spoczywającego .

Równoczesność zdarzeń K’ K v W różnych punktach ( ) w układzie K’w tym samym czasie zachodzą dwa zdarzenia. Te dwa zdarzenia będą zachodziły w różnym czasie w układzie K. Korzystamy z relacji 4) i mamy

W tym samym miejscu w układzie K’ ( ) zachodzą dwa zdarzenia w różnym czasie . Podobnie jak w fizyce klasycznej zdarzenia te w układzie K zajdą w różnym miejscu w przestrzeni. Korzystamy z relacji 3) i otrzymamy: Zdarzenia zachodzą więc w różnym miejscu: W przypadku klasycznym jest podobnie, tylko czynnik γ =1

Jakie wnioski wynikają z faktu, że przedział czasoprzestrzenny jest identyczny w każdym układzie odniesienia Możemy rozróżnić trzy przypadki:

Najpierw przypadek 1). Skoro P12> 0, to zawsze mogżemyznaleźć taki układ odniesienia, w którym opisywane dwa zdarzenia zachodzą w tym samym miejscu w różnym czasie, wtedy: Nie istnieje jednak układ w którym zdarzenia te mogłyby zajść w tym samym czasie, zawsze bowiem musi zachodzić: Takie zdarzenia, skoro mogą zajść w tym samym miejscy w różnym czasie, to jedno z nich może być skutkiem drugiego, jeżeli: to zdarzenia „2” może być skutkiem zdarzenia „1”

Przypadek 2). Teraz zawsze P12=0, a więc w każdym układzie zachodzi: A więc w każdym układzie mamy: Dowolne dwa zdarzenia, dla których zachodzi P12=0 mogą być połączone sygnałem świetlnym, ten sam foton może być obecny przy obydwu zdarzeniach.

I wreszcie przypadek 3). Skoro P12 < 0, to zawsze mogżemyznaleźć taki układ odniesienia, w którym zdarzenia zachodzą w tym samym czasie , wtedy: jest odległością pomiędzy zdarzeniami zachodzącymi w danym układzie odniesienia w tym samym czasie. W omawianej sytuacji nie ma układu odniesienia, w którym jakiekolwiek dwa zdarzenia mogą zajść w tym samym miejscu w przestrzeni, zawsze bowiem: Tak więc w zbiorze zdarzeń P12< 0 nie ma dwóch, dla których jedno może być skutkiem drugiego.

ct Teraźniejszość Przyszłość Teraźniejszość x Przeszłość Stożek świetlny

Przedział czasoprzestrzenny C może wpływać na nas (P) My (P) możemy wpływać na B A nie ma wpływu na nas (P), i my nie mamy wpływu na A Stożek świetlny Geometrię o opisanych własnościach nazywamygeometrią pseudoeuklidesową

Masa, pęd, energia Jak definiujemy się masę? 1) Newton: masa jest miernikiem „ilości materii”. 2) Masa to parametr, który określa ciężar ciała. 3) Masa jest miernikiem bezwładności ciała: . Dla uogólnienia masy na przypadek relatywistyczny najlepsza definicja to: 4)Masa to parametr, przez który trzeba pomnożyć prędkość ciała aby otrzymać zachowany pęd.

Jeżeli prawo zachowania pęd zachodzi w jednym układzie, to jest spełnione w każdym innym układzie inercjalnym: Bo spełniona jest trywialna relacja: Pęd jest zachowany także dla zderzeń niesprężystych, ale pod jednym warunkiem: Pęd będzie zachowany w każdym układzie inercjalnym jeżeli masa jest zachowana.

Aby wyprowadzić relacje E =mc2, przejdziemy do układu środka masy: Mamy wtedy relacje: W układzie środka masy obowiązuje prawo zachowania pędu nawet gdy długości pędów zmieniają się, o ile zmiana jest identyczna dla jednej i drugiej cząstki. zd. sprężyste zd. niesprężyste

Tylko dla zderzeń sprężystych (λ=1) zachowana jest energia kinetyczna: Mamy bowiem: iwtedy zachodzi:

Każda inna definicja energii kinetycznej np. będzie zachowana w układzie środka masy, ale ta definicja z kwadratem ma jeszcze jedną zaletę, jeżeli energia jest zachowana w jednym układzie to będzie zachowana w każdym innym układzie inercjalnym:

Jeżeli więc pęd i masa są zachowane, to energia kinetyczna zdefiniowana w tradycyjny sposób, jeżeli jest zachowana w jednym układzie, to jest zachowana w każdym układzie inercjalnym: Ta konstrukcja jest dobra w sytuacji nierelatywistycznej, gdzie prawo dodawania prędkości ma postać: W przypadku relatywistycznym ta reguła nie obowiązuje, mamy bowiem:

Powstaje pytanie, jak zdefiniować masę, pęd i energię aby otrzymać prawa zachowania ważne w każdym układzie inercjalnym. Następne spotkanie klubu Czwartek, 4 kwietnia 2013

Czas i przestrzeń EiNsteiNa